03 (509743)
Текст из файла
Зазача 1 11лгти сумм) ряда 4 У'.—,— " '$ и ' — 12 и+ 35 11роизведем зквивалсптные преобразования ряда: 1'ак как и -12п-35 = (гз-5)!п-7). то получаем, что исходггый ряд мы можем переписать в следуннцем ниле: 4 ' 1 ! ' и г — 12!1 ". 3 5 "1п — 5)1п -- 7) ~, и — 5 и — 7 1 1 1 ) - ! 1 1 — — )1=- ~,4. —.! — — ) —" 2 и — 7 и-5! "' 2 и — 7 и — 5' ! 1 . „. 1 . 1 — — — ! =-2(~ — ---У " ' и — 7 и-5 '-кп — 7 ""и-5 1 Рассмот!згзм !гяд ,'~ ""гг — 7 11роизведем зггкгсну,'и-7 =" Йг', тогда сугимировагше йудег 1 1 производи~ься от !':-' п-7 = ',п=З) 8 -7 '1. а и — 7 1 Цодставим полученные значения в ряд ~~» "-'и 7 '1.!,ш и! ' 1!Сслс;)Ов!!т!, ряд на схо:!их!Осзь гпсгфп ) ~' ' п(п ч 1)(п + 2) (лбознычик! а,, = —— агс!д( п ) и('п -! ни 2) 11 !ак как для всех и ( -) .
агс(а(п' ! з О !о и гя всех и верно з с. !с.:!) Ииисс утверткдение: 1 ьт л1 ап' и(п+1)(и- 2) 2 2 и' ДГ1Казисх! СХОЛимОсТь ПЯЛа — з — . ! о! ла из Его з и схолимости Оулст с!!словить сходимос!ь исхОлпо!О ряда, так как тогда он булез ограничен схо)(ящиыся рядом сверху и нулем снизу (все шепы ряда нсо!рипа!ельны). 1 ()оозпачим 11„=- =:.:По признаку сравнения (говорящемх. Йг -и,.
! !1П рял вида 7,— — сходится только при условии. что а .=и с !р!И.о бзо !Ьл!е-,)-; т.е. а- 1 и расходится в противном случае, ] при а < 1),. ряд — ~ ',. сходится. так как вьни1лнястся 2 хс"!Ог!Йесхолимости: з.'- 1. агспа(п ) 1РП 11()з!) и исходный ря.! у — - - !Озкс схо и!гся.
" ' п(п, !)(и - 2) () в рял т —.— ' .' - схл! с. ;п.с~г ) ' ' п(п, 1)(п- 2) 31[да [11 5 1'1сслс[[си!1Т[ 1П --,— и -,4 ь ряд на схолимосзь; и ~5, 1 а. - 1П-, - -1П!! ",—,— -) п,4 и [4 Обозначим 1 1 1п!! ..- —; — -! =, . Поэгомъ иолъчасм, что и'[4 и [4 исходного ряда эквивалентна сходимосги ряда 11ри п — э со СХОДИ МОСТЬ , — +— и , 11оэтому и исходный рял 7 1и —;-- — - тоже сходится. и +4 и' -~-5 Отве [: ряд у 1П вЂ”, — — сходится. и -'-4 "=! и +4 Х „.— Примем во внимание следу[оп[се неравенств[к 1 ! п +4 и' 1 Докажем сходимость ряда э ' . Тогда из е! о п сходимос'ги Оудет слсдОвать сходимость исходе[си О рида, так как тогда он будет о[раннчен сходящимся рядом сверху н нулем снизу (все члены ряда неотрипательиы).
Обозначим 1з,! = — ';. По признаку сравнения !говорящему. 1 что ряд вида э - — сходится только при условии. ч[о а ю=! строго 'больше 1, т.е. а>1 и расходится в противном случае, 1 при-„,.а'=Г! .ряд у ' .— - сходигся. так как выполняется П' 1'"в[[овне сходимости: 2>1. За,:иана 4 !!ссяедова~ ь ряд па сколямосп: ~-2' (и' ~1) (и .
1)! ()бозпачич а,. -"- — — —— 2"'(и -'!) (п,- 1)! 11~~ 1 физиак)' ДаиамОера: а„(и -~ 2)! 2""'(п' '. 1) (и+ 2) (и '+!) (и+2)('и'+1) '! п- 2 и' «-1 7 + (и -2)(п' -, '1), 1ип! -" -',.=. 1пп2! -- +, ' + — .— — !=Ос! — а,, ~' " ' ! и+2 и +1 (и -'-2)(и' ~;!)~ '1'аким'ооразокп по признаку Даяаеяоера ряд скопи сея. 2" ' (и' "-1) О~вес: рял ~~- — — — — скол~пся.
(и- 1)'. Зал:эча 6 Р!Сслс.:(ова~ ь ря,э на схолнмосгьс — — ',.— — — — ~" а ~(2ээ-3!!пэ(2п -э !! 11аспользуемся предельным признаком сходимости. 1..сли ЛВВ !эяла ~' и, и э !э„улОэкэсз иэряют условию: !!пз- — "= Е, элс Š— конечное число. Ие равное О, то ряды !э 2 и„н ~~ ээ„сходятся нли расходя эся одновременно. Рассмотрим следующий ряд: 1 х, — — - —.— — -=', Ь, „, (2п+ 3)!и'(2п'+1! а !(и ' = 1 ": зто конечное число. не раьлюе 0 » ' ° !э Значит;, ряды ~~ а„и ~э Ь„схсэдягся нли расходятся Оэд(!ОВРСМЕННО. дтя нсследОВання сходимосзи Вто(эоэ о !элла воспользусмся иээтсграээьнэлхэ признаком сходимости рядов, 1.ели нско1о!зая фунхния ((х) )ловлетворясг условию г'(н) =1, .
го если ~Р!Х)~)х сходится, рял »л сходигся. а если ~р(х)с1Х расхолптся, то и ряд ~Ь„ » расходится. Рассмотрим следук~щую функиию: 1':ели ~1'(х)йх сходится, то и ряд ') Ь, сходится, если »л интеграл расходится, то и ряд ~» Ь» расходится. ».—.~ с(х . 1 )с11п(2х+1) 1 1 ' 1 , (2х+1)!и (2Х х1) 2 ~ 1п'(2х+1) 2 1п(2х ~-1),, 21пЗ 1 Ответ: ~~» — --- - — -,- - — сходится.
, (2п -' 3) 1п (2п л-1) Интеграл. Сходится, значит и рял ~ Ь» сходится, Из »и схОдимОсти зто1 о ряда следуе1 сходимость исхОднОГО. Зазпчв з !)ссвсповать )зяп иа слоиимосггп т- (-1~ )п!п ~ 1) 1)оспопьзуемся при ~накощ Лсйбнгига: рял г'.! — 1) а„уа " оряе у'' нч 1) а,-, монотонно убываюшая.
начиная с некоторого п = Х 2) 1нпа,, = О. торна ~ 1-1)" а„сходится, 6 1 рассмотрим а. = — —— !и!и+1) Так как функция !п х возрастает при х.>0, го ! последовательность а„'"= — — — убьзвает. !'аким образом: 1п!и+1) )ип — - —.='9,: ' 1п!и + 1) ! ) )огаа ряп ~~г — ' — сходится гю признаку Лейбнииа. ,, )п(и+1) 1 — 1)"'' Отвез: ряи ~ -'- — -- схо.зится „, 1п(п-'1) За лги! «« гзычисг!из ь сумму' «»я'га с го'пк!с ! ьн! Й' и =0.001 ' 1-1!' ' )2п)' Обозначим и-ный член ряда. нак а„: Чтобы вычислить сумму ряда с зада!гной точностью, следует принять во внимание го, что члены ряда с ростом и монотонно уг3ывагот. '1'огда нам требуется найти сумму ряда ло М-!т» члена, где М гаково, гго для лк»бых п>Х вылолпяе гся неравенство 1а„! ~х Найдем «ч: !а, = О,! 25 > гг !а, ! = 0.0156 > сх ::а г! = 0.0046 > гх ,:а = 0,0019 > гх !а, ! = 0,001 = гх => Х =- 5 Найдем сумму ряда до 5-го члена: .",~ а,, =О!13 Огне!: ~ ~- .— =0,113+0.00! ' « -!)' ' ~2п) Загп! га '! 1(а(! ! и обвис! ь скол имое ! и ря кп Х,,; и ' '(;п ! ~ и ч-1)"' и ()бо певчим а,,= — — — — —,, а нскомук! обг!асп (;~п ' ((и !-1)' сходимос ги ряда Х.
Пус!ь х -- 2 < О,' г Х, пила получим. ч!о при п — ь х: а „-~ сс. слсяовагсльно. ряд расхощпся па данном множестве,'х; 2 < О ! (Необходимым ясловием схолимос!и ряда является стремление а„к пу.по при стремлении и к бесконечности), Поэтому ,'х + 2 «.
О,' ос Х . и При !х+2>О! схолимость ряда у "л( '!.~г' -1)' эквивалентна сходтгь!ос! и ряда ~Х вЂ” — —,, так как " 'Ип)"' Х,,;,! л...- —:; —, „.. Х„, п п х и "''(2 п)' . ""'Ип+ ~п -'1)"' " Ып)" и, 1 у, 1 Рял 7 —,=.; = У вЂ”; —;. а ряд У, —., скопится по " '(~г))', " 'и' " 'и' приз!гаку,сравнения только прн условии, что х.'2-'1. По )тому ряд сходится прв х>2 '! аи как мы проверили все возможные;. па и!эг!г(а. !г!сжиОсть пол!!с!и сходимости. То, В гп огс. Х вЂ” --,х > ->.
Ответ: ! бласть скопим!гати Х = (2, =) . Зада 5а 10 Найти ооласть схо'1имос1и р51„'ш: С-' (х:" п9" Приведем зтог ряд к степенному, 1.е, к виду: ~,,а, х . глс а„не завнси1 от х и является пос1оянной вслияиной. 1 Положим и„. = „,а, =- О тогда исходный ряд можно переписать в виде; Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанну5о на применении признака Коши: ракнм 1я5разом, интерва51 сходимости ряда Оулет вы1.1я51ет следугощим образом: -т.'<.х — ! <3 — > х с( — 2;4) 01вс1: область сходимостн Х =1х н ( — 8!10)5. Задача 11 11ай и ой,!асть сходимости ряда; 11ривслсм огот рял х с!евсином), 1-.!-.. е вид!: ',~ а„х', гле а,, не !ависит от х и является !и!стояпной величиной.
11оложих! а„= (1+ -)', тогда исходный рял чохгно И персписа ! ь в сг!елугогггем виде: Теперь пам требхьется найти 1пп !!1 и„( = 1: О 1!и! 'ф а,,' =- 11гт! ч! 1'1 ' --)" — — 1пп~1 -: — ) =-1 Таггихг ...образов!. по теореме Коп!и-Адамара, ооласть 1 схотимосги Х -- ', 3' !,< --=1!г, Ргпшм шш) швшссся неравенство. чтобы в явном виде зап пса ! ь облас ! ь сходимости. Неравснс ~ во булез и1нясано в слслуквщем вине; Ъ чтем. нГво 1 =л . Товлв можно иерсйти к и!зутому неравенству: 1 — <О х — 1 1 <О~к — 1< 0=> х <! х — 1 Таким образом, Х =- ( —.-о,1) 'Оз'вет: область сходичости Х = 1 — ж,1) .
')адама 12 11айти сумму ряда: ! — 11 — х )' "'" и -:1 1 1роизведем замеиу перемсниой: Найдем сумму ряда 2,, у ' 'й 1 г ~ юзз~1 с ~е-1 1 Куьгма убываииией геометрической прогрессии) Произведем обратиые прсобразования для нахождения 1 ''. суммы ряда, — у . то есть возьмем интеграл: 1 1 — — — с1у =--1п(1 — у) -С' .11- у) с) озоы найман конезан ~ ~ ('.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
