Автореферат (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным), страница 2

Обозначимточки ее излома через ys1 < ys2 < . . . < ysk (будем считать, что ys1 = y1 ).✓ln1ln1ln6s3✓(y)1s2⇥ln⇣q⇣⇣⇣⇣qq⇣⇣q ⇣⇣sk⇥q⇥p p qp p p11⇥⇥qpppppppppppy1 ys2qqqppppppppppppyp p p psp p 3qppp pp ppqqqqqM-yskypp pp pp pqpp pp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppСвяжем с числами 0 < ysj < Y < ysj+1 ,sj> 0,sj+1> 0, 1 6 j 6 k1,следующие величины:1=ysj+1ysj+1Y·ysj✓sjsj+1◆2(Yysj+1ysj )ysj ,2=Yysj+1ysj·ysj✓sjsj+1◆2(ysj+1 Y )ysj+1 ysj .Теорема 2. Для любого Y > 0 справедливо равенство:E(Y, ȳ, ¯) = e✓(Y ).1) Если 0 6 Y < y1 , то E(Y, z̄, ¯) = +1 и любой метод являетсяоптимальным;2) если Y = ysj , 1 6 j 6 k, то методmb (z̄(·)) (·) = zsj (·)10является оптимальным;3) если k > 2 и tsj < Y < tsj+1 , 1 6 j 6 k1, то для любых функцийai (·) 2 L1 (R) , i = 1, 2, таких, чтоeY |⇠|= a1 (⇠) eиysj |⇠||a1 (·)|2+ a2 (⇠) e+1ysj+1 |⇠|,|a2 (·)|22линейный оператордля п.в.

⇠ 2 R6 1,L1 (R)mb a1 ,a2 : (L2 (R))n ! L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb a1 ,a2 (z1 (·), z2 (·))](⇠) = a1 (⇠)·F [z1 (·)](⇠)+a2 (⇠)·F [z2 (·)](⇠) для п.в. ⇠ 2 R,является оптимальным методом;4) если Y > ysk , то методmb (z̄(·)) (·) = P (·, Yysk ) ⇤ zsk (·)является оптимальным.Сделаем некоторые замечания по поводу сформулированной теоремы.1) Если 0 6 Y < y1 , то ✓(Y ) =1. Значит E(Y, z̄, ¯) = +1, то естьневозможно восстановить значение функции до поступления какой-либоинформации о ней.2) Если точка восстановления совпадает с одной из точек излома графика✓(·), то берем значение z(·) в этой точке.3) Оптимальный метод линеен, сглаживает наблюдения и использует информацию не более чем о двух измерениях до и после значения Y .4) В случае, когда Y > ysk , оптимальный метод � решение задачи Дирихлес начальной функцией zsk (·).11Третья глава посвящена проблеме наилучшего восстановления3.решения задачи Дирихле в метрике L2 на прямой в верхней полуплоскости,параллельной оси абсцисс, по следующей информации о граничной функции:граничная функция принадлежит некоторому соболевскому классу функцийна прямой, а ее преобразование Фурье известно приближенно (в метрикеL1 ) на конечном отрезке, симметричном относительно нуля.Построеноптимальный метод восстановления и найдено точное значение погрешностиоптимального восстановления.Точная постановка задачи следующая.Рассмотрим пространствофункций:W2r1 (R) = {f (·) 2 L2 (R) : f (r) (·) 2 L2 (R), F [f ](·) 2 L1 (R)},где производные функции f (·) и ее преобразование Фурье F [f ](·) понимаютсяв обобщенном смысле.Обозначим через W2r1 (R) соболевский класс функций на прямой:W2r1 (R) = {f (·) 2 W2r 1 (R),f (r) (·)L2 (R)6 1}.Ставится задача о наилучшем восстановлении функции u(·, Y ) � решениязадачи Дирихле на прямой y = Y , где Y > 0, по следующей информации ограничной функции f (·) 2 W2r1 (R): задано приближенно ее преобразованиеФурье F [f ](·) на отрезке [, ],известна функция g(·) 2 L1 ([, ]).

То есть, ]) такая, чтоkF [f ](·)где> 0, в метрике L1 ([g(·)kL1 ([, ])6 ,> 0.Задача оптимального восстановления u(·, Y ) понимается следующимобразом. Как и ранее, любое отображениеm : L1 [, ] ! L2 (R)12объявляется методом восстановления. Погрешность этого метода определяетсявеличинойre(Y, W21(R), , , m) =supf (·)2W2r1 (R),g(·)2L1 [ , ]kF [f ](·) g(·)kL1 [ , ] 6ku(·, Y )m(g(·))kL2 (R) .Нас интересует величинаE(Y, W2r1 (R), , ) =m : L1 [inf, ]!L2 (R)re(Y, W21(R), , , m),которая называется погрешностью оптимального восстановления и, конечно,те методы m,b на которых нижняя грань достигается:E(Y, W2r1 (R), , ) = e(Y, W2r1 (R), , , m).bЭти методы мы называем оптимальными методами восстановления.✓◆1/(2r+1)⇡(2r + 1)Теорема 3.

Пусть > 0,> 0, b =, 0 = min{ , b}.2Метод mb : L1 [, ] ! L2 (R), действующий в образах Фурье по правилу8⇣⌘><e Y |⇠| 1 e 2Y ( 0 |⇠|) (⇠/ 0 )2r g(⇠), |⇠| 6 0 ,F [m(g(·))](⇠)b=>:0,|⇠| > 0 ,является оптимальным.Погрешность оптимального восстановления имеет вид:s✓21rE(Y, W2 1 (R), , ) =(1 e 2Y 0 ) + e 2Y 02r2⇡Y020⇡(2r + 1)◆.Следует отметить, что оптимальный метод использует, вообще говоря,не всю доступную информацию, а ту, которую использует, определеннымобразом �сглаживает�.4. В четвертой главе рассматривается задача о наилучшем (оптимальном) восстановлении решения задачи Дирихле для верхней полуплоскостипо точно или приближенно известному преобразованию Фурье граничнойфункции в метрике L2 .

Построена серия оптимальных методов восстановления и вычислена соответствующая погрешность восстановления.13Пусть r � натуральное число. Аналогично предыдущему, обозначимчерез W2r (R) соболевский класс функций на прямой (напомним, чтопроизводные, как и раньше, понимаются в обобщенном смысле):⇢W2r (R) = f (·) 2 L2 (R) : f (r) (·)61 .L2 (R)Пусть Y > 0. Ставится задача о наилучшем восстановлении функцииu(·, Y ) � решения задачи Дирихле на прямой y = Y � по следующейинформации: на отрезке [> 0 известно преобразование Фурье, ],F [f ](·) функции f (·) либо точно, либо приближенно в метрике L2 ([т.

е. известна функция g(·) 2 L2 ([kF [f ](·)где> 0 (случай, ]),, ]) такая, чтоg(·)kL2 ([, ])6 ,= 0 соответствует точному значению F [f ](·) на [, ]).Задача оптимального восстановления u(·, Y ) по указанной информациипонимается, как и выше, следующим образом. Любое отображение, ]) ! L2 (R)m : L2 ([назывется методом восстановления, а величинаe(Y, W2r (R), , , m) =supf (·)2W2r (R), g(·)2L2 ([ , ])kF [f ](·) g(·)kL ([ , ]) 6ku(·, Y )m(g(·))(·)kL2 (R)2� погрешностью метода m. Нас интересует величинаE(Y, W2r (R), , ) =m : L2 ([inf, ])!L2 (R)e(Y, W2r (R), , , m),которая называется погрешностью оптимального восстановления, и теметоды m,b на которых нижняя грань достигается, т.

е.E(Y, W2r (R), , ) = e(Y, W2r (R, , , m).bТакие методы мы называем оптимальными методами восстановления.14Теорема 4.1) Пусть>Тогда погрешность оптимального0.восстановления имеет видE(Y, W2r (R),, )=r22⇡+e2Y2r.Для любой функции a1 (·) 2 L1 (R) такой, что21a1 (⇠)1 + e 2Y (⇠/ )2re 2Y (⇠/ )2r6(e2Y |⇠| (1 + e2Y2r2(1 + e(⇠/ ) )2Y1), для п.в. ⇠ 2 [(⇠/ )2r )линейный непрерывный оператор ⇤a1 : L2 ([, ],, ]) ! L2 (R), действующий вобразах Фурье по правилу (считая, что функция g(·) продолжена нулем запределы отрезка [, ])F [⇤a1 g(·)](⇠) = a1 (⇠)g(⇠)eY |⇠|,является оптимальным методом.2) Если= 0, то погрешность оптимального восстановления имеет вид:E(Y, W2r (R),)=eYr.Для любой измеримой функции a2 (·) 2 L1 (R) такой, что|a2 (⇠)1| 6 (⇠/ )r · eY,для п.в.

⇠ 2 [линейный непрерывный оператор ⇤a2 : L2 ([образах Фурье по правилу, ]) ! L2 (R), действующий вF [⇤a2 g(·)](⇠) = a2 (⇠)g(⇠)eявляется оптимальным методом.15, ],Y |⇠|,ЗаключениеВ диссертационной работе рассмотрены вопросы восстановления решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости. Во всех случаях построеныоптимальные методы восстановления и найдены точные значения соответствующих погрешностей оптимального восстановления. Важно отметить, чтооптимальные методы, вообще говоря, используют не всю доступную дляизмерения информацию, а та полезная информация, которая участвует впостроении метода, подвергается определенному �сглаживанию�.Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Личныйвклад автора заключается в получении всех результатов, приведенных вработе.Достоверность этих результатов обеспечивается приведением ихполных доказательств.Во многих областях науки и прикладных задачах возникает необходимость восстанавливать функции или какие-либо функционалы и операторыот них по частотным характеристикам этих функций, которые, какправило, заданы неполно, а возможно, и не точно (например, в геофизике,астрономии, дистанционном зондировании Земли, спектральном анализеи т.п.).Полученные в диссертации явные выражения для оптимальныхметодов восстановления решения задачи Дирихле могут служить основой дляразработки эффективных численных алгоритмов.Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителюпрофессору Георгию Георгиевичу Магарил-Ильяеву за постоянное вниманиек работе и полезные обсуждения.16Список литературы[1] Абрамова Е.

В. Об оптимальном восстановлении решения задачиДирихле по неточным начальным данным // Вестник ТамбовскогоУниверситета, Серия: естественные и технические науки. –– 2009. �Т. 14, вып. 4 –– С. 654-655.[2] Абрамова Е. В. Восстановление решения задачи Дирихле по неточнымграничным данным. //Владикавк. матем.

журн. � 2015. � Т. 17, вып.1. � С. 3-13.[3] Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихлепо неточно заданному спектру граничной функции.// Владикавк.матем. журн. � 2017. � Т. 19, вып. 4. � С. 3-11.[4]Абрамова Е. В. О наилучшем восстановлении решения задачиДирихле в полуплоскости // Тезисы докладов XIII междунар.

конф.�Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование� / ЮМИ ВНЦ РАН. � Владикавказ, 2016. � С. 45-46.[5] Абрамова Е. В. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихлев полуплоскости // Материалы XII Белорусской математическойконфе- ренции / Институт математики НАН Беларуси.

� Минск, 2016.� Часть 1. � С. 3-4.17.