Отзыв оппонента (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации)

ОТЗЫВ официального оппонента Шавгулидзе Евгения Тенгизовича на диссертацию Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх "ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА НА РАЗВЕТВЛЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ИХ АППРОКСИМАЦИИ", представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление.

Исследования свойств дифференциальных операторов типа Лапласа и Шредингера на графах и разветвленных многообразиях и их применения в области функционального интегрирования являются одним из самых активно развивающихся направлений в современной науке. Использование интегралов по непрерывным траекториям позволило найти новые подходы к решению многих трудных задач физики и математики и способствовало созданию новых направлений исследований в этих науках.

Одним из ключевых способов нахождения однопараметрических полугрупп для операторов Шредингера и Лапласа являются методы функционального интегрирования, опирающихся на аппроксимационные приближения и результаты теории полугрупп. Эти подходы оказываются полезными в исследованиях решений дифференциальных уравнений в частных производных. Впервые в работах Р. Фейнмана с помощью интегрирования по пространству траекторий получены решения уравнения Шредингера и был предложен новый подход к построению квантовой теории. Дальнейшее развитие этого подхода потребовало создания теории функционального интегрирования. Исследования в области функционального интегрирования в настоящее время являются одним из важнейших направлений в математической физике и позволяют находить решения эволюционных дифференциальных уравнений с помощью интегралов по пространствам траекторий и исследовать поведения решений этих уравнений и асимптотические свойства операторов.

Подход Р. Фейнмана был основан на представлении функционального интеграла как предела конечнократных интегралов. Новый подход на основе применения теоремы Троттера был предложен Э.Нельсоном. Важную роль в этих представлениях оказали работы Ю.Л.Далецкого, К.Иосиды, Т.Като, В.Фелера. Развитие этого метода с использованием теоремы Чернова было получено в работах О. Г. Смолянова, Х.

ф. Вайцзеккера. С другой стороны, в связи потребностью описания ряда процессов в квантовой физике и биологии в последнее время активно изучаются дифференциальные операторы на графах и разветвленных многообразиях. Описанию таких операторов и исследованию их свойств посвящены серии работ В. Ж. Сакбаева, О. Г. Смолянова, Г. Г. Амосова, Ю. В. Покорного, О. М. Пекина, В.Л. Прядиева, А. В. Боровских, К.

П. Лазарева, С. А. Шаброва, В. Л. Чернышева, А. И. Шафаревича. Одним из основных препятствий при исследованиях эллиптических дифференциальных операторов на графах и разветвленных многообразиях является нахождение условий связи этих операторов в граничных точках, позволяющих получить самосопряженное расширения этих операторов. Следует отметить, в диссертации Мохамеда Хаммада Нумана Эльшейха как раз удалось найти правильное задание этих условий и построения самосопряженных расширений эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на графах и разветвленных многообразиях.

Найденные условия позволили заметно продвинуться в исследованиях свойств таких операторов на графах и разветвленных многообразиях. В частности, в ней получены представлению посредством формул Фейнмана решения задачи Коши для уравнениятеплопроводности и уравнения Шредингера на графах. Следует отметить также важность найденных в диссертации новых аппроксимационных полугрупп для нахождения решений этих уравнений в виде формул Фейнмана. Отметим основные результаты диссертации: Приведено построение самосопряженных расширений эллиптических дифференциальных операторов второго порядка на графах и разветвленных многообразиях. На графах на основе теоремы Чернова получено представление решений задачи Коши для уравнения теплопроводности и уравнения Шредингера посредством формул Фейнмана аппроксимации полугрупп, что приводит к их представлениям в виде функциональных интегралов по траекториям.

Диссертация состоит из введения четырех глав. В первой главе основным результатом является построение на графах и разветвленных многообразиях самосопряженного расширения для эллиптического дифференциального оператора второго порядка, подходящего для широкого класса таково вида операторов. Во второй главе получены важные оценки поведения найденных в диссертации аппроксимационных полугрупп, связанных с условиями на аппроксимации Фейнмана-Чернова.

В третьей главе найдено на графах решение задачи Коши для уравнения Шредингера в виде формул Фейнмана. И в последней четвертой главе дается представление в виде формул Фейнмана решение задачи Коши для уравнения теплопроводности на графах. Следует отметить имеющиеся орфографические опечатки в диссертации, например, в списке литературы в пунктах 21 и 28. В качестве рекомендации для дальнейших исследований в этой области следовало бы найти явный вид функциональных интегралов, описывающих решения задачи Коши для уравнения тепло про водности и уравнения Шредингера на графах и разветвленных многообразиях. Содержание автореферата соответствует содержанию диссертации.

Подводя итог, можно сделать вывод, что в диссертации Мохамеда Хаммада Нумана Эльшейха, посвященной весьма актуальной теме, удалось получить решение серии важных задач в области дифференциальных уравнений и математической физики. Результаты диссертации являются новыми и впервые получены в работах автора. Все доказательства результаты написаны на уровне математической строгости. Результаты диссертации могут найти применения в квантовой физике, биологии, теории функционального интегрирования, в .