Диссертация (Плазмонные гетероструктуры и фотонные кристаллы с перестраиваемыми оптическими свойствами), страница 10

Так как нормальные моды распространяются независимо другот друга, матрица Pn имеет диагональный вид и описывает только фазовыенабеги. Для того чтобы связать амплитуды нормальных мод в соседних слоях,введем динамическую матрицу, или матрицу переноса Dn , которая связываетамплитуды нормальных мод с тангенциальными компонентами напряженностейэлектрического и магнитного полей в n-м слое. Таким образом, условие непрерывности тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей на границе слоев в точке zn+1 представимо в видеDn Pn An  Dn1 An1 .(1.30)56  Учет граничных условий на границах фотонного кристалла (в точках z0 иzN, где N — полное число слоев в фотонном кристалле) происходит аналогичным образом.

Падающую, отраженную и прошедшую волны можно представитьв виде суперпозиции нормальных мод. Пусть A0 — столбец амплитуд нормальных мод в точке z0 для среды слева от фотонного кристалла (рис.1.13), а D0 —динамическая матрица для этой же среды. Две из четырех нормальных мод,распространяющиеся вправо, будут образовывать падающую волну, а другиедве — отраженную. Граничное условие записывается в виде, аналогичномуравнению (1.30):D0 A0  D1 A1 .(1.31)ykRkTk0z0 z1 z2 z3 z4zN-1 zNzРис. 1.13: Схема падения света на слоисто однородную среду.Аналогично, пусть AN+1 — столбец амплитуд нормальных мод в точке zN+1для среды справа от фотонного кристалла, а DN+1 — динамическая матрица длятой же среды.

Тогда две из четырех нормальных мод, распространяющиесявправо, образовывают прошедшую волну, а амплитуды оставшихся двух равнынулю, так как справа на фотонный кристалл свет не падает. Граничное условиеимеет вид:DN AN  DN 1 AN 1 .(1.32)57  Из соотношений (1.30) и граничных условий в точках z0 и zN получается система уравнений, связывающая амплитуды нормальных мод на входе и выходефотонного кристалла:A0  D01 D1 P11  D N PN1 D N1 D N 1 AN 1 .(1.33)Пусть на структуру падает волна единичной амплитуды под углом  к осиz. Состояние поляризации падающей волны зададим углом  между осью x ивектором E , причем этот угол может быть, вообще говоря, комплексным.

В последнем случае падающая волна эллиптически поляризована, причем вещественная часть угла  составляет угол между осью x и большой полуосью эллипса поляризации, а коэффициент эллиптичности (отношение малой полуосиэллипса поляризации к большой) равен th Im  . В случае   0 или    2 падающая волна имеет s- или p-поляризацию соответственно. Так как внешняясреда немагнитная, то в качестве нормальных мод возьмем s- и p-поляризации.Тогда амплитуды нормальных волн для падающей волны равны: As   cos      .A sinp  (1.34)Эти амплитуды подставляются в уравнение (1.30), из которого находятсяамплитуды нормальных мод для отраженной и прошедшей волн.Из амплитуд нормальных мод можно получить декартовые составляющиеполей на входе и выходе кристалла, а из них, в свою очередь — характеристикиотраженной и прошедшей волн.

Для коэффициента прохождения, угла Фарадеяи коэффициента эллиптичности справедливы формулы:22T  As  A p ,  F  Re arctg , tg   th Im arctg  ,где   As sin   A p cos As cos   A p sin (1.35), As и Ap — амплитуды s- и p-составляющих для про-шедшей волны. Аналогичные способом определяются характеристики отраженной волны.58  Отличительной чертой метода матриц переноса является его универсальность, позволяющая моделировать фотонные кристаллы, не обладающие строгой периодичностью. Данный метод позволяет также получать картины распределения поля внутри многослойной структуры, а также дисперсионные кривыедля бесконечных одномерных периодических структур.Метод матриц переноса для вычисления дисперсионных зависимостей состоит в следующем [152].

Пусть фотонный кристалл образован чередованиемдвух типов слоев, которые характеризуются столбцами амплитуд нормальныхмод (волн, распространяющихся в среде независимо друг от друга и сохраняющихполяризацию)Ai,динамическимиматрицамиDiиматрицами-пропагаторами Pi, i  1,2 . Обозначим T  D2 P2 D21 D1 P1 D11 .

Очевидно, если F(z)— столбец, образованный тангенциальными компонентами напряженностейэлектрического и магнитного полей на границе 2-го и 1-го типа слоев, тоTF ( z )  F ( z  D) ,гдеD—периодструктуры.ИзтеоремыБлохаF ( z  D)  e ikD F ( z) , где k — квазиволновой вектор. Отсюда следует, что соб-ственные значения матрицы T (а их ровно 4, так как rangT  4 ) имеют видe ik1, 2 D, где индексы «1» и «2» различают два типа блоховских волн, а знак «»различает направления распространения волн. Из свойств матриц можно получить явные выражения для квазиволновых векторов:cos k1, 2 D 1TrT  2TrT 2  (TrT ) 2  8 .4(1.36)Так как матрица T зависит от характеристик падающей волны (частоты, угла падения), то полученные соотношения определяют дисперсионную зависимость k().59  6.2.Метод связанных мод в пространстве Фурье (RCWA)В данной работе расчет оптических и магнитооптических спектров плаз-монных структур проведен методом связанных мод в пространстве Фурье(RCWA - rigorous coupled waves analysis) [153,154].

Этот метод позволяет рассчитывать любые оптические и магнитооптические характеристики наноструктурированных многослойных металло-диэлектрических сред с гиротропныминаполнителями (интенсивность, состояние поляризации прошедшей, отраженной и рассеянных волн в любом дифракционном порядке, поглощение среды,распределение всех компонент электромагнитного поля в среде).Метод связанных мод в пространстве Фурье применим для описания многослойных структур, каждый слой которых может иметь периодическую модуляцию оптических характеристик (в частности, показателя преломления). Методпозволяет находить оптический отклик среды, т.е. амплитуды (интенсивности)и состояния поляризации дифрагировавших волн во всех дифракционных порядках в отраженном и в прошедшем свете.

Кроме того, данный метод позволяет рассчитывать картину распределения компонент полей E и H в структуре.При этом задаются длина волны, угол падения и состояние поляризации падающей волны.Периодическая структура является, вообще говоря, многослойной, слоилибо однородны, либо периодичны вдоль осей x и y.

При этом периоды в различных слоях либо одинаковы, либо соразмерны между собой. Ограничений надругие геометрические параметры нет. На рис. 1.14 схематически показаныструктура, падающая волна и используемая система координат.60  xy.medium-Bθ k (in )zZ0ZSmedium-AРис. 1.14: Схема металло-диэлектрической структуры для RCWA.Если структура обладает сложным геометрическим профилем, то онадолжна быть представлена в виде многослойной с большим количеством слоевмалой толщины. Необходимое количество слоев определяется из условия сходимости получаемых результатов.

Путем введения эффективных поглощающихусловий метод позволяет также рассчитывать свойства непериодических сред.Метод RCWA заключается в решении уравнений Максвелла в усеченномпространстве Фурье. В силу периодичности можно каждую компоненту тензорадиэлектрической проницаемости разложить в ряд Фурье: (r )   ˆG eiGr(1.37)GПо теореме Флоке для полевых векторов справедливо условие квазипериодичности, согласно которому поле внутри периодической структуры представимо в виде суперпозиции блоховских волн:A (r )   U k (r ) eikr(1.38)kгде A – любой полевой вектор (вектор напряженности электрического или магнитного поля), Uk – строго периодические функции, k – квазиволновой вектор.Так как Uk – периодические функции, то их можно разложить в ряд Фурье:U k (r )   A Gk eiGr(1.39)k61  и таким образом поле внутри периодической среды представлено в виде суперпозиции плоских волн:A (r )   A Gk ei ( k G )rk(1.40)GМетодика расчетов состоит из двух этапов.1) Нахождение собственных волн каждого слоя внутри среды.

Уравнения Максвелла для каждого слоя с учетом разложения тензора диэлектрической проницаемости в ряд Фурье и разложения компонент электрического и магнитного полей по плоским волнам записываются в пространстве Фурье, при этом они принимают вид алгебраической задачи на собственные значения относительно величин EkG и HkG. При практической реализации вместо бесконечномерногопространства Фурье используется усеченное пространство Фурье, размерностькоторого определяется условием сходимости получаемых результатов.2) Сшивка решений на границах слоев приводит к системе линейных алгебраических уравнений для нахождения компонент отраженного и прошедшего электромагнитного поля во всех дифракционных порядках.

Например, в отраженном(R)свете для каждого G-го дифракционного порядка можно найти EG , откуда делается вывод о состоянии поляризации и находится относительная интенсивность:G( R ) k z(GR ) E(GR )2k z(GI ) EG( I )2.(1.41)В зависимости от геометрических параметров структуры и поляризациипадающей волны может наблюдаться неустойчивость метода по величине размерности используемого усеченного пространства Фурье. При особом представлении диэлектрической проницаемости в усеченном пространстве Фурьеуказанная неустойчивость устраняется. В частности, в некоторых уравненияхвместо величин  G из разложения62   (r )    G eiGr(1.42)Gследует использовать величины  G из разложения1   G eiGr . (r ) G(1.43)(с соответствующими изменениями структуры уравнений).Метод связанных мод в пространстве Фурье специально адаптирован длясред с произвольным видом тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей, в частности, для магнитных сред. При этом для достижения хорошейсходимости метода разработаны специальные правила представления уравнений Максвелла в усеченном пространстве Фурье – правила факторизации.

Согласно этим правилам, при переходе в усеченное пространство Фурье каждаякомпонента тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей заменяетсяспециальной комбинацией фурье-компонент тензоров или обратных им величин. В аналитическом виде конечный результат оказывается громоздким, поэтому правила факторизации применяются алгоритмически.При решении системы линейных алгебраических уравнений для нахождения компонент отраженных и прошедших волн может возникать численное переполнение, которое устранимо с помощью применения метода матрицы рассеяния (см.