Отзыв оппонента 2 (Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации)

ь % ° -ЯВ ! Ф Отзыв официального оппонента о диссертационной работе Мохамеда Хаммада Нумана Элыпейха «Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02.— дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Диссертация Мохамеда Хаммада Нумана Эльшейха посвящена изучению групп и полугрупп, даюших решения задачи Коши для уравнения типа Шредингера и типа теплопроводности соответственно, в виде пределов кратных интегралов от элементарных функций при стремлении кратности к бесконечности.

Такое представление решения принято называть формулами Фейнмана, при этом сами группы и полугруппы порождаются операторами, область определения которых состоит из функций, заданных на графах с одной вершиной и конечным множеством ребер. Кроме того, в работе представлено описание множества самосопряженных расширений симметрического оператора не только для графов с одной и несколькими вершинами с конечным числом ребер, но и для графов с бесконечным множеством ребер, а также для разветвленных многообразий. Основной целью диссертации является вывод формул Фейнмана, представляющих решения некоторых дифференциальных уравнений типа теплопроводности и типа П1редингера в виде предела кратных интегралов. 11охожие задачи рассматривались для различных эволюционных дифференциальных операторов второго порядка, действующих в пространстве функций на более простых графах (О.Г.

Смолянов, В.Ж. Сагбаев), на многообразиях с условиями на границе (О.Г, Смолянов, Х.ф. Вайзеккер, О. Виттих), а также для эволюционных дифференциальных уравнений„описывающих эволюцию частицы с массой. зависящей от координаты в пространстве квадратично интегрируемых функций 10.Г. Смолянов, М. ! аделья и их сотрудники), для аналогичных уравнений с оператором Владимирова, являющемся оператором Лапласа в р-адическом пространстве с переменным множителем (СьГ. Смолянов, Н.Н.

1Иамаров). Рецензируемая работа обобщает и усиливает некоторые из результатов этих работ. В диссертации проводится вывод формул Фейнмана для уравнений типа теплопроводности в пространствах 1, (К"), 1 < р < сс (функций, определенных на графе с одной вершиной и конечным множеством ребер), а также формул Фейнмана для уравнений типа Шредингера в пространстве Ь, (К") квадратично интегрируемых функций, аналогично определенных на графе с одной вершиной и конечным множеством ребер. Несмотря на значительный интерес к операторам второго порядка, в том числе операторам типа Шредингера, сравнительно мало работ посвящено получению формул Фейнмана, содержащих операторы, область определения которых представляет собой множество функций, заданных на графах.

Содержащиеся в формулах Фейнмана конечнократные интегралы аппроксимируют интегралы по мерам 1в случае уравнения типа теплопроводности) или псевдомерам (в случае уравнения типа Шредингера), которые в свою очередь приводят к формулам, называемым формулами Фейнмана-Каца и дают точное представление решения для некоторого класса дифференциальных уравнений. Таким образом, получение формул Фейнмана является одним из методов получения формул Фейнмана-1<аца. В то же время исследования такого рода могу-т оказаться полезными не только с математической точки зрения, но и с точки зрения приложений, поскольку изучение динамики частицы на графах и разветвленных многообразиях может получить широкое распространение в математических моделях, описывающих поведение нейронов в головном мозге, а также системы кровообращения.

То есть актуальность работы не вызывает никаких сомнений. Первая глава диссертации посвящена получению самосопряженных расширений операторов для случая графа с одной вершиной и конечным и счетным множеством ребер, а также для разветвленного многообразия, представляющего собой объединение конечного числа областей конечномерных евклидовых пространств различной размерности и обладающих кусочно-гладкой границей.

Вторая Глава посвящена аппроксимации сильно непрерывных полугрупп итерациями операторнозначных функций для случая графа с одной вершиной и конечным множеством ребер; построение таких аппроксимаций производится в соответствии с теоремой Чернова. В третьей главе получены формулы Фейнмана для группы Шредингера, содержащие операторы, заданные в пространстве 1,з(К") функций, определенных на графе с одной вершиной и конечным множеством ребер. В четвертой главе получен аналогичный результат для операторов типа теплопроводности в пространстве Ьр(К").

К недостаткам работы следует отнести прежде всего высокую плотность ошибок в использовании падежей, склонений, частей речи, знаков препинания и вводимых математических символов; а также дублирование в формулировках задач и результатов. Например, постановка задачи в четвертой главе дублирует постановку в третьей: «Изучаются операторы Шредингера на графе Г...»., хотя четвертая глава, в отличие от третьей посвящена изучению операторов типа теплопроводности. Далее, в главе 3 лемма 3.4.7 является частным случаем леммы 3.4.10, а лемма 3.4.8 — частным случаем леммы 3,4.11; и, поскольку доказательство частного и общего случая аналогично — дублирование не имеет смысла.

В постановке задачи несколько раз повторяется определение одних и тех же понятий, и дается описание одних и тех же функций. Например, в начале главы 3, определение функций Ьр с дублируется пять раз: то же происходит при постановке задачи в главе 4; а одно и то же определение графа дается заново в каждой главе. Кроме того, в работе одним и тем же символом обозначаются различные объекты: многообразие и граф.

Во второй главе даются две формулировки теоремы Чернова. Фактически, первая формулировка используется при выводе формул Фейнмана в четвертой главе, а вторая— соответственно при выводе аналогичных формул в третьей главе„хотя явно это нигде не упоминается. Для читателя было бы полезно, если бы автор пояснял цель и место использования формулируемых теорем. Выводы при доказательстве некоторых утверждений (например, доказательство теоремы 2.2.2, стр.

45) хотя и очевидны, однако изложены слишком кратко, что может вызвать затруднения в понимании у специалистов не из этой области. Как упоминалось выше, результаты работы могут найти непосредственное и важное значение при изучении процессов в нейронных сетях и кровеносных системах. Однако, в работе не упоминается конкретное возможное применение рассматриваемого семейства операторов, а лишь отмечаются общие дисциплины для возможного применения полученных результатов. Но в каждом из указанных случаев неточности в формулировках и выводах устранимы и перечисленные недостатки не снижают ценности полученных результатов и не меняют положительной в целом оценки диссертации. Диссертация Мохамеда Хаммада Нумана Эльшейха представляет собой обширное исследование, посвященное важному и современному.

направлению математической физики: описанию групп и полугрупп Шредингера для динамики частиц в различных областях; и содержит ряд значимых результатов. Полученные в работе результаты могут оказаться полезными для специалистов, работающих в научных центрах России, Италии, Великобритании, С111А, Германии и ряда других стран. Основные результаты диссертации своевременно опубликованы в изданиях списка ВАК и прошли апробацию на различных научно-исследовательских семинарах и международной конференции.

отражает ее содержание Официальный оппонент Кандидат физико-математических наук Толстыга Диана Сергеевна Должность: ведущий специалист по анализу и контролю закупочной деятельности отдела стратегии и управления закупочной деятельностью, управляющая компания «Волга- Днепр-Москва». Почтовый адрес: 121614. г.

Москва, ул. Крылатская, д.17 к. 4, Авиакомпания «Волга- Днепр». Телефон: -ь7 (495) 755-68-50 Подпись Толстыга Д.С. заверяю Диссертационная работа Мохамеда Хаммада Нумана Эльшейха удовлетворяет требованиям, предъявляемым ВАК к диссертациям на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление, и автореферат правильно Толотвтга"Д7.С. - ',~.; у ':;-~' "".* '.',,:, /',ф .