Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАНАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИимени Д.В. СКОБЕЛЬЦИНАНа правах рукописиУДК 530.1Тарасов Василий ЕвгеньевичМОДЕЛИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИС ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМДРОБНОГО ПОРЯДКАСпециальность 01.04.02 Теоретическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква-2011Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Скобельцина, Московского государственного университета имени М.В.ЛомоносоваОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАНВолович Игорь Васильевич (МИАН имени В.А. Стеклова)доктор физико-математических наук, профессорСлавнов Дмитрий Алексеевич (МГУ имени М.В.

Ломоносова)доктор физико-математических наук, профессорФаустов Рудольф Николаевич (ВЦ имени А.А. Дородницына РАН)Ведущая организация:Санкт-Петербургский государственный университетЗащита состоится "__" _______ 2011 г. в _______ на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университетеимени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Воробьевы горы, МГУ имениМ.В.Ломоносова, физический факультет, Северная физическая аудитория.С диссертацией можно ознакомится в библиотеке физического факультета МГУимени М.В.Ломоносова.Автореферат разослан "__" _______ 2011 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10,профессорЮ.В.

Грац2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы. В настоящее время наблюдается заметный рост интереса физиков теоретиков к методам дробного математического анализа. В первуюочередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями интегродифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физическихпроцессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью,со степенной памятью и фрактальностью.Актуальной задачей современной теоретической физики является исследование явлений и систем, характеризующихся нелокальностью, эредитарностью, немарковостью, фрактальностью, негамильтоновостью.

Последние годы уделяется большое внимание исследованиям степенной нелокальности и степенной долговременной памяти. Эти свойства изучаются для систем различной физической природы,относящихся к различным масштабам (от наносистем до космологии), для квантовых и классических систем, для непрерывных и дискретных. В настоящее времязарождаются основные физические концепции и создаются математические методы одного из современных направлений теоретической физики, называемогодробной динамикой (fractional dynamics).

Фактически в настоящее время рождается новый раздел физики - дробная динамика. Правда этот термин еще не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, что нельзя сказать обанглоязычной. В этом разделе теоретической физики рассматриваются в первуюочередь общие свойства физических процессов со степенной памятью, со степенной нелокальностью и фрактальностью.

При этом изучаются новые динамическиесвойства систем различной физической природы и масштабов, не зависящие отматериала среды или типа физической системы, в котором осуществляется этадинамика.Свойствами и явлениями, описываемыми предлагаемыми в диссертации моделями теоретической физики, являются (а) долговременная память, эредитар3ность, немарковоская динамика; (б) степенная пространственная нелокальностьи нелокальные взаимодействия степенного типа; (в) фрактальность структурыи ее нецелая топологическая размерность.

Основой описания указанных явлений и свойств являются методы интегро-дифференцирования дробного порядкаи дробного математического анализа, история которого насчитывает более трехсот лет и восходит к исследованиям большого числа известных математиков, таких как Лейбниц, Лиувилль, Риман, Абель, Рисс, Вейль. Интегралы и производные нецелого порядка, а также дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в физике имеханике.

Новые возможности в математике и теоретической физике появляются, когда порядок α дифференциального оператора Dxα или интегрального оператора Ixα становится произвольным параметром. При этом многие из обычныхсвойств дифференцирования целого порядка Dxn не выполняются для операторовдробного дифференцирования Dxα . Например, правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования сложной функции, полугрупповое свойство, очевидные для производной первого порядка Dx , не имеют места для операторов Dxα . Однако существуют аналоги этих правил и свойств, задаваемые довольно громоздкими соотношениями. Дробный математический анализ являетсяважнейшим методом для построения моделей теоретической физики, в которыхинтегро-дифференциальные операторы дробного порядка по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных сред, процессов и явлений.Нелокальные взаимодействия изучались как в дискретных системах, так и вих непрерывных аналогах, начиная с работ Дайсона, Накано и Такахаши.

Физические процессы с долговременной памятью исследовались в вязкоупругих средах, начиная с работ Больцмана, Вольтера и Работнова. Фрактальные распределения полей и частиц активно изучаются, начиная с работ Мандельброта. При4этом оставались нерешенными проблемы описания динамики фрактальных среди распределений, динамики диэлектрических сред с универсальным откликом,неголономных систем со степенной памятью, взаимосвязи дискретных отображений с памятью и уравнений движения, согласованного описания интегральных идифференциальных векторных операций дробного порядка, получения уравненийдробной кинетики из статистической механики, связи дискретных и непрерывныхмоделей физических систем с нелокальностями степенного типа, марковской динамики гамильтоновых и негамильтоновых квантовых систем со степенным экранированием окружения, квантования интегро-дифференцирования дробного порядка и некоторые другие.Цель работы.

Целью работы являетсяРазработать метод построения теоретических моделей, позволяющий описывать динамику фрактальных сред и распределений массы, заряда, различных типов полей и частиц, и применить этот метод для описания фрактальных системв гидродинамике, в механике твердого тела, в электродинамике, в аналитическоймеханике, в статистической механике.Построить модели нелокальных взаимодействий для дискретных физическихсистем, таких как кристаллические решетки и линейные цепочки, которые в непрерывном пределе будут описываться уравнениями движения с производными дробного порядка.Развить методы дробного векторного математического анализа и дробного внешнего исчисления для построения моделей физических систем со степенной нелокальностью и применить эти методы для описания моделей нелокальных системв электродинамике, статистической механике, аналитической механике.Построить теоретические модели систем различной физической природы, обладающих степенной памятью, а именно, (а) диэлектрических сред, подчиняющихся5законам универсального отклика; (б) механических систем с неголономными связями и долговременной степенной памятью; (в) физических систем с периодическими толчками и степенной памятью, уравнения движения которых допускаютпредставление в виде дискретных отображений с памятью.Построить модели марковских гамильтоновых, негамильтоновых и открытыхквантовых систем со степенным экранированием окружения и разработать методвейлевского квантования интегро-дифференцирования дробного порядка для построения квантовых аналогов моделей со степенными нелокальными свойствами.Научная новизна.

Новизна научных результатов, полученных автором и выносимых им на защиту, определяется следующим.а) Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальныхсред и распределений, в которых они представляются специальными сплошными средами, при этом их характеристики и динамические законы описываютсяинтегральными уравнениями дробных порядков равных нецелым (массовой, зарядовой, частичной и др.) размерностям сред и распределений.б) Впервые разработан метод получения в непрерывном пределе моделей нелокальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференцированием нецелогопорядка по координатам, из уравнений движения дискретных систем (таких каклинейные цепочки и кристаллические решетки) с нелокальными взаимодействиями степенного типа.в) Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны обобщения интегральных теорем Грина, Стокса, Гаусса.

Используя методыдробного векторного анализа, нами были построены новые модели статистическоймеханики и электродинамики со степенными нелокальностями.г) Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и6негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.д) Предложен новый метод описания электромагнитных полей в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика, основанный наиспользовании уравнений с интегро-дифференцированиями дробного порядка, который явно выражается через экспериментально измеримые показатели степенной зависимости универсального отклика.е) Впервые построены модели физических систем, на которые наложены неголономные связи с памятью, описываемой интегро-дифференцированиями РиманаЛиувилля и Капуто дробного порядка.ж) Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных систем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с периодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифференцированием дробного порядка.з) Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновыхсистем со степенным экранированием окружения, в которых использовались дробные степени супероператоров.и) Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцированияРимана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.Достоверность.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, яснойфизической интерпретацией описываемых свойств и явлений, возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Правильность результатов проверялась с помощью предельных переходов к известным случаям и использованием компьютерных программ аналитических вычислений.7Практическая ценность. Построение моделей фрактальных сред и процессов имеет практическую ценность, так как в предлагаемых моделях дробный порядок интегрирования выражается через экспериментально измеримые (массовые,зарядовые и другие) нецелые размерности этих сред и распределений. Результаты, полученные в рамках дробно-интегральных моделей, могут быть использованы при расчетах динамических характеристик и мультипольных моментовфрактальных сред и распределений различных типов в различных областях отастрофизики до расчета коллекторов нефтегазовых месторождений.В полученных уравнениях для электромагнитного поля в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика, дробный порядок интегродифференцирования явно выражается через экспериментально измеримые показатели степенной зависимости универсального отклика.