03 (Ряды (Кузнецов Л.А.))

Зазача 1 11лгти сумм) ряда 4 У'.—,— " '$ и ' — 12 и+ 35 11роизведем зквивалсптные преобразования ряда: 1'ак как и -12п-35 = (гз-5)!п-7). то получаем, что исходггый ряд мы можем переписать в следуннцем ниле: 4 ' 1 ! ' и г — 12!1 ". 3 5 "1п — 5)1п -- 7) ~, и — 5 и — 7 1 1 1 ) - ! 1 1 — — )1=- ~,4. —.! — — ) —" 2 и — 7 и-5! "' 2 и — 7 и — 5' ! 1 . „. 1 . 1 — — — ! =-2(~ — ---У " ' и — 7 и-5 '-кп — 7 ""и-5 1 Рассмот!згзм !гяд ,'~ ""гг — 7 11роизведем зггкгсну,'и-7 =" Йг', тогда сугимировагше йудег 1 1 производи~ься от !':-' п-7 = ',п=З) 8 -7 '1. а и — 7 1 Цодставим полученные значения в ряд ~~» "-'и 7 '1.!,ш и! ' 1!Сслс;)Ов!!т!, ряд на схо:!их!Осзь гпсгфп ) ~' ' п(п ч 1)(п + 2) (лбознычик! а,, = —— агс!д( п ) и('п -! ни 2) 11 !ак как для всех и ( -) .

агс(а(п' ! з О !о и гя всех и верно з с. !с.:!) Ииисс утверткдение: 1 ьт л1 ап' и(п+1)(и- 2) 2 2 и' ДГ1Казисх! СХОЛимОсТь ПЯЛа — з — . ! о! ла из Его з и схолимости Оулст с!!словить сходимос!ь исхОлпо!О ряда, так как тогда он булез ограничен схо)(ящиыся рядом сверху и нулем снизу (все шепы ряда нсо!рипа!ельны). 1 ()оозпачим 11„=- =:.:По признаку сравнения (говорящемх. Йг -и,.

! !1П рял вида 7,— — сходится только при условии. что а .=и с !р!И.о бзо !Ьл!е-,)-; т.е. а- 1 и расходится в противном случае, ] при а < 1),. ряд — ~ ',. сходится. так как вьни1лнястся 2 хс"!Ог!Йесхолимости: з.'- 1. агспа(п ) 1РП 11()з!) и исходный ря.! у — - - !Озкс схо и!гся.

" ' п(п, !)(и - 2) () в рял т —.— ' .' - схл! с. ;п.с~г ) ' ' п(п, 1)(п- 2) 31[да [11 5 1'1сслс[[си!1Т[ 1П --,— и -,4 ь ряд на схолимосзь; и ~5, 1 а. - 1П-, - -1П!! ",—,— -) п,4 и [4 Обозначим 1 1 1п!! ..- —; — -! =, . Поэгомъ иолъчасм, что и'[4 и [4 исходного ряда эквивалентна сходимосги ряда 11ри п — э со СХОДИ МОСТЬ , — +— и , 11оэтому и исходный рял 7 1и —;-- — - тоже сходится. и +4 и' -~-5 Отве [: ряд у 1П вЂ”, — — сходится. и -'-4 "=! и +4 Х „.— Примем во внимание следу[оп[се неравенств[к 1 ! п +4 и' 1 Докажем сходимость ряда э ' . Тогда из е! о п сходимос'ги Оудет слсдОвать сходимость исходе[си О рида, так как тогда он будет о[раннчен сходящимся рядом сверху н нулем снизу (все члены ряда неотрипательиы).

Обозначим 1з,! = — ';. По признаку сравнения !говорящему. 1 что ряд вида э - — сходится только при условии. ч[о а ю=! строго 'больше 1, т.е. а>1 и расходится в противном случае, 1 при-„,.а'=Г! .ряд у ' .— - сходигся. так как выполняется П' 1'"в[[овне сходимости: 2>1. За,:иана 4 !!ссяедова~ ь ряд па сколямосп: ~-2' (и' ~1) (и .

1)! ()бозпачич а,. -"- — — —— 2"'(и -'!) (п,- 1)! 11~~ 1 физиак)' ДаиамОера: а„(и -~ 2)! 2""'(п' '. 1) (и+ 2) (и '+!) (и+2)('и'+1) '! п- 2 и' «-1 7 + (и -2)(п' -, '1), 1ип! -" -',.=. 1пп2! -- +, ' + — .— — !=Ос! — а,, ~' " ' ! и+2 и +1 (и -'-2)(и' ~;!)~ '1'аким'ооразокп по признаку Даяаеяоера ряд скопи сея. 2" ' (и' "-1) О~вес: рял ~~- — — — — скол~пся.

(и- 1)'. Зал:эча 6 Р!Сслс.:(ова~ ь ря,э на схолнмосгьс — — ',.— — — — ~" а ~(2ээ-3!!пэ(2п -э !! 11аспользуемся предельным признаком сходимости. 1..сли ЛВВ !эяла ~' и, и э !э„улОэкэсз иэряют условию: !!пз- — "= Е, элс Š— конечное число. Ие равное О, то ряды !э 2 и„н ~~ ээ„сходятся нли расходя эся одновременно. Рассмотрим следующий ряд: 1 х, — — - —.— — -=', Ь, „, (2п+ 3)!и'(2п'+1! а !(и ' = 1 ": зто конечное число. не раьлюе 0 » ' ° !э Значит;, ряды ~~ а„и ~э Ь„схсэдягся нли расходятся Оэд(!ОВРСМЕННО. дтя нсследОВання сходимосзи Вто(эоэ о !элла воспользусмся иээтсграээьнэлхэ признаком сходимости рядов, 1.ели нско1о!зая фунхния ((х) )ловлетворясг условию г'(н) =1, .

го если ~Р!Х)~)х сходится, рял »л сходигся. а если ~р(х)с1Х расхолптся, то и ряд ~Ь„ » расходится. Рассмотрим следук~щую функиию: 1':ели ~1'(х)йх сходится, то и ряд ') Ь, сходится, если »л интеграл расходится, то и ряд ~» Ь» расходится. ».—.~ с(х . 1 )с11п(2х+1) 1 1 ' 1 , (2х+1)!и (2Х х1) 2 ~ 1п'(2х+1) 2 1п(2х ~-1),, 21пЗ 1 Ответ: ~~» — --- - — -,- - — сходится.

, (2п -' 3) 1п (2п л-1) Интеграл. Сходится, значит и рял ~ Ь» сходится, Из »и схОдимОсти зто1 о ряда следуе1 сходимость исхОднОГО. Зазпчв з !)ссвсповать )зяп иа слоиимосггп т- (-1~ )п!п ~ 1) 1)оспопьзуемся при ~накощ Лсйбнгига: рял г'.! — 1) а„уа " оряе у'' нч 1) а,-, монотонно убываюшая.

начиная с некоторого п = Х 2) 1нпа,, = О. торна ~ 1-1)" а„сходится, 6 1 рассмотрим а. = — —— !и!и+1) Так как функция !п х возрастает при х.>0, го ! последовательность а„'"= — — — убьзвает. !'аким образом: 1п!и+1) )ип — - —.='9,: ' 1п!и + 1) ! ) )огаа ряп ~~г — ' — сходится гю признаку Лейбнииа. ,, )п(и+1) 1 — 1)"'' Отвез: ряи ~ -'- — -- схо.зится „, 1п(п-'1) За лги! «« гзычисг!из ь сумму' «»я'га с го'пк!с ! ьн! Й' и =0.001 ' 1-1!' ' )2п)' Обозначим и-ный член ряда. нак а„: Чтобы вычислить сумму ряда с зада!гной точностью, следует принять во внимание го, что члены ряда с ростом и монотонно уг3ывагот. '1'огда нам требуется найти сумму ряда ло М-!т» члена, где М гаково, гго для лк»бых п>Х вылолпяе гся неравенство 1а„! ~х Найдем «ч: !а, = О,! 25 > гг !а, ! = 0.0156 > сх ::а г! = 0.0046 > гх ,:а = 0,0019 > гх !а, ! = 0,001 = гх => Х =- 5 Найдем сумму ряда до 5-го члена: .",~ а,, =О!13 Огне!: ~ ~- .— =0,113+0.00! ' « -!)' ' ~2п) Загп! га '! 1(а(! ! и обвис! ь скол имое ! и ря кп Х,,; и ' '(;п ! ~ и ч-1)"' и ()бо певчим а,,= — — — — —,, а нскомук! обг!асп (;~п ' ((и !-1)' сходимос ги ряда Х.

Пус!ь х -- 2 < О,' г Х, пила получим. ч!о при п — ь х: а „-~ сс. слсяовагсльно. ряд расхощпся па данном множестве,'х; 2 < О ! (Необходимым ясловием схолимос!и ряда является стремление а„к пу.по при стремлении и к бесконечности), Поэтому ,'х + 2 «.

О,' ос Х . и При !х+2>О! схолимость ряда у "л( '!.~г' -1)' эквивалентна сходтгь!ос! и ряда ~Х вЂ” — —,, так как " 'Ип)"' Х,,;,! л...- —:; —, „.. Х„, п п х и "''(2 п)' . ""'Ип+ ~п -'1)"' " Ып)" и, 1 у, 1 Рял 7 —,=.; = У вЂ”; —;. а ряд У, —., скопится по " '(~г))', " 'и' " 'и' приз!гаку,сравнения только прн условии, что х.'2-'1. По )тому ряд сходится прв х>2 '! аи как мы проверили все возможные;. па и!эг!г(а. !г!сжиОсть пол!!с!и сходимости. То, В гп огс. Х вЂ” --,х > ->.

Ответ: ! бласть скопим!гати Х = (2, =) . Зада 5а 10 Найти ооласть схо'1имос1и р51„'ш: С-' (х:" п9" Приведем зтог ряд к степенному, 1.е, к виду: ~,,а, х . глс а„не завнси1 от х и является пос1оянной вслияиной. 1 Положим и„. = „,а, =- О тогда исходный ряд можно переписать в виде; Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанну5о на применении признака Коши: ракнм 1я5разом, интерва51 сходимости ряда Оулет вы1.1я51ет следугощим образом: -т.'<.х — ! <3 — > х с( — 2;4) 01вс1: область сходимостн Х =1х н ( — 8!10)5. Задача 11 11ай и ой,!асть сходимости ряда; 11ривслсм огот рял х с!евсином), 1-.!-.. е вид!: ',~ а„х', гле а,, не !ависит от х и является !и!стояпной величиной.

11оложих! а„= (1+ -)', тогда исходный рял чохгно И персписа ! ь в сг!елугогггем виде: Теперь пам требхьется найти 1пп !!1 и„( = 1: О 1!и! 'ф а,,' =- 11гт! ч! 1'1 ' --)" — — 1пп~1 -: — ) =-1 Таггихг ...образов!. по теореме Коп!и-Адамара, ооласть 1 схотимосги Х -- ', 3' !,< --=1!г, Ргпшм шш) швшссся неравенство. чтобы в явном виде зап пса ! ь облас ! ь сходимости. Неравснс ~ во булез и1нясано в слслуквщем вине; Ъ чтем. нГво 1 =л . Товлв можно иерсйти к и!зутому неравенству: 1 — <О х — 1 1 <О~к — 1< 0=> х <! х — 1 Таким образом, Х =- ( —.-о,1) 'Оз'вет: область сходичости Х = 1 — ж,1) .

')адама 12 11айти сумму ряда: ! — 11 — х )' "'" и -:1 1 1роизведем замеиу перемсниой: Найдем сумму ряда 2,, у ' 'й 1 г ~ юзз~1 с ~е-1 1 Куьгма убываииией геометрической прогрессии) Произведем обратиые прсобразования для нахождения 1 ''. суммы ряда, — у . то есть возьмем интеграл: 1 1 — — — с1у =--1п(1 — у) -С' .11- у) с) озоы найман конезан ~ ~ ('.