Автореферат (Трехмерная теория цилиндрической оболочки переменной толщины при локальном нагружении), страница 4

Изменение тангенциальных нормальных напряжений  22 потолщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии    0 / 2 от края оболочки.16Рис. 3.7, аРис. 3.7, бРис. 3.7. Изменение поперечных нормальных напряжений  33 по толщине:а) на краю оболочки;б) на расстоянии    0 / 2 от края оболочкиРис.

3.8, аРис. 3.8, бРис. 3.8. Изменение поперечных касательных напряжений  13 по толщине:а) на краю оболочки; б) на расстоянии    0 / 2 от края оболочки.Очевидно, что в случае m  2 сохраняются те же особенности измененияНДС, что и в случае m  0 .В четвертой главе представлены результаты построения уточненных краевыхзадач для цилиндрических оболочек с симметрично и несимметричноизменяющейся относительно срединной поверхности толщиной.1. Расчет оболочки переменной толщины, симметрично изменяющейсяотносительно срединной поверхности17В качестве примера, рассматривается оболочка, жестко защемленная по двумконцам, закон изменения толщины которой представляет собой функцию толькоодной переменной  , т.е h1  h2  h    .Тогда уравнения в перемещениях принимают вид2 u0d  w1u0 du0 dw1 d KlKlKlu   Kl0w0  Kl1w0 0111 w0   Kl0  Kl1 w1 2  0dd d d 2 u2dd2 u2 du2 d  Kl0u1  Kl1u1 Kl11u1uKlKlKl10111 u2 ddd 2 d 2 2 u3d u3 du3 d  Kl0w2  Kl1w2wKlKlKlu  0,111 2  02  3d dd 22 w0 w1w0 dw0 dw1 dw1 d Kj11wKjKjKj Kj0  Kj100111 w1 ddd 2 d 2 dd2 d  u1u1 d   Kj0w2  Kj1w2 Kj11w2w   Kj0u0  Kj1u0 u0   Kj0  Kj1 u1 2  2dd d d  u3d u3 d q33  Kj0u2  Kj1u2 u2   Kj0  Kj1 u3  Kj0 q33 , l  1, 2,3, 4; j  9,10,11,d d (4.1)и граничные условияui  w j  0, i  0,3, j  0, 2 , при   0 и   0 .Уравнения (4.1) решаются конечно-разностным методом.

Производные 1-го и2-го порядков аппроксимируются с помощью отношения центральных разностей со2-м порядком аппроксимации.dyi yi 1  yi  1d 2 yi yi 1  2 yi  yi  12 O s ; O  s2  .22d2sds(4.2)Из уравнений (4.1) и (4.2) получим следующую конечно-разностную систему: Kl11u0 Kl1u0  i 1  2 Kl11u0 Kl11u0 Kl1u0  i 1 Kl1w0 i 1 Kl1w0 i 1u0  iw0 i Kl0  u0   2 w0  Kl0 w0 w0  2  u0   u0 22s 2s 2s2s s s s Kl u1 Kl u1  2 Kl11u1 Kl11u1 Kl1u1  i 1 Kl1w1 i 1 Kl1w1 i 1u1  iw1 i  211  1  u1i 1  KluuwKlww1  2 10  110122s 2s 2s2s s s s Kl11u2 Kl1u2  i 1  2 Kl11u2 Kl11u2 Kl1u2  i 1 Kl1w2 i 1 Kl1w2 i 1u2  iw2 i 2  Kl0  u2   2 w2  Kl0 w2 w2  u2   u2 22s 2s 2s2s s s s Kl u3 Kl u3  2 Kl11u3 Kl11u3 Kl1u3  i 1u3  i(4.3)  211  1  u3i 1  Klu 2  u3  0, l  1, 2,3, 4,0  322s 2s  s s s Kj11w0 Kj1w0  i 1  2 Kj11w0 Kj11w0 Kj1w0  i 1 Kj1u0 i 1 Kj1u0 i 1w0  iu0 i Kj0  w0   2 u0  Kj0 u0 u0  2  w0   w0 22s 2s 2s2s s s s Kj w1 Kj w1  2 Kj11w1 Kj11w1 Kj1w1  i 1 Kj1u1 i 1 Kj1u1 i 1w1  iu1 i  211  1  w1i 1  KjwwuKjuu1  2 10  110 122s 2s 2s2s s s s Kj11w2 Kj1w2  i 1  2 Kj11w2 Kj11w2 Kj1w2  i 1 Kj1u2 i 1 Kj1u2 i 1w2  iu2 i 2  Kj0  w2   2 u2  Kj0 u2 u2  w2   w2 22s 2s 2s2s s s sKj1u3 i 1 Kj1u3 i 1 i u3 iu3  Kj0 u3 u3  Kj0q33 q33, j  9,10,11, i  1,  N 0  1,2s2sгде  N 0  1 , s - соответственно число узлов и шаг конечно-разностной схемы.18Уравнения (4.3) представляет собой систему линейных алгебраическихуравнений.

Она имеет семидиагональную матрицу, которую можно представитьследующей системой векторно-матричных уравнений:Ai X i 1  Bi X i  Ci X i 1  Fi , i  1,  N 0  1, A1  C N0 1  .Здесь  - нулевая матрица размером 7x7; Fi - векторы правых частейT i  i  i  ;Fi  0, 0, 0, 0, K 9q033 q33, K 100q33 q33, K 110q33 q33iiiiiiiTX i - векторы искомых перемещений X i  u0 , w0 , u1 , w1 , u2 , w2 , u3  ;Ai , Bi , Ci - квадратные матрицы коэффициентов размером 7x7, определяемыеследующим образом:u0u1u2u3 K111K11u0 K11w0K111K 11u1  K11w1K 111K 11u2  K11w2 K111K 11u3,,,,,, 22s2ss22s2ss22s2ss22s su0u0w0u3u1u1w1u2u2w2 K 211 K 21 K 21K 211 K 21  K 21K 211 K 21  K 21K 211 K 21u3,,,,,, 2 2s2ss22s2ss22s2ss22s su0u0w0u1u1w1u2u2w2u3 K 311 K 31 K 31K 311 K 31 K 31K 311 K 31 K 31K 311 K 31u3,,,,,, 22222s2s2s2s2s2s2sssssu0u0w0u1u1w1u2u2w2u3 K 411 K 41 K 41K 411 K 41  K 41K 411 K 41 K 41K 411 K 41u3Ai   2 ,,,,,,2s2s2s2s2s2s2ss2s2s2 su0w0w0u1w1w1u2w2w2  K 91K 911 K 91 K 91K 911 K 91 K 91K 911 K 91 K 91u3,,,,,,s22s2ss22s2ss22s2s 2su0w0w0u1w1w1u2w2w2  K101K1011 K101 K101 K1011 K101  K 101 K 1011 K 101  K101u3,,,,,,2222ss2s2ss2s2ss2s2su0w0w0u1w1w1u2w2w2  K111K1111 K111 K111 K 1111 K111  K 111K1111 K111 K111u3,,,,,,2s2s2s2s2s2ss2s2s2 2s,u0u1u2u3 u0 2 K 1112 K 1112 K 1112 K111w0u1w1u2w2u3K1,K1,K1,K1,K1,K1,K1 0000000s2s2s2s2u0u3u1u2 u0 2 K 2112K22K22K2111111, K 20w0 , K 2u01 , K 20w1 , K 2u02 , K 20w2 , K 2u03  K 20 2222ssssu0u1u2u3 u0 2 K 3112 K 3112 K 3112 K 311w0u1w1u2w2u3, K 30 , K 30 , K 30 , K 30 , K 30 , K 30  K 30 2222ssssu0u1u2u3 u0 2 K 4112K42K42K4111111Bi   K 40 , K 40w0 , K 4u01 , K 40w1 , K 40u2 , K 40w2 , K 40u3 ,2222ssssw0w1w2 u02K92K92K9w0111111, K 9u01 , K 90w1 , K 90u2 , K 90w2 , K 9u03 K 90 , K 90 222sssw1w22 K1011w02 K10112 K 1011u0w0u3 u1w1u2w2, K 100 , K100 , K 100 , K 100 , K100  K100 , K100 s2s2s2w0w1w22K112K112K11u0w0111111, K 11u01 , K110w1 , K11u02 , K110w2 , K 11u03 K110 , K110 222sss19u0u1u2u3 K111K11u0K 11w0K111K11u1K 11w1K 111K 11u2K11w2K 111K11u3,,,,,, 2 2s2ss22s2ss22s2ss22s su0u0w0u3u1u1w1u2u2w2 K 211 K 21K 21K 211 K 21K 21K 211 K 21K 21K 211 K 21u3,,,,,, 2222s2s2ss2s2ss2s2ss2su0u0w0u1u1w1u2u2w2u3 K 311 K 31K 31K 311 K 31K 31K 311 K 31K 31K 311 K 31u3,,,,,, 22222s2s2s2s2s2s2sssssu0u0w0u1u1w1u2u2w2u3 K 411 K 41K 41K 411 K 41K 41K 411 K 41K 41K 411 K 41u3Ci   2 ,,,,,,2s2s2s2s2s2s2ss2s2s2 su0w0w0u1w1w1u2w2w2 K 91K 911 K 91K 91K 911 K 91K 91K 911 K 91K 91u3,,,,,,s22s2ss22s2ss22s2s 2su0w0w0u1w1w1u2w2w2 K101K1011 K101K101K 1011 K 101K101K1011 K101K101u3,,,,,,s22s2ss22s2ss22s2s 2su0w0w0u1w1w1u2w2w2 K111K 1111 K111K111K1111 K 111K111K1111 K111K 111u3,,,,,,2s2s2s2s2s2ss2s2s2 2s.Векторы искомых перемещений X i находятся методом прогонкиX i  Pi X i 1  Qi , i  1,  N 0  1,(4.4)11где X 0  X N  , Pi    Bi  Ai Pi 1  Ci , P1    B1  C1 ,0Qi   Bi  Ai Pi 1 1 Fi  Ai Qi1  ,1Q1   B1  F1 , i  2,  N 0  1.Таким образом, с помощью формулы (4.4) определяются перемещения в узлахсетки.

Для аппроксимации перемещений используются сплайны. Затем деформацииоболочки получаются с помощью геометрических уравнений, а напряжениянаходятся с использованием соотношений закона Гука и уравнений равновесиятрехмерной теории упругости.В качестве примера, рассматривается оболочка, толщина которой линейноизменяется. Тогда имеем h1  h2    0  k0  R,  0  h0 / R .Расчет проводится для оболочки, имеющей следующие параметры:относительная длина 0  L R  4 , радиус R  0.1 м , h0 R  1 / 40, коэффициентПуассона   0.3 . Локальная нагрузка изменяется по закону0,q33   Q0 ,при 0   1, и 3    4.(4.5)при 1    3,На рис.

4.1 – 4.3 показаны результаты расчета нормальных напряжений иперемещений при различных значениях k0 .20Рис. 4.1, аРис. 4.1, бРис. 4.1. Изменение нормальных напряжений по толщине на краю    0при: а) k0  1 / 640; б) k0  1 / 160 .Рис. 4.2, аРис. 4.2, бРис. 4.2. Изменение продольного перемещения по длине оболочкина внешней поверхности при : а) k0  1 / 640; б) k0  1 / 160.Рис. 4.3, аРис. 4.3, бРис. 4.3. Изменение поперечного перемещения по длине оболочкина внешней поверхности при: а) k0  1 / 640; б) k0  1 / 160.212. Расчет оболочки переменной толщины, изменяющейся несимметричноотносительно срединной поверхностиРассматривается оболочка, толщина которой изменяется по законуh1  h0   0 R  const , h2    0  k0  R , h2 e    0  k0 0  R , имеющая следующие параметры:относительная длина 0  L R  4 , радиус R  0.1 м , h0 R  1 / 40, коэффициентПуассона   0.3 .

Локальная нагрузка определяется формулой (4.5).На рис. 4.4 – 4.6 показаны результаты расчета нормальных напряжений иперемещений при различных значениях k0 .Рис. 4.4, аРис. 4.4, бРис. 4.4. Изменение нормальных напряжений по толщине на краю    0при: а) k0  1 / 320; б) k0  1 / 160 .Рис. 4.5, аРис. 4.5, бРис. 4.5. Изменение продольного перемещения по длине оболочки навнешней поверхности при: а) k0  1 / 320; б) k0  1 / 160 .22Рис. 4.6, аРис. 4.6, бРис.

4.6. Изменение поперечного перемещения по длине оболочки навнешней поверхности при: а) k0  1 / 320; б) k0  1 / 160 .На основании полученных результатов можно установить, что что дляоболочек, имеющих одинаковое значение толщины, способ изменения толщины(симметричный иди несимметричный относительно срединной поверхности) незначительно влияет на перемещения и максимальные величины нормальныхнапряжений, но существенно влияет на распределение напряжений по толщинеоболочки.ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ1. Для цилиндрической оболочки переменной в продольном и окружномнаправлениях толщины построены нелинейные и линейные уравнения,позволяющие уточнить по сравнению с классической и уточненной теориямикомпоненты НДС в зонах его искажения (краевые области в местах крепления идействия локальной нагрузки).2.

Для круговых цилиндрических оболочек замкнутого и открытого профиляпоперечных сечений за счет повышения порядка аппроксимирующих полиномов вразложении компонентов НДС по нормальной к срединной поверхности координатевпервые получены уточненные системы дифференциальных уравнений равновесия вперемещениях и сформулированы граничные условия для основных случаевкрепления оболочек.3.