Автореферат (Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле по неточным данным)

Общая характеристика работыАктуальность темы исследованияНа практике часто возникают задачи, связанные с восстановлениемкакой-либо характеристики объекта по информации (часто не полнойи/или не точной) о других характеристиках этого объекта.К примеру,рассматривается задача о восстановлении функции или ее производнойв точке, или интеграла от нее по информации о наборе ее значений вдругих точках, либо по приближенно заданному преобразованию Фурье,или требуется восстановить решение дифференциального уравнения понеточно известным начальным данным и так далее.Применяются различныеподходы к решению подобного класса задач.

Автор следует подходу,которыйпредполагает наличие некоторой априорной информации об объекте, характеристики которого подлежат восстановлению.Это дает возможностьпоставить задачу о нахождении наилучшего метода восстановления данныххарактеристик среди всех возможных методов восстановления.Такойподход базируется на работах А. Н. Колмогорова 30-х годов XX века,посвященных нахождению наилучших средств приближения для различныхклассов функций.Математическая теория, в которой рассматриваютсязадачи восстановления, решаемые на основе этого подхода, плодотворноразвивается, начиная с 60-х годов XX века.Цели диссертационной работыОсновной целью диссертационной работы является получение значенийпогрешности оптимального восстановления и построение оптимальных методов восстановления решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости напрямой, параллельной оси абсцисс, по следующей информации: известны(с некоторой погрешностью) решения этой задачи на двух или более3прямых, параллельных оси абсцисс или известна приближенная информацияо граничной функции.Основные положения, выносимые на защиту1.

Для задачи Дирихле в верхней полуплоскости найдено значение погрешности наилучшего восстановления решения на прямой по неточным егоизмерениям на двух других прямых. Приведены оптимальные методы.2. Рассмотрена аналогичная задача для случая n (n > 2) измерений.Также получено значение погрешности оптимального восстановления дляразличных случаев расположения прямой.В каждом случае указаноптимальный метод.3. Рассмотрена задача восстановления решения задачи Дирихле в метрикеL2 на прямой в верхней полуплоскости, параллельной оси абсцисс, последующей информации: граничная функция принадлежит некоторомусоболевскому классу функций на прямой, а ее преобразование Фурьеизвестно приближенно (в метрике L1 ) на конечном отрезке, симметричномотносительно нуля.Построен оптимальный метод восстановления инайдено точное значение погрешности оптимального восстановления.4.

Для аналогичной задачи в случае задания преобразования Фурье граничнойфункциивметрике L2построена серия оптимальных методоввосстановления и вычислена соответствующая погрешность восстановления.Научная новизнаВсе результаты диссертации являются новыми.Они обобщают иразвивают ранее известные результаты, связанные с задачами оптимальноговосстановления решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Впервые получены значения погрешности оптимального восстановления4и построены оптимальные методы восстановления решения задачи Дирихлев верхней полуплоскости на прямой, параллельной оси абсцисс, по известным(с некоторой погрешностью) решениям этой задачи на двух или болеепрямых, параллельных оси абсцисс или приближенно известной информациио граничной функции.Теоретическая и практическая значимость работыРезультаты диссертации носят теоретический характер и могут иметьприменение в дифференциальных уравнениях и теории приближений.Кроме того, полученные явные выражения для оптимальных методоввосстановления решения задачи Дирихле могут служить основой дляразработки эффективных численных алгоритмов восстановления решениязадачи по неточно заданному преобразованию Фурье граничной функции.Доклады и публикацииСодержание диссертации и ее основные результаты достаточно полноотражены в публикациях автора.

Всего по теме диссертации Абрамовой Е.В.опубликованы 5 печатных работ, из них три статьи в журналах, входящихв перечень ВАК РФ [1]–[3], одна в трудах конференций [5] и одна в тезисахконференции [4]. Доля авторского участия соискателя в работах составляет100%.Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научно-исследовательских семинарах:� 59-я научно-практическая конференция МИРЭА, Москва, 2010 г.;� 64-я научно-практическая конференция МИРЭА, Москва, 2015 г.;� XII Белорусская математическая конференция, Минск, 2016 г.;� XIII международная конференция �Теория операторов, комплексныйанализ и математическое моделирование�, Владикавказ, 2016 г.;� семинаре кафедры Общих проблем управления механико-математического5факультета МГУ имени М.

В. Ломоносова �Вопросы оптимального восстановления линейных операторов� (рук. проф. Г. Г. Магарил-Ильяев, проф.К. Ю. Осипенко, проф. В. М. Тихомиров);� научно-исследовательский семинар ФГБОУ ВПО �НИУ �МЭИ� подифференциальным уравнениям (рук.проф.А. А. Амосов, проф.Ю. А. Дубинский).Объем и структура работыДиссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и спискалитературы. Работа представлена на 87 страницах. Список литературысодержит 63 наименования.Содержание работыРассмотрим следующую постановку задачи Дирихле:8>< u (x, y) = 0, (x, y) 2 R2 , y > 0>:u (x, 0) = f (x) , 8x 2 R, f (·) 2 L2 (R) ,(P1 )заключающуюся в нахождении гармонической функции u(·, ·) в верхнейполуплоскости, удовлетворяющей заданному граничному условию, котороепонимается так: u(·, y) ! f (·) при y ! 0 в метрике L2 (R) и, кроме того,sup ku(·, y)kL2 (R) < 1.y>0В этом случае, как известно, решение данной задачи единственно и задаетсяинтегралом Пуассона:u (x, y) = u (x, y, f (·)) =Zt, y) · f (t) dt = P (x, y) ⇤ f (x) ,P (xRгде P (x, y) =1 y� ядро Пуассона.⇡ x2 + y 26(1)1.

В первой главе рассматривается задача наилучшего восстановлениярешения задачи (P1 ) на прямой y = Y по неточным его измерениям напрямых y = y1 и y = y2 , где 0 6 y1 < Y < y2 .Точная постановка задачи такова. Пусть u(·, ·) � решение задачи (P1 ) иизвестны функции zi (·) 2 L2 (R) такие, чтоku (·, yi )zi (·)kL2 (R) 6 i ,i> 0, i = 1, 2;0 6 y 1 < y2 .По этой информации мы хотим восстановить решение задачи Дирихле напрямой y = Y , y1 < Y < y2 в метрике L2 (R).Любое отображение m : L2 (R) ⇥ L2 (R) ! L2 (R), является методомвосстановления, при этом величинаe (m) = e (Y, y1 , y2 , 1 , 2 , m) =supf (·),zi (·)2L2 (R),ku(·,yi ) zi (·)kL2 (R) 6 i , i=1,2ku (·, Y, f (·))m (z1 (·), z2 (·))kL2 (R)называется погрешностью метода m.Тот методmb : L2 (R) ⇥ L2 (R) ! L2 (R) ,на котором погрешность восстановления минимальна, то естьe (Y, y1 , y2 , 1 , 2 , m)b =infm: L2 (R)⇥L2 (R)!L2 (R)e (Y, y1 , y2 , 1 , 2 , m) ,называется оптимальным методом восстановления.

ВеличинуE (Y, y1 , y2 , 1 , 2 ) =infm: L2 (R)⇥L2 (R)!L2 (R)e (Y, y1 , y2 , 1 , 2 , m)назовем погрешностью оптимального восстановления.Свяжем с числами 0 < y1 < Y < y2 ,1> 0,2> 0 следующиевеличины:1y2=y2Y·y1✓ ◆12(Y y1 )y2 y 1,227Y=y2y1·y1✓ ◆ 2(yy 2 yY )1221.Теорема 1. 1) Пусть 0 6 y1 < Y < y2 ,1>2> 0. Тогда погрешностьоптимального восстановления имеет вид:E(Y, y1 , y2 , 1 , 2 ) =y2 Yy2 y11Y y1y2 y 1·2.Для любых функций ai (·) 2 L1 (R) , i = 1, 2, таких, чтоeY |⇠|= a1 (⇠) eиy1 |⇠||a1 (·)|2+ a2 (⇠) e+y2 |⇠|,|a2 (·)|212для п.в.

⇠ 2 R6 1,L1 (R)линейный операторmb a1 ,a2 : L2 (R) ⇥ L2 (R) ! L2 (R) ,действующий в образах Фурье по правилу:F [mb (z1 (·), z2 (·))](⇠) = a1 (⇠) · F [z1 (·)](⇠) + a2 (⇠) · F [z2 (·)](⇠) для п.в. ⇠ 2 R,является оптимальным методом.2) Пусть 0 6 y1 < Y < y2 , 0 <162.Тогда погрешность оптимальноговосстановления имеет вид:E(Y, y1 , y2 , 1 , 2 ) =1.При этом метод видаm(z1 , z2 )(⇠) = ey1 |⇠|· F [z1 (·)](⇠)является оптимальным.Как будет показано далее, множество оптимальных методов не пусто.2.

Во второй главе рассматривается аналогичная задача для случаяn (n > 2) измерений. Также получено значение погрешности оптимальноговосстановления для различных случаев расположения прямой. В каждомслучае указан оптимальный метод.8Дадим точную постановку задачи. Пусть u(·, ·) � решение задачи (P1 ).Нам известны функции zi (·) 2 L2 (R) такие, чтоzi (·)kL2 (R) 6 i ,ku (·, yi )i> 0, i = 1, . .

. , n;0 6 y 1 < y2 < . . . < y n .По этой информации мы хотим восстановить наилучшим образом решениезадачи Дирихле на прямой y = Y , Y > 0 в метрике L2 (R). Обозначимȳ = (y1 (·), . . . , yn (·)) ,¯ = ( 1 (·), . . . ,n (·)) ,z̄ = (z1 (·), . . . , zn (·)).Аналогично предыдущему, любое отображениеm : (L2 (R))n = L2 (R) ⇥ . . . ⇥ L2 (R) ! L2 (R)есть метод восстановления. Погрешность этого метода задается величинойe (m) = e Y, ȳ, ¯, m =supf (·),zi (·)2L2 (R),ku(·,yi ) zi (·)kL2 (R) 6 i , i=1,2,...,nku (·, Y, f (·))m (z̄(·))kL2 (R) .Тот методmb : (L2 (R))n ! L2 (R) ,на котором погрешность восстановления минимальна, будем называтьоптимальным методом восстановления, а соответствующую погрешностьE Y, ȳ, ¯ = e Y, ȳ, ¯, mb =infnm: (L2 (R)) !L2 (R)e Y, ȳ, ¯, mназовем погрешностью оптимального восстановления.Построим на плоскости (y, t) множество⇢✓✓ ◆◆1M = Coyj , ln, 1 6 j 6 n + {(y, 0) | y > 0} ,j(где Co A обозначает выпуклую оболочку множества A), которое представляетсобой алгебраическую сумму выпуклого многогранника и положительнойполупрямой.9Определим функцию ✓(·) на [0, 1) по формуле:8><max{t | (y, t) 2 M },✓(y) =>: 1, если (y, t) 2/ M.Ясно, что на [y1 , +1) график функции ✓(·) � вогнутая ломаная.