Диссертация (Экспериментально корректируемые компьютерные модели гексаферритовых гиромагнитных резонаторов), страница 11

Характерной чертой зернистой структуры материала являетсято, что частицы в нем не идентичны друг другу, а отличаются по форме, размерам,пространственной ориентации и другим параметрам. Поскольку зернистая структура приводитк существенным отличиям различных (механических, электрических, магнитных и др.) свойствполикристаллических материалов от свойств монокристаллов аналогичного химическогосостава (см., например, [79]), для разработки компьютерной модели гиромагнитного резонаторана основе гексаферритового поликристаллического материала необходимо, прежде всего,рассмотреть вопросы, касающиеся теоретического описания зернистой структуры.Математическое описание зернистой структуры поликристаллических материаловобычно проводят с применением аппарата теории вероятностей и математической статистики:образец материала рассматривают как совокупность большого количества частиц, различныепараметры которых (отвечающие за геометрические размеры, ориентацию в пространстве ит.д.) анализируют как случайные величины.Однойизважнейшиххарактеристикзернистойструктурыгексаферритовыхполикристаллических материалов, применяемых в устройствах КВЧ, является качествотекстуры.

Поликристаллический материал называют текстурованным в том случае, когда в немимеется упорядоченность пространственной ориентации кристаллографических осей частиц.Текстурованныемагнитно-одноосныеполикристаллическиематериалыобычнополучают путем обработки жидкой суспензии порошка гексаферрита постоянным магнитнымполем [18, 37, 80]. Внешнее поле, намагничивающее частицы гексаферрита, поворачивает ихтаким образом, что гексагональные оси частиц устанавливаются примерно параллельносиловым линиям поля. Полученная таким способом пространственная ориентация частицфиксируется при последующем прессовании и спекании материала.Описанная технология позволяет создать образец поликристаллического материала, вкотором гексагональные оси частиц являются преимущественно ориентированными тольковдоль одного пространственного направления – направления внешнего магнитного поля.

Такуютекстуру называют осевой (аксиальной) [81], а направление преимущественной ориентацииосей частиц характеризуют осью текстуры (считая эту ось направленной, обозначим орт ееусловно-положительного направления знаком e ).В материале с аксиальной текстурой пространственную ориентацию частиц удобнорассматривать в системе координат  x , y , z  , связанной с осью текстуры (рис. 2.1).60Рис.

2.1. Система координат, связанная с осью текстуры (слева);положение оси текстуры во внешнем поле (справа)Всистемекоординат x , y , z направлениеортаусловно-положительногонаправления гексагональной оси k-й частицы (обозначим его ck ) можно однозначноохарактеризовать углами θ k и φ k . Поскольку пространственная ориентация частиц считаетсяслучайной, при описании зернистой структуры материала последовательности чисел cos θ k  иφk рассматривают как последовательности реализаций некоторых случайных величин(обозначим их X и Q). При описании зернистой структуры случайные величины X и Qхарактеризуют законами распределения pX  x  и pQ  q  , определяемыми через вероятность тойили иной ориентации гексагональной оси частицы в системе координат  x , y , z  :pX  x  dx  P  x  X  x  dx  ,(2.1)pQ  q  dq  P  q  Q  q  dq  .(2.2)Поскольку при создании текстуры внешнее магнитное поле было направлено вдоль осиz , k-я частица «стремилась» повернуться гексагональной осью так, чтобы значение cos θ kоказалось как можно ближе к единице.

Это дает основания полагать, что в текстурованныхматериалах существует некоторая упорядоченность ориентации частиц по углу θ . Однако вотношении угла φ этого сказать нельзя, ведь магнитное поле, действующее вдоль оси z , неимеет ни x -й, ни y -й компонент и потому не является видимой причиной для возникновенияупорядоченности ориентации частиц по этим координатам. Из-за этого случайную величину Qобычно полагают распределенной равномерно [41, 42, 28]:1 , q   0, 2π  ;pQ  q    2π 0, q   0, 2π  .(2.3)61Что же касается случайной величины X, то в наиболее общем случае закон распределенияpX  x  может быть записан в виде ряда Тейлора в окрестности точки x0  0 .

При этом рядТейлора должен содержать только четные степени аргумента x, поскольку в диапазонедопустимых значений x   1,1 функция плотности вероятности pX  x  является четной [82]:p X  x    an x 2 n .(2.4)n 0Для качественного объяснения четности функции pX  x  рассмотрим процесс созданиятекстуры материала, состоящего из однодоменных частиц. Как было показано в главе 1, вотсутствие внешнего поля вектор намагниченности однодоменной частицы гексаферрита имеетдва возможных направления ( M 0  c и M 0  c ), в зависимости от направления поляанизотропии.

Поскольку ни одно из двух возможных направлений поля анизотропии неявляется преимущественным, есть основания считать, что в исходной (нетекстурованной)суспензии содержится примерно одинаковое количество частиц, у которых H A  c и укоторых H A  c . После помещения суспензии в магнитное поле, у одних частиц ( H A  c )угол между векторами c и e начнет уменьшаться, а у других ( H A  c ) – увеличиваться.Таким образом, после создания текстуры должно наблюдаться примерное равенство количествачастиц, для которых угол  отличается от 90 на одно и то же значение в большую и вменьшуюстороны.Инымисловами,должновыполнятьсяравенствовероятностейP1  P  90   0      90  0  и P2  P  90  0    90   0    , которое и означаетчетность функции pX cos   x  .Поскольку анализ свойств поликристаллического материала с текстурой, описываемой вобщем виде, весьма сложен, во многих теоретических работах вместо закона распределения(2.4) используются более простые с точки зрения аналитических расчетов функции.

Однакоговорить при этом о каком-то едином подходе не приходится: в работах разных авторов можновстретить самые разные выражения для функцииpX  x  . Среди них можно выделитьследующие распространенные законы распределения1:1. Равномерный в диапазоне  a0 , b0  ( 0  a0 , b0  1 , a0  b0 ).В общем случае равномерный закон распределения можно записать в виде:1Подразумевая, что приведенные ниже законы распределения относятся к случайной величине Х, индекс «Х» вобозначении закона распределения заменим порядковым номером.6212 b  a ,p1  x     0 0 0,x   a0 , b0  ;(2.5)x   a0 , b0 .Предельный случай равномерного распределения ( a0  0 ,b0  1 ) соответствуетстатистически изотропному материалу, в котором все пространственные направлениягексагональных осей равновероятны.

В частности, именно такой материал рассматривался вработе [13]. Другой предельный случай равномерного распределения ( a0  b0 ) соответствуеттак называемой «конической» ориентации частиц, рассмотренной в работе [83].2. «Гиперболический» закон распределения [22].Выражение для «гиперболического» закона распределения имеет вид:p2  x  a ch  ax ,2sh  a (2.6)где a  0 – параметр закона распределения. Чем больше значение этого параметра, тем большаяупорядоченность ориентации гексагональных осей наблюдается в материале.3.

«Технологический» закон распределения [42].Выражение для «технологического» закона распределения имеет вид: x2 1 1  x2 p3  x   1  2  exp ,2 2 σ  2σ (2.7)где σ  0 – параметр закона распределения. Чем меньше значение этого параметра, тембольшая упорядоченность ориентации гексагональных осей наблюдается в материале.4. «Произвольный» закон распределения.В отличие от бесконечного ряда (2.4), под «произвольным» законом распределенияпонимается многочлен вида [82]:N 1p4  x    an x 2 n .(2.8)n 0Частный случай такого распределения ( a0  ...  aN 2  0 ) использован в [41].При работе с «произвольным» законом распределения следует учитывать, что междукоэффициентами ряда (2.8) существует взаимосвязь, обусловленная условием нормировки.

Какизвестно, интеграл от функции плотности вероятности, взятый по всей области допустимыхзначений аргумента, должен равняться вероятности достоверного события:1 p  x  dx  1 .41Проведя интегрирование функции p4 из (2.8)(2.9)631 N 1N 1 11N 1N 1ananan2 n 12 n 12 n 1pxdxaxdxaxdxx1 1 nn1 41 n 0n  0 1n  0 2n  1n  0 2n  1n  0 2n  1112nN 12nN 1N 1N 1N 1N 1anaaa2a2 n 12n1   n  1   n   n   n ,n  0 2n  1n  0 2n  1n  0 2n  1n  0 2n  1n  0 2n  1(2.10)получим уравнение для взаимосвязи коэффициентов «произвольного» закона распределения:N 12an 2n  1  1 .(2.11)n 0Представленные функции p14  x  обладают параметрами, регулирующими разбросориентации гексагональных осей частиц в материале относительно оси текстуры.

Изменениеэтих параметров позволяет при моделировании управлять степенью упорядоченностипространственной ориентации частиц, меняя, таким образом, качество текстуры материала. Вчастности, в материале с идеальной текстурой гексагональные оси всех частиц ориентируются водном направлении (в направлении оси текстуры), а в нетекстурованном материале оси частицориентируются во всех возможных пространственных направлениях.Помимо пространственной ориентации, частицы в поликристаллическом материалеотличаются друг от друга еще и по форме, и по геометрическим размерам. Поскольку приописании явления ФМР в гексаферритовых поликристаллических материалах в качествемодели частицы обычно используется описанная в главе 1 модель частицы в форме эллипсоидавращения, изменение формы виртуальной частицы может быть проведено путем изменениядлин главных осей эллипсоида. Меняя соотношение длин осей в широких пределах, можно«создать» частицу различной формы, начиная от шара и заканчивая диском или стержнем.Таким образом, при описании неидентичности частиц в материале по форме правомерным былобы считать случайной величиной отношение длин главных осей эллипсоида.

Однако, посколькуэто отношение однозначно определяет разность размагничивающих факторов в формуле (1.16)[84], разброс его значений приводит к разбросу значений первой константы поля анизотропииH A1 [40]. Следует заметить, что случайный характер параметра H A1 , помимо формы, можетбыть вызван разбросом значений константы K1 и намагниченности M S , обусловленнымзамещением при изготовлении материала части Fe2O3 другими окислами.В теоретических работах (см., например, [28, 40, 42, 43]) для описания случайнойвеличины HA1 часто используется закон Коши:pY  y  1,  y  12   2где Y  H A1 H A1 , H A1 – среднее значение константы поля анизотропии в материале, полуширина закона распределения по уровню половины от максимального значения.(2.12)1 –64Результаты экспериментальных исследований (см., например, [85, 86]) говорят, скорее, впользу нормального закона:pH A1  ha   h h 1exp   a 2  ,2 H 2 H (2.13)где h – среднее значение,  H2 – дисперсия значений 1-й константы поля анизотропии.Учет неидентичности частиц по размерам не получил распространения в теоретическихработах, посвященных описанию ФМР в поликристаллических материалах.