Сведения о результатах защиты (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации), страница 2

Однако, в работе не упоминается конкретное возможное применение рассматриваемого семейства операторов, а лишь отмечаются общие дисциплины для возможного применения полученных результатов. В отзывах ведущей организации и отзыве на автореферат отмечаются следующие критические замечания. 1. Имеют место повторы в описании рассматриваемых объектов — графов, функций на графах, которые с равной степенью подробности описаны в главах 1, 2, 4; 2. В работе высказана гипотеза о возможности описать все самосопряженные расширения оператора Лапласа на графе с помощью матриц вероятностей перехода между ребрами графа.

Исследование этого вопроса пе было завершено в диссертации. Хочется пожелать автору решить эту задачу в его последующих работах. 3. Хотя утверждение леммы 3.3.5 является несложным утверждением о преобразовании граничных условий при простом линейном преобразовании неизвестной функции доказательство леммы 3.3.5 проведено в слишком сжатой и неаккуратной форме, это же касается и доказательства леммы 43.15. 4, Следовало бы более четко определить оператор Лапласа на графе, ибо из работы не вполне ясно, является ли полученный результат обобщением оператора Лапласа как оператора дифференцирования в многомерном пространстве, или это есть просто обозначение для оператора второй производной вдоль выбранной полупрямой.

На все поступившие замечания были даны исчерпывающие ответы. Выбор официальных оппонентов обусловлен сферой их научных интересов, что подтверждается научными публикациями. Выбор ведущей организации обусловлен тем, что данное учреждение является известным центром, проводящим исследования высокого уровня, в том числе в области математического моделирования квантовой динамики и диффузии. Выбор официальных оппонентов и ведущей организации осуществлен в соответствии с требованиями «Положению о присуждении ученых степеней».

Диссертационный совет отмечает, что на основании выполненных соискателем исследований: введена параметризация множества всех самосопряженных расширений оператора, изначально заданного па пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций на графах и на разветвленных многообразиях переменной размерности, носители которых не содержат точек ветвления. В рассматриваемый класс самосопряженных расширений включаются контактные граничные условия, исследованные в работах 10.В. Покорного и О.М.

Пенкина, а также условия связи граничных значений производной с граничным значением функции, рассмотренные в работах О. Г. Смолянова и В. Ж. Сакбаева, также посвященной аппроксимации полугрупп, действующих в пространстве функций на метрическом графе. Для многообразий переменной размерности параметрическое описание множества самосопряженных расширений минимального оператора получено, по-видимому, впервые. Введен в рассмотрение граф со счетным множеством ребер с мерой, заданной на множестве ребер графа, для минимальных дифференциальных операторов второго порядка на котором предъявлено параметрическое описание множества всех самосопряженных расширений. Получена аппроксимация формулами Фейнмана полугрупп с помощью преобразований, определяемых однопараметрических семейств вероятностями перехода между ребрами графа. Проведено исследование сходимости введенных аппроксимаций в случаеравновероятных переходов, который соответствует граничным условиям типа Кирхгофа в точках ветвления графа.

Доказана сходимость к полугруппам, порождаемым уравнениями диффузии с операторами Лапласа на графах, операторнозначных аппроксимаций формулами Фейнмана. Доказана сходимость к группам, порождаемым уравнениями квантовой динамики с операторами Шредингера на графах, операторнозпачных аппроксимаций формулами Фейнмана. Теоретическая значимость исследования состоит в том, что: разработан метод определения дифференциальных операций на разветвленных многообразиях как с помощью изучения расширений минимального оператора, так и с помощью задания вероятностей перехода между гладкими компонентами графи или разветвленного многообразия.

Доказано, что полученные указанным методом операторы составляют совокупность всех самосопряженных расширений дифференциального оператора второго порядка, изначально заданного па линейном пространстве финитных бесконечно дифференцируемых функций с носителями, не содержащими точек ветвления графа. Найден метод получения оператор-функций, итерации которых служат аппроксимациями полугрупп, порождаемых уравнениями диффузии или квантовой динамики на графе. С помощью теоремы Чернова доказана сходимость найденных аппроксимаций к полугруппе, порожденной тем из расширений, граничные значения в точке ветвления для которого задаются условиями баланса потока типа условий Кирхгоффа. Значение полученных соискателем результатов исследования для практики подтверждается тем, что: Результаты об аппроксимации полугрупп формулами Фейнмана могут быть применены для обоснования численных методов решения дифференциальных уравнений на графах.

Результаты, полученные в диссертации, вскрывают тесную связь теории дифференциальных уравнений на графах и теории самосопряженных расширений симметрических операторов с теорией марковских случайных процессов. Оценка достоверности результатов исследования определяется строгими и полными доказательствами, имеющимися в тексте диссертации. Личный вклад соискателя состоит в: Самостоятельном получении научных результатов на основе анализа множества расширений симметрического дифференциального оператора второго порядка на графе и на разветвленном многообразии, на получении новых аппроксимаций полугрупп, задаваемых уравнениями диффузии или квантовой динамике на графе, и на анализе асимптотического поведения этих аппроксимаций с помощью теоремы Чернова. Диссертация охватывает основные вопросы поставленной научной задачи и соответствует критерию внутреннего единства, что подтверждается наличием последовательного плана исследования, концептуальности и взаимосвязи выводов.

Использование результатов диссертации целесообразно в научных центрах и университетах, где проводятся исследования дифференциальных уравнений на графах и разветвленных многообразиях, моделирование процессов диффузии и квантовой динамики таких, как Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, МГУ, МЭИ, РУДН, МФТИ и др. Диссертационный совет пришел к выводу о том, что диссертация представляет собой научно-квалификационную работу, которая соответствует критериям, установленным пунктом 24 Положением о порядке присуждения ученых степеней, утвержденным постановлением Правительства Российской Федерации от 24 сентября 2013 г.

№ 842. На заседании 28 января 2()15 г. Диссертационный совет принял решение присудить Мохамеду Хаммаду Нумапу Эльшейху ученую степень кандидата физико-математических наук. При проведении тайного голосования диссертационного совета в количестве 14 человек, из них 9 докторов наук по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление», участвовавших в заседании, из 19 человек, входящих в состав совета, проголосовали: за присуждение ученой степени — 13, против присуждения ученой степени -1, недействительных бюллетеней - нет.

Председатель диссер ета Амосов А.А. ;фЖ, диссерт~(~ойцого со,' ДМ 212.157.Й' '- Перескоков А.В. Дата оформления Заключения «28» января 2015 г. .