Диссертация (Некоторые методы проекционного типа численного решения одного класса слабо сингулярных интегральных уравнений), страница 9

Ñïðàâåäëèâà îöåíêà Nε (AMh2.ε2 (1 − $0 )2Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ìàòðèöû Cn−1 ðàçëîæåíèåì Cn−1 =1F∗n−1 Dn−1 Fn−1 , ãäå Cn−1 - öèðêóëÿíòíàÿ ìàòðèöà ñ ïåðâûì ñòîëáöîìn−1c = (c0 , c1 , ..., cn−2 )T , Fn−1 ìàòðèöà Ôóðüå ïîðÿäêà n − 1, è Dn−1 äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû Cn−1 è çàìåòèì, ÷òîïðåäîáóñëîâëåííàÿ ìàòðèöà èìååò âèäe n−1 =Aãäå Vn−1 =1−1/2−1/2Dn−1 Fn−1 An−1 F∗n−1 Dn−1 = In−1 + Vn−1 ,n−11−1/2−1/2Dn−1 Fn−1 (An−1 − Cn−1 )F∗n−1 Dn−1 , à In−1 åäèíè÷íàÿn−1ìàòðèöà,.−1Ïîñêîëüêó kD−1n−1 k2 = kCn−1 k2 ≤1, òî1 − $01−1/2−1/2kDn−1 k2 kFn−1 k2 kAn−1 − Cn−1 kF kF∗n−1 k2 kDn−1 k2 =n−1Mh1= kD−1kkA−Ck≤kA−Ck≤.2n−1n−1Fn−1n−1Fn−11 − $01 − $0kVn−1 kF ≤81Ïîýòîìó èç òåîðåìû Âèëàíäòà-Õîôìàíà [88] ñëåäóåò, ÷òî2e n−1 ) ≤ε Nε (An−1Xe n−1 ) − 1)2 ≤ kVn−1 k2 ≤(λk (AFk=13.5×èñëåííàÿðåàëèçàöèÿìåòîäàMh2.(1 − $0 )2Ãàëåðêèíàèñïîëüçîâàíèåì óñðåäíÿþùåãî îïåðàòîðàñσh ìåòîäå ãàëåðêèíñêîãî òèïà ñ P h = σ h ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ϕh ∈ Sbh (J)îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è(3.5.1)ϕh = $0 σ h Λϕh + σ h f,ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìå óðàâíåíèéϕh (τi ) = $0 h−1 (Λϕh , ehi )L2 (J) + σ h f (τi ),0 ≤ i ≤ n.(3.5.2)Ñèñòåìà (3.5.2) â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè èìååò âèäbb n+1 xb+bb = $0 Λxè îòëè÷àåòñÿ îò ñèñòåìû (3.4.3) òîëüêî òåì, ÷òî â íåé òðåõäèàãîíàëüíàÿb n+1 çàìåíåíà åäèíè÷íîé ìàòðèöåé bIn+1 .ìàòðèöà TÑèñòåìà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäåbb n+1 xb=bAb n+1 = bIn+1 − $0 Λb n+1 .ãäå AÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî îïèñàíî â ïóíêòå 3.3.2, ïðîèçâîäèòñÿïðîöåäóðà ðàçîêàéìëåíèÿ ñèñòåìû è ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìûñ ñèììåòðè÷íîé òåïëèöåâîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé An−1 =In−1 − $0 Λn−1 .82Äàëåå ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä CPCG ñ ïðåäîáóñëîâëèâàòåëåì Cn−1 = In−1 −e n−1 , ãäå Λe n−1 òà æå ìàòðèöà, ÷òî è â ïóíêòå 3.4.3.$0 ΛËåììà 3.5.1.

Ñïðàâåäëèâà îöåíêà1kAn−1 − Cn−1 kF ≤ Mh = √ 23Z∞E12 (t)t dt + h0Zh1/2E12 (t) dt.(3.5.3)0e n−1 ), òî îöåíêàÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó An−1 − Cn−1 = $0 (Λn−1 − Λ(3.5.3) ñëåäóåò èç âûâåäåííîé ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3.4.1 îöåíêè kΛn−1 −e n−1 kF .ΛËåììà äîêàçàíà.e n−1 êëàñòåðèçóþòñÿ âáëèçè åäèíèöû,Òî, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèö Aîáîñíîâûâàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.e n−1 ) ≤Òåîðåìà 3.5.1. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà Nε (AMh2.ε2 (1 − $0 )2Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.4.1.3.6×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà êîëëîêàöèè ìåòîäå Ãàëåðêèíà ñ P h = `h ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ϕh ∈ Sbh (J)îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿϕh = $0 `h Λϕh + `h f,(3.6.1)ýêâèâàëåíòíîãî ñèñòåìåϕh (τi ) = $0 Λϕh (τi ) + f (τi ),0 ≤ i ≤ n.Ïîêàæåì, êàê çàäà÷ó (3.6.1) ìîæíî ñâåñòè ê çàäà÷å îáðàùåíèÿ îïåðàòîðàI − $0 π h Λ íà ïðîñòðàíñòâå êóñî÷íî ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé, òî åñòü ê ðåøåíèþ83ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ òåïëèöåâîé ìàòðèöåé An ,âîçíèêàþùåé ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðàπ h .

Íàïîìíèì (ñì. ðàçäåë 3.3), ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñ òàêîé ìàòðèöåéìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä CPCG [67].ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ ϕh∈Sbh (J) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîåéïðîèçâîäíîé Dϕh = δ h ϕh è çíà÷åíèåì ϕh (0), ïðè÷åìτϕh (τ ) = ϕh (0) + ∫ δ h ϕh (s) ds.0(3.6.2)Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (3.6.1) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.3.1), (2.3.2),(1.2.4), èìååìδ h ϕh = $0 π h Λδ h ϕh + $0 π h Eϕh (0) − $0 π h E ∗ ϕh (τ∗ ) + δ h f.(3.6.3)Ó÷èòûâàÿ, ÷òîϕh (0) = $0 Λϕh (0) + f (0),(3.6.4)ñâîäèì çàäà÷ó (3.6.1) ê ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìå (3.6.2) (3.6.4) îòíîñèòåëüíîôóíêöèè δ h ϕh è çíà÷åíèé ϕh (0), ϕh (τ∗ ).Ðàçðåøàÿ óðàâíåíèå (3.6.3) îòíîñèòåëüíî δ h ϕh , èìååìδ h ϕh = ϕh (0)y − ϕh (τ∗ )y ∗ + z.(3.6.5)ãäå y, y ∗ , z êóñî÷íî ïîñòîÿííûå ôóíêöèèy = $0 (I −$0 π h Λ)−1 π h E, y ∗ = $0 (I −$0 π h Λ)−1 π h E ∗ , z = (I −$0 π h Λ)−1 δ h f.Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî π h E ∗ (τ ) = π h E(τ∗ −τ ).

Ñëåäîâàòåëüíî y ∗ (τ ) =y(τ∗ −τ ). Ïîýòîìó âû÷èñëÿòü íóæíî ëèøü y è z . ßñíî, ÷òî äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿäâàæäû ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé An èç ðàçäåëà 3.3.Èç (3.6.2), (3.6.5) òåïåðü ñëåäóþò ðàâåíñòâàϕh = ϕh (0) + ϕh (0)Y − ϕh (τ∗ )Y ∗ + Z,ϕh (τ∗ ) = ϕh (0) + ϕh (0)Y (τ∗ ) − ϕh (τ∗ )Y ∗ (τ∗ ) + Z(τ∗ ),(3.6.6)84ãäåZτY (τ ) =0y(τ 0 ) dτ 0 , Y ∗ (τ ) =Zτy ∗ (τ 0 ) dτ 0 , Z(τ ) =0Zτz(τ 0 ) dτ 0 .0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî(Λϕh )(0) = (E, ϕh ) = (E, 1 + Y )ϕh (0) − (E, Y ∗ )ϕh (τ∗ ) + (E, Z),Y (τ∗ ) = Y ∗ (τ∗ ) = (y, 1),Z(τ∗ ) = (z, 1),ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèÿ (3.6.4), (3.6.6) ê âèäó[1 − $0 (E, 1 + Y )]ϕh (0) + $0 (E, Y ∗ )ϕh (τ∗ ) = $0 (E, Z) + f (0), (3.6.7)ϕh (τ∗ ) = ϕh (0) +(z, 1).1 + (y, 1)(3.6.8)Ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî ϕh (0) è ϕh (τ∗ ) è ïîäñòàâëÿÿíàéäåííîå çíà÷åíèå ϕh (0) â (3.6.5), íàõîäèì ϕh .Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå ϕh ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ýòàïîâ.1.

Âû÷èñëåíèå y è z . Äëÿ ýòîãî äâàæäû ïðèìåíÿåòñÿ âàðèàíò ìåòîäàCPCG èç [67].2. Ðåøåíèå ñèñòåìû (3.6.7), (3.6.8) îòíîñèòåëüíî ϕh (0) è ϕh (τ∗ ).3. Âû÷èñëåíèå δ h ϕh = ϕh (0)y − ϕh (τ∗ )y ∗ + z .τ4. Âû÷èñëåíèå ϕh ïî ôîðìóëå ϕh (τ ) = ϕh (0) + ∫ δ h ϕh (s) ds.085ÃËÀÂÀ 4. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõýêñïåðèìåíòîâ4.1Òåñòîâûå çàäà÷è äàííîé ãëàâå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñîïèñàííûìè â ãëàâàõ 2 è 3 ìåòîäàìè, ïðèìåíåííûìè ê ðåøåíèþ ÷åòûð¼õìîäåëüíûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ.Çàäà÷à I ïåðâîé çàäà÷å f (τ ) = 1 − $0 , ÷òî îòâå÷àåò íàëè÷èþ òîæäåñòâåííîðàâíîãî åäèíèöå îáúåìíîãî èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ.Çàäà÷à IIÂî âòîðîé çàäà÷å f (τ ) = $0 e−τ /µ , ãäå 0 < µ ≤ 1, ÷òî îòâå÷àåò íàëè÷èþâíåøíåãî èçëó÷åíèÿ c åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòüþ, ïàäàþùåãî íà ëåâóþãðàíèöó àòìîñôåðû ïîä óãëîì, êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí µ.Çàäà÷à III òðåòüåé çàäà÷å f (τ ) = E1 (τ ) èìååò ñèíãóëÿðíîñòü â òî÷êå τ = 0.Çàäà÷à IV ÷åòâ¼ðòîé çàäà÷å ïðàâàÿ ÷àñòü ðàçðûâíà: f (τ ) =1,0,0 6 τ 6 1,τ > 1.8610.90.8 =0.99990.7 0.6 =0.9999990.50.40.30.20.1001002003004005006007008009001000Ðèñ.

4.1: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è IРис.1 Зависимость решениячасти ( ) дляот оптической глубины атмосферы при.для правой43.5 3 2.5 21.5 10.50012345678910Ðèñ. 4.2: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è IIРис.5 Зависимость решения( )дляот оптической глубины атмосферы приидля правой части.874.54 = . 3.5 = . 3 = . 2.521.510.50-0.501002003004005006007008009001000Ðèñ. 4.3: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è III54.5 43.5 32.5200.511.52Ðèñ. 4.4: Ãðàôèêè ðåøåíèé çàäà÷è IVГрафики решения задачи IV дляпри.IG method1Íà ðèñóíêå4.1 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ çàäà÷è I äëÿ τ∗ = 1000 ïðè88$0 = 0.99, 0.9999, 0.999999.

Íà ðèñóíêå 4.2 äàíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ çàäà÷èII äëÿ τ∗ = 10, $0 = 0.9999 äëÿ íåñêîëüêèõ çíà÷åíèé êîñèíóñà óãëà ïàäåíèÿâíåøíåãî èçëó÷åíèÿ. Íà ðèñóíêå 4.3 äàíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ çàäà÷è III äëÿτ∗ = 1000 ïðè $0 = 0.99, 0.9999, 0.999999. Íà ðèñóíêå 4.4 äàíû ãðàôèêèðåøåíèÿ çàäà÷è IV äëÿ τ∗ = 100 ïðè $0 = 0.99, 0.9999, 0.999999.4.2×èñëåííûåýêñïåðèìåíòûïîèñïîëüçîâàíèþìåòîäà CPCG òàáëèöàõ 4.14.9 ïðèâåäåíû äàííûå î ÷èñëå èòåðàöèé ìåòîäà CPCG,ïîòðåáîâàâøèõñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ìåòîäà Ãàëåðêèíà.Âî âñåõ âàðèàíòàõ íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå x(0) = 0. Ïðè çàäàííîékr(k) k< ε.òî÷íîñòè ε èòåðàöèè ïðåêðàùàëèñü ïîñëå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿkr(0) kÄëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ òåõ æå çàäà÷ ìåòîäîì CG.Ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà CPCG î÷åâèäíî âî âñåõ ñëó÷àÿõ.

Íàèáîëåå ÿðêî îíîïðîÿâëÿåòñÿ ïðè τ∗ = 1000, $0 = 0.9999 è $0 = 0.999999, êîãäà ÷èñëîîáóñëîâëåííîñòè ïðèíèìåò çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííî ðàâíûå 104 è 106 .Òàáëèöà 4.1: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàτ∗ = 10,àëüáåäî$0 = 0.9989Òàáëèöà 4.2: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàÒàáëèöà 4.3: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàτ∗ = 10,τ∗ = 10,Òàáëèöà 4.4: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíààëüáåäîàëüáåäîτ∗ = 100,$0 = 0.9999$0 = 0.999999àëüáåäî$0 = 0.9990Òàáëèöà 4.5: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàÒàáëèöà 4.6: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàτ∗ = 100,τ∗ = 100,Òàáëèöà 4.7: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíààëüáåäîàëüáåäîτ∗ = 1000,$0 = 0.9999$0 = 0.999999àëüáåäî$0 = 0.9991Òàáëèöà 4.8: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíàÒàáëèöà 4.9: Îïòè÷åñêàÿ ãëóáèíà4.3×èñëåííûåτ∗ = 1000,τ∗ = 1000,àëüáåäîàëüáåäîýêñïåðèìåíòû$0 = 0.9999$0 = 0.999999ïîïðèìåíåíèþïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷ çàäà÷àõ I è II ïðàâûå ÷àñòè ãëàäêèå: f (τ ) = 1 − $0 è f (τ ) = $0 e−τ . çàäà÷å III ïðàâàÿ ÷àñòü f (τ ) = E1 (τ ) èìååò ñèíãóëÿðíîñòü â òî÷êå τ = 0. çàäà÷å IV ïðàâàÿ ÷àñòü f (τ ) =1,0 6 τ 6 1,0,ðàçðûâíà; îíà èìååòτ > 1.ñêà÷îê â òî÷êå τ = 1. ïðåäñòàâëåííûõ ðåçóëüòàòàõ τ∗ = 10, $0 = 0.99; ñåòêà ðàâíîìåðíàÿ ñóìåðåííî ìàëûì øàãîì h = 10/256 ≈ 0.04.92Íà ðèñóíêàõ 4.54.10 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè íåâÿçîê ìåòîäîâ ñ P h = π h ,Ph = πb h , P h = σ h è P h = `h .Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî èç ðàâåíñòâà (1.2.4) ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäíûåDϕ ðåøåíèé ýòèõ çàäà÷ èìåþò îñîáåííîñòè â òî÷êàõ τ = 0 è τ = τ∗ .

Ïîýòîìóãðàôèêè íåâÿçîê ïðåäñòàâëåíû â îêðåñòíîñòè òî÷êè τ = 0, ãäå çíà÷åíèÿïîãðåøíîñòåé ìàêñèìàëüíû.Äëÿ çàäà÷ I è II íà ðèñ. 4.5 è ðèñ. 4.6 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûåìåòîäîì Ãàëåðêèíà è èòåðèðîâàííûì ìåòîäîì Ãàëåðêèíà. Ïîñêîëüêó ïðàâûå÷àñòè çäåñü ãëàäêèå, ïðèìåíåíèå ðåãóëÿçàöèè ïî Êàíòîðîâè÷ó íå äàåò êàêîãîëèáî âûèãðûøà. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íàèìåíåå òî÷íûìè îêàçûâàþòñÿìåòîäû ñ P h = π h . Ìåòîäû ñ P h = σ h äàþò íåñêîëüêî ìåíüøóþ è áîëååãëàäêóþ íåâÿçêó. Çíà÷èòåëüíî áîëåå òî÷íûìè îêàçûâàþòñÿ ìåòîäû ñ P h = πbhè P h = `h .Äëÿ çàäà÷è III ñ ñèíãóëÿðíîé ïðàâîé ÷àñòüþ (ñì. ðèñ. 4.7) ìåòîäûÃàëåðêèíà ñ P h = π h , P h = πbh è P h = σ h äàþò ïðèìåðíî îäèíàêîâûåïî òî÷íîñòè ðåçóëüòàòû.

Èñïîëüçîâàíèå èòåðèðîâàííûõ ìåòîäîâ çíà÷èòåëüíîïîâûøàåò òî÷íîñòü. Ìåòîäû ñ P h = `h (ìåòîä êîëëîêàöèè è èòåðèðîâàííûéìåòîä êîëëîêàöèè) ê ðåøåíèþ çàäà÷è III íåïðèìåíèìû, òàê êàê f (0) =E1 (0) = ∞.Íà ðèñóíêå 4.8 äëÿ çàäà÷è III ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè íåâÿçîê,ñîîòâåòñòâóþùèåìåòîäóÊàíòîðîâè÷àèèòåðèðîâàííîìóìåòîäóÊàíòîðîâè÷à. Âèäíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ðåãóëÿðèçàöèè Êàíòîðîâè÷àñóùåñòâåííî ïîâûøàåò òî÷íîñòü ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ. Íàèáîëååòî÷íûì îêàçûâàåòñÿ èòåðèðîâàííûé ìåòîä Êàíòîðîâè÷à ñ P h = `h .Íà ðèñóíêàõ 4.9 è 4.10 äëÿ çàäà÷è IV ñ ðàçðûâíîé ïðàâîé ÷àñòüþ f93ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè íåâÿçîê âñåõ ìåòîäîâ. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü,ñóùåñòâåííûé âûèãðûø äàåò èñïîëüçîâàíèå ðåãóëÿðèçàöèè Êàíòîðîâè÷à.Ïðîâåäåííûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ çàäà÷ ñ ãëàäêèìèïðàâûìè ÷àñòÿìè íàèáîëåå ýôôåêòèâåí èòåðèðîâàííûé ìåòîä Ãàëåðêèíàñ Ph = πbh è P h = `h , à äëÿ çàäà÷ ñ îñîáåííîñòÿìè â ïðàâûõ ÷àñòÿõ èòåðèðîâàííûé ìåòîä Êàíòîðîâè÷à ñ P h = πbh è P h = `h .