Диссертация (Разработка методики анализа параметров электропотребления для их нормирования и оценки объемов энергосбережения при проведении энергоаудита предприятий и организаций), страница 7

Классические вероятностно-статистические методы нормированияДля решения задач, связанных с анализом данных при наличиислучайных и непредсказуемых воздействий, выработан мощный и гибкийарсенал методов прикладной статистики и анализа данных. Эти методыпозволяютвыявлятьзакономерностинафонеслучайностей,делатьобоснованные выводы и прогнозы, давать оценки вероятностей ихвыполнения или невыполнения.Для описания случайных величин (дискретных и непрерывных),анализируемых в ходе эксперимента, используют функции их распределения.40Среди дискретных распределений нами рассмотрены биномиальное ипуассоновское, среди непрерывных – показательное, нормальное и связанныес ним распределения: Стьюдента, хи-квадрат и F-распределение Фишера.Последние особенно часто используются при построении доверительныхинтервалов и проверке гипотез [19, 21, 73].Нормальное распределение как наиболее распространенное и важноеиспользуется нами, поскольку на результат воздействует большое количествонезависимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.Плотность нормального распределения случайной величины определяетсяпараметром μ – среднее значение (математическое ожидание) случайнойвеличины, которое указывает координату максимума кривой плотностираспределения, σ² – дисперсия.

Задается и функция распределениястандартного нормального распределения.Для непрерывной одномерной случайной величины ее функцияплотности вероятности полностью задает распределение. Аналогичнымобразомможнозадатьзаконраспределенияслучайнойвеличины,принимающей значения не на числовой прямой, а на плоскости, втрехмерномпространстве.Тогдаимеетместодвумерноеи(или)многомерное нормальное распределение [15, 18].При построении статистической модели выдвигается предположение(гипотеза)оеесоответствиивыбранномузаконураспределения.Статистически Гипотезы нами проверялись на совместимость с имеющимся(наблюдаемым) результатом путем определения минимального уровнязначимости или проверки соответствия критериям (критерий знаков,критерий Манна-Уитни, критерий Уилкоксона) [5, 94].Статистические критерии подразделяются на следующие категории: Критерии значимости.

Проверка на значимость предполагаетпроверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения:— нулевая гипотеза.конкурирующая гипотеза.или—41 Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверкупредположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняетсяпредполагаемому закону.

Критерии согласия можно также воспринимать, каккритерии значимости. Критериями согласия являются: 1. Пирсона; 2.Колмогорова-Смирнова; 3. Андерсона-Дарлинга; 4. Жака-Бера; 5. ШапироВилка; 6. График нормальности. Критерии на однородность. При проверке на однородностьслучайные величины исследуются на факт взаимного соответствия ихзаконов распределения.Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может бытьиспользован в разных качествах.Группа статистических критериев, которые не включают в расчётпараметры вероятностного распределения и основаны на оперированиичастотами или рангами: Q-критерий Розенбаума; U-критерий Манна-Уитни;Критерий Колмогорова; Критерий Уилкоксона.Для оценки степени независимости случайных величин чаще всегоиспользуюттакиехарактеристики,какковариацияикорреляция.Использование ковариации в качестве меры связи случайных переменныхнеудобно, так как величина ковариации зависит от единиц измерения.Коэффициент корреляции или парный коэффициент корреляции – этопоказатель характера взаимного стохастического влияния изменения двухслучайных величин.

При коэффициенте корреляции равном по модулюединице говорят о функциональной связи (а именно линейной зависимости).В различных прикладных отраслях приняты разные границы интерваловдля оценки тесноты и значимости связи.Для метрических величин применяется коэффициент корреляцииПирсона.Дляиспользоватьграфическогопрямоугольнуюпредставлениясистемуподобнойкоординатссвязиосями,можнокоторыесоответствуют обеим переменным.

Каждая пара значений маркируется при42помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммойрассеяния».Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, ккоторой относятся переменные. Так, для измерения переменных синтервальнойиколичественнойшкаламинеобходимоиспользоватькоэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений).Если, по меньшей мере, одна из двух переменных имеет порядковую шкалу,либо не является нормально распределённой, необходимо использоватьранговую корреляцию Спирмена или τ (тау) Кендалла.

В случае, когда однаиз двух переменных является дихотомической, используется точечнаядвухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими:четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумянедихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, когдасвязь между ними линейна (однонаправлена).КоэффициентранговойкорреляцииКендаллаприменяетсядлявыявления взаимосвязи между количественными или качественнымипоказателями, если их можно ранжировать. Значения показателя Xвыставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируютзначения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:,где S = P − Q, P – суммарное число наблюдений, следующих за текущиминаблюдениями с большим значением рангов Y; Q – суммарное числонаблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значениемрангов Y (равные ранги не учитываются)Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то врасчетахКендалла:используетсяскорректированныйкоэффициенткорреляции43;где t – число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Каждому показателю X иY присваивается ранг. На основе полученных рангов рассчитываются ихразности d и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:Нами был использован и коэффициент корреляции знаков Фехнера, гдеподсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклоненийзначений показателей от их среднего значения.Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)где m – число групп, которые ранжируются; n – число переменных; Rij – рангi-фактора у j-единицы.Значимость:, то гипотеза об отсутствии связи отвергается.В случае наличия связанных рангов:44Нами использован регрессионный анализ (линейный) для определениястепенидетерминированностивариациикритериальнойпеременнойпредикторами; предсказания значения зависимой переменной с помощьюнезависимых; определение вклада отдельных независимых переменных ввариацию зависимой.Строго регрессионную зависимость можно определить следующимобразом. Пусть Y, X1, X2, ..., Xp – случайные величины с заданнымсовместным распределением вероятностей.

Если для каждого наборазначений X1 = x1, X2 = x2, ..., Xp = xp определено условное математическоеожидание y(x1,x2,...,xp) = E(Y | X1 = x1, X2 = x2, ..., Xp = xp) (уравнение линейнойрегрессии в общем виде), то функция y(x1, x2, ..., xp) называется регрессиейвеличины Y по величинам X1, X2, ..., Xp, а ее график – линией регрессии Y поX1, X2, ..., Xp, или уравнением регрессии [77].Зависимость Y от X1, X2, ..., Xp проявляется в изменении среднихзначений Y при изменении X1, X2, ..., Xp. Хотя при каждом фиксированномнаборе значений X1 = x1, X2 = x2, ..., Xp = xp величина Y остается случайнойвеличиной с определенным рассеянием. Для выяснения вопроса, насколькоточно регрессионный анализ оценивает изменение Y при изменении X1, X2,..., Xp, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборахзначений X1,X2,...,Xp (фактически речь идет о мере рассеяния зависимойпеременной вокруг линии регрессии).Линия регрессии нами ищется в виде линейной функции Y = b0 + b1X1 +b2X2 + ...

+ bNXN, теоретически наилучшим образом приближающей искомуюкривую с помощью метода наименьших квадратов, который минимизируетсумму квадратов отклонений реально наблюдаемых Y от их оценок(имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то,чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):45где M – объём выборки. Этот подход основан на том известном факте, чтофигурирующая в приведённом выражении сумма принимает минимальноезначение именно для того случая, когда Y = y(x1,x2,...xN) и когда вводитсяпонятиефункцииневязкидляполученияматрицы,содержащейкоэффициенты уравнения линии регрессии b0, b1, …, bN.

Для получениянаилучших оценок необходимо выполнение предпосылок МНК (условийГаусса−Маркова). В англоязычной литературе такие оценки называютсяBLUE (Best Linear Unbiased Estimators) − наилучшие линейные несмещенныеоценки [1].Параметры bi являются частными коэффициентами корреляции; (bi)2интерпретируется как доля дисперсии Y, объяснённая Xi, при закреплениивлияния остальных предикторов, т.е.