Автореферат (Разработка оптимальных методов статистического оценивания характеристик усталостных свойств материалов и элементов авиационных конструкций), страница 3

Повышение сопротивления усталости деталей машин и элементов конструкций,прежде всего, связано с оптимизацией вышеуказанных факторов и является приоритетной задачей современного машиностроения. В то же время весомый резерв для решения данной проблемы состоит в разработке и применении в инженерной практике эффективных математических методов анализа экспериментальной информации, которая зачастую оказывается неполной, противоречивойи подверженной, в силу особенностей переменной нагруженности, значительному рассеянию. Одним из путей решения данной задачи является рассматриваемая в настоящей диссертации модель стабилизации рассеяния усталостных1 7свойств путем функционального преобразования случайной величины долговечности при обработке усталостных испытаний.

Как показывает анализ экспериментальных данных усталостных испытаний литых и деформируемых алюминиевых и магниевых сплавов, значение SlgN колеблется в среднем в пределах 0,1-0,5при изменении lgN от 4 до 7, а наиболее приемлемой зависимостью выборочногосреднего квадратического отклонения логарифма долговечности от выборочногосреднего значения логарифма долговечности в области многоцикловой усталости является степенная зависимость:Slg N= B ⋅ ( lg N ) ,χ(25)где B, χ - параметры, оцениваемые по результатам усталостных испытаний наряде уровней (обычно трех-четырех) амплитуд напряжений циклов.Значения указанных параметров для легких сплавов колеблются в следующихпределах: B = 1,6 10-4 ÷ 2 10-2, χ = 1,2 ÷ 4,2.

Если ввести следующее преобразование логарифма долговечностиφ(lg N ) =( lg N )1−χ,(26)то на основании теоремы о дисперсии функции случайной величины приближенно получим:2S2φ( lg N ) dφ −χ 222  ⋅ Slg2 N≈⋅S=(1−χ)⋅lgN()lg N. d lg N (27)После подстановки (25) в (27) получим:22−ccSφ2( lg N ) ≈ (1 − c) 2 ⋅ ( lg N )  ⋅ B 2 ⋅ ( lg N )  =(1 − c )2⋅ B 2= const .(28)Таким образом, можно предположить, что преобразование долговечностив соответствии с уравнением (26) при предварительной оценке параметров корреляционного уравнения (25) по результатам усталостных испытаний, приведетк приближенной независимости дисперсии функции долговечности φ(lg N ) отсреднего значения логарифма долговечности.Указанные теоретические решения положены в работе в основу дальнейшего статистического анализа большого объема (порядка 200 образцов) усталостных испытаний образцов с различной степенью концентрации напряжений1 8из титанового сплава ВТ3-1 и алюминиевого сплава В-95 с целью проверки разработанной модели стабилизации дисперсии логарифма долговечности.

С этойцелью была составлена программа на ЭВМ в среде Mathcad полной статистической обработки усталостных испытаний с преобразованием долговечности (26) споследующей проверкой по критерию Бартлета гипотезы о равенстве ряда вычисленных выборочных дисперсий преобразованной функции долговечности.Во всех случаях для 4 выборочных совокупностей критерий подтвердил с уровнем значимости 5% указанную гипотезу.В этом случае эмпирические дисперсии функций φ ( lg N ) долговечности,вычисленные для каждого уровня амплитуд напряжений, объединяются в общую оценкуms =2∑S21j =1φ (lg N ) jj =1(29).m∑n⋅ (n j − 1)j−mПреобразование (26), приводящее к стабилизации весовой функции, особенно полезно в дальнейшем статистическом анализе для оценки параметровуравнения кривой усталости.

Рассмотрим кривую усталости следующего вида:f ( σa ) = C + D ⋅ ( lg N )1−χ(30),где C и D, подлежащие оценке параметры уравнения кривой усталости, в товремя как показатель степени уравнения кривой усталости 1− χ определяется покорреляционному уравнению (25):x=f (σa ),y=( lg N ) .1−χ(31)В соответствии с теорией линейной регрессии при предположительнонормальном законе распределения зависимой случайной величины y = ( lg N )1−χна каждом уровне независимой случайной величины x , а также физическойприродой логарифмически нормального закона распределения, верхние (l) инижние (u) доверительные интервалы имеют следующий вид: 0,5yl ,u =y + t1−ββ, ( n − 2, ) ⋅ D ( y )  ,(32)1 9или   1+yl ,u = a + b ⋅ ( x − x ) + t1−b,b ( n − 2 ) ⋅ σ0 ⋅n0,52(x − x) ,m2nj ⋅( xj − x )∑j =1(33)где σ̂02 - обобщенная дисперсия, не зависящая, в соответствии с преобразованием (26) от уровня фактора x j .

По этой причине в уравнении (33) отсутствуют весовые функции.Для квантильных кривых усталости (кривых усталости равной вероятности разрушения), представляющих собой с математической точки зрения кривые, отличающиеся от исходной медианной ( p =0,5) кривой усталости на величину приращения квантиля случайной величины y для заданного уровня x:y p=y+z⋅σjp0,j(34)где y j -медианная оценка y.В предлагаемой в работе модели стабилизации дисперсии σ02 второе сла-гаемое в уравнении (34) будет постоянным, то есть не зависящим от уровня x, вотличие от стандартного регрессионного анализа. Таким образом, для оценкипараметров квантильных кривых усталости, необходимо вместо y j подставитьоценку y p j .

Однако дисперсия оценки квантиля существенно больше дисперсииоценки среднего. Приближенно эту дисперсию предложено определять в соответствии с теоремой о дисперсии функции случайных величин:z 2p ⋅ n j σ02 2D y p j ≈ D ( y j ) + z p ⋅ D ( σ0 ) =⋅ 1+nj 2⋅n−1()j( ),(35)Поэтому в уравнении (33) вместо величины n j следует подставлять некоторыйэквивалентный объем испытаний, меньший реального объема испытаний реализованного при оценке медианной кривой усталости:2 0neqj =njz 2p ⋅ n j  1+⋅−n21( j ) ,(36)После подстановки y p j и neqj нетрудно по тем же формулам получить оценки па   раметров a p , bp , C p , D p квантильных кривых усталости.

С учетом разработанноймодели стабилизации дисперсии представляется возможным вычислять доверительные интервалы для квантиля по формуле:0,52z p ⋅ σ0    1x − x)( ' , (37)σ0 + myl ,u ( p ) =a + b ( x − x ) + t1−b,b  n − 2,0,5 2Dyn ( )  nj ⋅( xj − x ) ∑j =1Таким образом, в уравнениях кривых усталости подлежат оценке в соответствии с разработанной выше методикой лишь два параметра C и D. Это позволяет, прежде всего, повысить точность определения расчетных характеристикдолговечности и предела выносливости по кривой усталости, а также существенно сократить объем потребных для достижения заданной точности длительных и дорогостоящих усталостных испытаний.Как показали приведенные в диссертации расчеты, достаточно стабильным оказывается значение параметра C (в пределах 2,2 -2,39), что связано с незначительной вариацией логарифма амплитуды напряжения цикла, а также показателя степени γ = −(1 − χ) кривой усталости (в пределах 1,48-3,07).

В то жевремя наблюдается достаточно широкий диапазон доверительных оценок длядолговечности (иногда на два порядка по долговечности), что связано, преждевсего, с высоким рассеяниям усталостных свойств исследуемых материалов, тембольшим, чем ниже уровень амплитуд переменных напряжений. В качестве иллюстрации этого на рисунке 2 приведены кривые усталости образцов сплаваВТ3-1 и нижняя 95% доверительная граница квантиля уровня p=0,01 для нее.Там же отмечены экспериментальные данные долговечностей до разрушения.Необходимо отметить, что при обосновании расчетных характеристик долговечности и пределов выносливости, в расчет необходимо закладывать именно эти2 1нижние толерантные границы для обеспечения гарантированного ресурса элементов конструкций авиационной и ракетной техники. При этом методика расчета указанных характеристик для образцов, конструктивных элементов илинатурных деталей не изменится, меняется, как правило, в силу особенностей отработки элементов конструкций авиационной техники, лишь объем испытанныхобъектов.

Очевидно, что от объема испытаний также существенно зависит точность определения и ширина доверительных интервалов расчетных характеристик долговечности и пределов выносливости.В четвертой главе разрабатываются методы расчета непараметрическихкритериев проверки статистических гипотез. Особенностью этой задачи является необходимость точного расчета процентных точек распределения вследствиебольшой неточности приближенных аппроксимаций при малых объемах наблюдений, в то время как непараметрические критерии особенно эффективны именно при работе с малыми выборками.

Нецелесообразность применения обычных впрактике статистического анализа нормальных или иных аппроксимаций дляэтих целей объясняется тем, что известные ранговые критерии (критерий знаков,критерий знаковых рангов Уилкоксона, двухвыборочный критерий Уилкоксона,критерий Краскелла-Уоллиса и др.) относятся к области непараметрической статистики, когда по тем или иным причинам не делается никаких предположенийо виде гипотетической функции распределения исследуемой случайной величины. В технических задачах, особенно при анализе результатов механических испытаний, подобная ситуация возникает вследствие малых объемов испытаний,значительного рассеяния вследствие структурной неоднородности конструкционных материалов и большой вариативности внешних факторов при проведениииспытаний.