Диссертация (Плазмонные гетероструктуры и фотонные кристаллы с перестраиваемыми оптическими свойствами), страница 14

2.31. Всоответствие с уравнением (2.17) в т. Г зоны Бриллюэна (   0 ) ( g )  0 . Этоследует и из соображений симметрии. При возбуждении в системе собственнойволны с   0 система с намагниченностью +M переходит в систему с намагниченностью  M при повороте на 180ᵒ, что приводит к равенству частот ( M )   (M ) .Знак (g ) зависит от взаимной ориентации групповой скорости ППП и вектора τ. Поэтому вызванное намагниченностью смещение дисперсионных кривых в соседних плазмонных зонах имеет противоположный знак. На границах                                                            1 В разделе 3.4.2 закон дисперсии плазмонов рассчитан строго методом матрицы рассеяния. 84  зоны Бриллюэна (     d ) ( g )  0 , что является следствием теоремы Блоха: ( d )   ( d ) .Рис. 2.3: Смещение дисперсионных кривых ППП при перемагничивании плазмонного кристалла с  M (сплошные кривые) на  M (штриховые кривые).3.3.

Матрица рассеяния и резонансы ФаноПри анализе задачи о падении света на периодические структуры удобноиспользовать метод матрицы рассеяния (см. §6.3, глава I). Матрица рассеянияявляется функцией частоты и квазиволнового числа. Будем считать, что квазиволновое число задано, и найдем нули определителя обратной матрицы по частоте (см. уравнение (1.46)). Решения уравнения (1.46) в общем случае ком~  ω  iγ . Нули определителя det(S 1 ) являются полюсами опреплексны: ωpppделителя det(S ) .

При этом из уравнения (1.45) следует, что каждый элементматрицы рассеяния имеет полюс ω p .Поскольку в задаче рассеяния излучения на некоторой структуре количество дифракционных порядков, распространяющихся в дальнюю зону конечно,а все остальные порядки затухают в ближнем оптическом поле структуры, то85  можно ограничить размерность матрицы рассеяния некоторым числом N, которое существенно больше количества распространяющихся дифракционных порядков.

Предполагая, что определитель матрицы рассеяния является мероморфной функцией комплексной частоты, представим его разложением в ряд:det(S)  pDp D0 ,(ω  ω p ) N(2.18)где p - целое число, p  1 , N- размерность S-матрицы, D0 - аналитическая функция частоты.В соответствии с формулами Крамера, комплексная амплитуда m-го дифракционного порядка Am представима отношением вспомогательного определителя det(S m1 ) , в котором m-ый столбец заменен на столбец A in , и определителяобратной матрицы рассеяния:Am  det(S m1 ) det(S 1 ) .(2.19)Следовательно, учитывая, что det(S)  1 det(S 1 ) , получаем, что вблизи каждого p~ определителя матрицы рассеяния комплексные амплитуды диго полюса ωpфракционных порядков имеют резонансную особенность и в окрестности полю~ комплексная амплитуда m-го дифракционного порядка имеет вид:са ωpAm a pm~  b pm ,ωω(2.20)pD p' det(S m1 ) .

При этом амплитуда m-го дигде a pm  D p det(S m1 ) , b pm   D0~p ' p ω  ωp'фракционного порядка имеет полюсы первого порядка, поскольку полюсы матрицы S m имеют порядок N  1 , а полюсы матрицы S имеют N-ый порядок.Энергетические коэффициенты прохождения Tm и отражения Rm в m-омраспространяющемся дифракционном порядке пропорциональны сумме квадратов модулей амплитуд двух волн m–го порядка, распространяющихся в подложке или в среде над решеткой, и поляризованных взаимно ортогонально (напри86  мер, s- и p- поляризации). Таким образом, интенсивность I m прошедшего илиотраженного излучения в m-ом дифракционном порядке зависит от квадратовамплитуд Am2соответствующих элементов столбца A scat : I m  f Am2, поэтомуособенности спектров отражения и прохождения определяются особенностями2Am .

Найдем зависимость Am2от частоты. Вычисляя интенсивность I m ~ Am2спомощью уравнения (2.20), получимI m ~ Am2ω  ω z 2  γ 2zω  ω 2pгде ω z  ω p 1  Req pm  , γ z  γ p 1 γ2p2b pm ,(2.21)a pmp.Imq pm  , q pm  p b pmp2Следовательно, зависимости Am , R и T от частоты обладают характернымнесимметричным профилем со следующими друг за другом максимумом и минимумом (или наоборот, в зависимости от знака Req pm  ), который принятоназывать резонансом Фано [169-170].

Параметр q pm называют параметром Фано. Он показывает отношение эффективностей резонансного и нерезонансногопроцессов. В задаче о взаимодействии света с решеткой резонансным процессом является возбуждение собственных волн системы, таких как волноводныемоды, плазмон-поляритоны, щелевые моды и т.д. В то же время нерезонансныйвклад в интенсивность в m-ом дифракционном порядке связан с излучением,рассеянным дифракционной решеткой без возбуждения собственных волн.

Амплитуда волны в m-ом дифракционного порядка складывается из двух составляющих: резонансной, возникшей из-за возбуждения собственных волн, и нерезонансной. Если нерезонансный процесс пренебрежимо мал ( q   ), частотнаязависимость принимает стандартную симметричную форму лоренцевой кривой.Ширина резонансной кривой зависит от параметра диссипации γ p .87  3.4. Экваториальный эффект Керра в плазмонном кристалле3.4.1. Аналитическое рассмотрениеДля плазмонного кристалла собственными волнами являются ППП, а также~ сощелевые моды Фабри-Перо.

Поэтому в данном случае полюсы матрицы ωpответствуют частотам возбуждения поверхностной волны и щелевых мод. Какбыло показано выше, частота возбуждения ППП в поперечно намагниченномплазмонном кристалле зависит от величины гирации (от намагниченности) (см.уравнение (2.17)). Следовательно, резонансные кривые Фано должны сместиться по частоте относительно их положения для немагнитного случая на величину (g ) : Am, g 0 (ω)  Am , g (ω  (g)) (рис.2.4 а).

При малых значениях гирации изме22нением формы резонанса можно пренебречь. В результате возникнет изменениекоэффициентов прохождения и отражения при смене знака намагниченности.Данный магнитооптический эффект может быть назван экваториальнымэффектом Керра (ЭЭК) в плазмонных кристаллах по аналогии с ЭЭК при отражении света от однородных магнитных пленок, намагниченных в плоскости(см. §1.3 Главы I). В отличие от ЭЭК в однородных пленках, в данном случаеЭЭК может наблюдаться и в отраженном, и в проходящем свете благодаря явлению экстраординарного оптического прохождения. Поэтому ЭЭК в плазмонных кристаллах следует определить как  I (M)  I (M)  I (0)(2.22)где I(M) и I(-M) – интенсивности отраженного или прошедшего света при противоположных направлениях намагниченности.Поскольку ( g )  ω , то частотная зависимость величины I  I (M)  I (M)фактически пропорциональна производной функции Am , g 0  ω  .

По сравнению2со случаем однородных неплазмонных пленок, величина ЭЭК существенно88  усилена. При этом она зависит не только от магнитооптических свойств среды,но и от формы резонансной кривой: при более острых резонансных пиках величина ЭЭК существенно возрастает.1Im0.5(а)010(б) 0.511.5211.5211.52Im0.51000.50δ-1(в)-200.5ω ωpРис. 2.4: (a) Смещение резонанса Фано, индуцированное вектором гирации в экваториальной геометрии. (б) Резонансы Фано и (в) величина магнитооптического эффекта δ при различных значениях параметра Фано q: q=0.3 (сплошная линия), q=0.7 (штриховая линия), q=3 (штрихпунктирная линия).

γ p  p  0.1 [168].Поскольку ширина резонансного максимума определяется диссипацией, тоследует ожидать, что I и характеризующая эффект величина δ зависят от γ p .Если нерезонансные процессы в системе слабы, т.е. q  1 , из уравнений (2.20)и (2.21) следуют выражения для максимальных значений I и δ [168]:I max ~  Am 2 max ~ (3g ) a pm ; δ max2γp3( g ).γp(2.23)89  Обе величины уменьшаются с ростом коэффициента диссипации γ p .При существенном нерезонансном вкладе (т.е. при малых значениях q) абсолютное изменение интенсивности I остается на прежнем уровне, но, в тожевремя, спектры коэффициентов оптического прохождения и отражения меняютформу. Это приводит к увеличению относительного изменения интенсивностисвета δ, в частности, потому что знаменатель в формуле (2.22) уменьшается.

Этоиллюстрирует рис. 2.4в.Проведенный качественный анализ проблемы показывает, что в поперечном магнитном поле плазмонные резонансы отражения и прохождения смещаются по частоте в зависимости от величины и направления поля, практически неизменяя свою форму, что и приводит к усилению экваториального эффектаКерра.3.4.2.Электромагнитное моделированиеДля расчета дисперсионных зависимостей собственных волн структуры иизучения ее оптических свойств необходимо, прежде всего, численно построитьматрицу рассеяния системы и численно решить уравнение det(S 1 )  0 .

В общемслучае, решение этого уравнения представляет собой пару комплексных чиселκ и  . Однако, собственные моды возбуждаются волной, обладающей действительными κ и  . Поэтому по крайней мере одно из двух чисел необходимо считать действительным в зависимости от конкретной задачи [171,172]. Вданной работе рассмотрен случай падения плоской волны на бесконечную периодическую структуру.

Задача обладает трансляционной симметрией в плоскости решетки. Следовательно, интенсивность возбужденных в ней собственных мод также должна быть периодической функцией, и затухание волн, распространяющихся в латеральном направлении должно отсутствовать. Это приводит к необходимости считать величину κ действительной, а частоту  ком90  плексной. Фактически, задача сводится к поиску локального минимума по частоте det(S 1 ) для κ из первой зоны Бриллюэна.На рис. 2.5а приведен результат расчета дисперсионной диаграммы дляплазмонного кристалла со следующими параметрами: период металлическойрешетки d = 430 нм, ширина щелей r = 40 нм, толщина металлической решеткиhm = 100 нм, толщина диэлектрического слоя hd  10 мкм.

При расчете использованы экспериментальные данные для диэлектрической проницаемости золота m , взятые из [173] и  d  5,13 . По вертикальной оси отложена действительнаячасть Re( p ) .Поскольку hd   , то волноводными модами в такой структуре можно пренебречь и рассматривать только плазмонные моды.Сравнение с дисперсией мод, найденных в приближении пустой решетки изуравнений (2.8), (2.9), (2.10), позволяет определить, что линии 1-3 представляютдисперсионные кривые поверхностных волн, возбужденных на границе воздух/металл, а линии средней толщины (линии 4-6) – дисперсионные кривые поверхностных волн, распространяющихся вдоль границы металл/диэлектрик.Наряду с ними, на рис.