Отзыв оппонента 2 (Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамических систем уравнений)

отзыв официального оппонента кандидата физико-математических наук Попова Анатолия Вадимовича на диссертационную работу Гаврилина Владимира Алексеевича на тему "Консервативные дискретизации одномерных квазигазо- и квазигидродинамичсских систем уравнений", представленную па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специалыюсти 01.01.07 — вычислительная математика. Построение и исследование численных методов решения зада ~ газо- и гидродинамики стимулируется многочисленными теоретическими и прнкладпымн задачами.

Одним из направлений этой работы является разработка ревностных схем, предназначенных для решения этих задач с использованием квазигазо- и квазнгидродинамических систем. Рецензируемая работа посвящена исследованию построенных автором новых пространственных аппроксимаций для этих систем, замыкаемых уравнениями состояния реального газа. Актуальность темы диссертации не вызывает сомнений, Проводимые в пей исследования представляют цешюсть как для теории применения разностных методов для решения задач математической физики, так и для практических приложений.

Диссертацня состоит из введения, четырех глав, заключения и опаска литературы. Во введении приводится достаточно полный обзор литературы по темо диссертации, обосновывается актуальность темы, ставятся задачи работы, формулируется научная новизна и практическая значимость полученных результатов. В первой главе рассматривается одномерная система уравнений мелкой воды. Приводится лшдифицированная система, полученная в результате квазигазодинамической регуляризацнн.

Для последней системы строится новая трехточечная симметричная дискретизация по пространству. Для этой дискретизации доказывается аналог полученного ранее А.А.Злотником и Ю.В.Шеретовым закона поточечного энергетического баланса. Для доказательства работоспособности предлагаемого алгоритма приводятся результаты численных экспериментов задач о распаде разрыва в капала и задачи "течения над холмом".

Во второй главе в разделе 1 рассматривается одномерная квазигазодипамвческая система, дополненная уравнениями состояния реального газа. В разделе 2 построеяа стандартная схема и проведены тестовые расчеты в случаях модели с двучленными уравнениями состояния н модели Вап-дер-Ваальса. В разделе 3 построена новая пространственная дискретизация, в которой использованы специальные аппрокснмагйпц гарантирующие отсутствие дисбвлансных слагаемых в производстве энтропии. В разделе 4 приведены результаты численных экспериментов, показывающих явное преимущество построенной в разделе 3 дискретизации по сравнению со стандартной схемой. В третьей главе в разделе 1 рассматривается одномерная кввзигидродинамичсская система уравнений реального газа, приводится уравнение баланса энторопии для этой систел1ы. В разделе 2 строится симметричная трехточечная пространственная дискретизация специальнога вида, для которой доказывается выполнение уравнения баланса энтропии.

В разделе 3 по схеме, использующей дисретизацию из раздела 2, проводится серия численных экспериментов в трех случаях; для модели совершенного политропного газа, модели с двучлснными уравнениями состояния н модели Ван-дер-Ваальса. В четвертой главе рассматривается многомерная квазигндродннамнческая система уравнений реального газа. В разделе 1 выведены критерии неравномерной и равномерной параболичности по Петровскому этой системы. В разделе 2 для решения задачи Каши линеарнзованпой системы получены оценки глобальные по времени.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми и прадставляют несомненный интерес для теории применения численных методов в газо- и гидродипамических задачах. Эти результаты являются обобщением квазигазо- и квазигндронамических моделей на случай реального газа, что потребовало от автора тщательного изученвя работ предшественников, их техники исследования, преодоления трудностей, связанных с более сложными уравнениями состояния газа. В результате были предложены новые дискретизации известных систем уравнений, обладающие свойством консервативности. Построенные алгоритмы были проанализированы с помощью известных тестов и полученные результаты расчетов были сравнепы с результатами других авторов. Сравнение показало, что предлагаемые методы в ряде случаев улучшают результаты известных ранее методов.

Также одним из результатов работы является вывод критерия параболичпости по Петровскому уравнений реального газа в многомерном случае и получение оценок глобальных по времени решения задачи Коппс Основные результаты диссертации строго доказаны и опубликованы в 10 работах, из них три в рецензируемых изданиях из списка ВАК. Методы исследования. Автор использует широкий арсенал результатов в методов теории дифферепцианьпых уравнений, вычислительных методов, теории разностпых схем и газо- и гидродинамических моделей. Диссертант уверенно владеет указанными мс тодами. Использование результатов. Результаты дсссртации люгут быть использованы в научных исследованиях, проводвмых в МГУ, ИПМ РАН, ВЦ РАН, ИВМ РАН, НГУ, МЭИ, а также других организациях, занимающихся численным решением газо- и гидродипамических задач.

Замечания. Сденаем пекоторыа замечания по содержанию диссертации. 1. Все рассмотренные дифференциальные задачи рассматриваются на конечном промежутке по пространственной переллеппой, т.е, являются начально-краевылли задачами. Однако нигде нс умоминается об используеллых граничных условиях, хотя нх выбор представляет как теоретический, так и практический интерес. 2. Сравнения полученных результатов по новым схемам с известными численными решениями описаны с помощью слов "немного хуже", "существенно лучше" и т.д. Работа по вычислительной математике отличается от научно-популярной литературы строгостью изложения. Ыатематическв строгое сравнение двух объектов происходит с использованием инструмента, называемого нормой.

В работе нет ни одного сравнения норм точности численных решений, полученных по ранее известным методам и методам, предлагаемым в диссертации. Более того, даже графические результаты приводятся лишь для новых разностпых схем, а хорошо бы было изобразить на одном рисунке график решения, которое считается автором точным, и графики численных решений — одно полученное по новому алгоритму, а другое по известному ранее. 3. Эффективность алгоритма можно охарактеризовать временем расчета численного решения с заданной точностью.

Такого сравнения методов в диссертации нет. 4. Из приведенных ссылок можно понять, что предлагаемые алгоритмы сравнивались лишь с известными схемами для квазигвзо- и квазигидродинампческих систем уравнений. Но решения всех тестов можно было вычислить, используя современные удароулавливающио методы, аппроксимирующие напрямую газо- и гидродиманические системы и сравнить эффективность алгоритмов. Тем более, что в одномерном случае реализация всех алгоритмов занимает немного времени. Тем пе менее, сделанные замечания нисколько пе умаляют ценности полученных в работе результатов. Вывод. Представляемая диссертация является законченной научно-исследовательской работой.

В пой построены новые пространственные дискретизации в одпол<ерпом случае для квазигазодннамнческой системы уравнений мелкой воды, квазигазоднмической системы уравнений реального газа и квазигидродинамической системы уравнений реалыюго газа, Для этих дискретизаций выполняется закон невозрастапия энергии в случае систел>ы уравноннй мелкой воды н нсубывания энтропии в случае систем уравнений реального газа. Работоспособность описанных алгоритмов проверена па расчетах ряда тестов и проведено сравнение с ранее известными алгоритмал>и, показавшее конкурентно- способность построенных алгоритмов. Для кввзнгазодинамической системы уравнений реального газа в многомерном случае получены крнтерни параболнчности по Петровскому, а также для липеаризованной системы выведены глобальные оценки по времени решения задачи Коши.

Все эти результаты представляют несомненный теоретический интерес и имеют важное прикладное значение. Основные результаты работы опубликованы. Автореферат полностью отрав<ает ее содержание. Диссертация удовлетворяет всем требовапиямм полом<ения ВАК РФ о порядке присуждения ученых степеней, прсдъявляел<ых кандидатским диссертациям, а со автор заслу>кивает прнсу>кдения ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 — Вычислительная математика.

Оф>щиальпый оппонент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики механико-математического факультета федерального бюджетного образовательного учреждения высшего образования "Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова" 119991, ГОП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, д.1, Главное здание о-шы1: п>шшЮшесЬ.ша$1>.шзп.вп телс (495) 939-12-44 2 С<>с Д~ 2с>У~'4 Попов А.В. Подпись доцента Попова А .