Диссертация (Механико-математическая модель деформаций профилированных электродов ионных двигателей), страница 11

Расчет коэффициентов конструктивной ортотропии как модельных параметровдля густо перфорированных электродов ИОСПолученные разрешающие интегральные уравнения в общем случае описываютнелинейный изгиб как плоских, так и сферических электродов радиально-переменнойжесткости, неравномерно нагретых по радиусу и толщине. Эти уравнения образуют систему,состоящую из:– четырех линейных неоднородных интегральных уравнений (2.6.13);– одного нелинейного интегрального уравнения (2.6.15);61– одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения (2.6.21).Какужеупоминалосьвыше,вкачестветермомеханическоймоделигустоперфорированных электродов ИОС принята конструктивно-ортотропная круглая пластина илипологая тонкостенная сферическая панель. Соответственно, непосредственному расчетуэлектродов на устойчивость и нелинейный изгиб должно предшествовать установлениеколичественной зависимости между геометрическим размерами решетки с гексагональнымрасположениемотверстийперфорацииимодельнымикоэффициентамизаполненияцилиндрического k r и меридионального k  сечений круглой пластины материалом.С этой целью использовался подход, основанный на искусственном выполненииравенства деформаций конструктивно-ортотропной пластины и исходного электрода для техусловий нагружения, которые позволили бы с помощью параметров приведения осуществитьзамену густо перфорированной пластины на эквивалентную ей модельную конструктивноортотропную.Применительно к задаче устойчивости целесообразно рассмотреть действие сжимающейконтурной силы N b (граничное условие 4.1) и изгибающего момента M b (граничное условие4.14).

Равномерное сжатие конструктивно-ортотропной круглой пластины приводит куменьшению радиуса наружного контура на величину, определяемую по формуле (2.3.5). Приэтом второе из уравнений (2.4.26) с учетом соотношений (2.3.6) и (2.4.18) при равных другдругу коэффициентах заполнения элемента материалом k r  k позволяет записатьN r    N      N b .Тогда из уравнения (2.3.5) следуетu 1  1    k r   b  N bkr  E  h.(2.7.1).Пластина с заданными круглыми отверстиями перфорации получает такое перемещениевнешнего контура [14] от действия распределенного сжимающего усилия N b , равное1    b  Nu 1  E hгдеb,(2.7.2).E  и    приведенные модуль упругости и коэффициент Пуассона.Приравнивая правые части формул (2.7.1) и (2.7.2), получаемk r ,NE   1   E  1  . E   1    1    1   E  1  (2.7.3).62Подставляя в формулу (2.7.3) известные значения приведенных упругих параметров E  и  для правильных треугольных решеток, работающих на растяжение или сжатие [14],получаем зависимость между коэффициентами заполнения электрода материалом k r ,N иотношениями диаметров отверстий d 0 к расстоянию между ними S 0 .Аналогичные преобразования выполним также для задачи изгиба пластины.

Всоответствии с уравнением (2.6.21) при граничных условиях (2.3.14) для конструктивноортотропной круглой пластины в её центре можно записать:w0 6  1    k r   b 2  M bkr  E  h3.(2.7.4)Прогиб в центре густо перфорированной пластины составит [14]:w0 где6  1     b 2  M bM  E  h3,(2.7.5) M  коэффициент ослабления изгибной жесткости пластины.Из равенства правых частей формул (2.7.4) и (2.7.5) следуетk r ,M M.1    1   M (2.7.6)Как показали расчеты значений коэффициентов заполнения пластины материалом,формулы (2.7.3) и (2.7.6) дают несколько отличающиеся друг от друга результатов.

Придействии мембранных сжимающих напряжений по формуле (2.7.3) получаются меньшиезначения коэффициента конструктивной ортотропии k r ,N . В случае реализации изгибныхнапряжений по формуле (2.7.6) получаются немного завышенные значения аналогичногокоэффициента k r ,M .Поскольку исследование устойчивости и изгиба электродов ИОС включает в себяодновременное решение задач сжатия и изгиба, то в качестве окончательной зависимостимежду коэффициентами заполнения и отношением диаметра отверстий перфорации d 0 красстоянию между ними S 0 , приняты средние величины рассматриваемых коэффициентовkr 1 k r ,N  k r ,M .2(2.7.7)Этим значениям соответствует кривая, рассчитанная по формуле (2.7.7), и изображеннаяна рисунке 2.7.1.63Рисунок 2.7.1.

Изменение коэффициента заполнения электрода материалом в зависимости ототношения диаметра отверстий к расстоянию между ними2.8. Алгоритм расчета термоустойчивости и нелинейного изгибапрофилированных электродов ИОСПолученные матричные краевые интегральные и интегро-дифференциальные уравненияв общем случае описывают нелинейный изгиб профилированных электродов ИОС. В настоящеевремянаиболеераспространенысферическиеэлектроды,профилированиекоторыхосуществляется по пологой дуге окружности.Однако независимо от выбранной геометрии электродов процесс их деформированиядолженпрогнозироваться на этапах расчетного обоснования возможного изменениямежэлектродных зазоров вследствие неравномерного нагрева электродов по радиусу итолщине.

что вызывает необходимость в уточненном расчете не только прогибов в центреэлектродов, но и формы их деформирования в процессе температурного деформирования.Такой расчет может быть основан на применении различных итерационных методоврешения рассматриваемой системы интегральных уравнений (2.5.9), (2.6.15). Для упрощенияпроцедуры численного решения этих уравнений методом последовательных приближенийможно воспользоваться сначала решением геометрически линейной задачи термоупругойпотери устойчивости идеально плоских электродов.Для определения критических перепадов температуры по радиусу электродов начинатьитерационные вычисления удобно применительно к неоднородным интегральным уравнениям(2.4.26).

При этом процесс последовательных приближений запишется так [6]N mk    K N mk 1  Fm ,(2.8.1)64гдеk  номер приближения ( k  1, 2,3,... ).В первом приближении обычно принимают N m0  0 . Вычисления по схеме (2.8.1)будут сходящимися только в случае  N ,1 >1, где  N ,1  первое (наименьшее по модулю)собственное значение однородного интегрального уравнения N m    N  K N m  .Если  N ,1 <1, то при  N ,1 <0 сходиться будет метод сложной итерации, а при  N ,1 > 0 метод подобной итерации [6].После определения законов изменения докритических мембранных усилий по радиусуэлектродов можно приступать к определению критических значений безразмерных параметров m . На этом этапе решается однородное интегро-дифференциальное уравнение (2.4.56), врезультате чего вычисляются его первые собственные значения и первые собственныефункции.

Схема расчета зависит от того, какой из параметров  m задан, а какой являетсяискомым.При известных параметрах 1 и  2 метод простой итерации выразится следующимобразом:  j    3 j   K 32    j 1    m  K m2   j 1   K 02    j 1 ,2(2.8.2)m 1гдеj  номер приближения ( j  1, 2,3,... ).Первое собственное значение искомого параметра находится из условия равенства нормматриц-столбцов функции  в двух последующих приближениях j     j 1.На практике можно использовать более простой способ [6], основанный на вычислениинормы по максимуму только одной функции, входящей в матрицу-столбец.

При решенииуравнения (2.4.56) методом простой итерации весьма эффективным оказывается способсравнения ординат функции  , которая на безразмерном радиусе  с равна единице.Применительно к расчету по схеме (2.8.2) имеем22 2  3 j   1    m K m20  j 1  c   K 00  j 1  c   K 30  j 1  c  m11.(2.8.3),Аналогичным способом можно отыскивать критические значения двух другихбезразмерных параметров 1 и  2 .

Независимо от применяемого метода, в исходномприближениипредпочтительнеевыбиратьфункциютакимудовлетворялись геометрические граничные условия на краях электрода.образом,чтобы65Полученные результаты решения линейной задачи термоустойчивости являютсяпромежуточными и служат в дальнейшем исходной информацией для исследованиянелинейного изгиба профилированных электродов, которые могут быть одновременнонеравномерно нагреты как по радиусу, так и по толщине.Необходимо сначала отработать технологию решения менее сложных нелинейных задачо закритическом поведении идеально плоских электродов путем применения одного изитерационных методов в сочетании с процессом пошаговых последовательных нагружений.Пошаговыепоследовательныенагруженияпозволяютсущественноулучшитьсходимость вычислительных операций за счет уменьшения влияния нелинейности задачи.Кроме того, хорошим ориентиром для выбора величины шагов по нагрузке являетсякритическое значение одного из ведущих безразмерных параметров нагружения  m .Аналогичный подход целесообразно реализовывать и при исследовании нелинейногоизгиба профилированных электродов, но с учетом того, что в данном случае приходится решатьуже четыре линейных неоднородных интегральных уравнения (2.6.13), а также более сложноенелинейное интегральное (2.6.15) и интегро-дифференциальное (2.6.21) уравнения.

Пошаговоенагружение следует выполнять так, чтобы всегда результаты вычислений давали постепенноувеличивающийся прогиб электрода. Практически это достигается путем выбора начальнойнагрузки, составляющей некоторую часть от её критической величины.В пределах каждой ступени схема решения системы интегральных уравнений (2.6.15) и(2.6.21) запишется следующим образом:~~Ni   K  Ni 1  K  i 1 i 1  K  i 1 ,  (2.8.4)i  1, 2, 3,... .(2.8.5) i     m  K m2   i1  Fm   K 02   i1 4m1    2 k0  K N~2i  i 1  K N~2i     T  FT    Ml ,l 1Причем для первого шага нагрузки в исходном приближении расчета по схемам (2.8.4) и(2.8.5) достаточно принять0   0 ,N~0   0 .Структура всех полученных интегральных уравнений, записанных в безразмернойоператорной форме, позволила разработать единый алгоритм численного решения каклинейных, так и нелинейных задач термоустойчивости и изгиба профилированных густоперфорированных электродов ИОС на основе использования специально разработаннойтермомеханическойсферической панели.иматематическоймоделипологойконструктивно-ортотропной662.9.