Автореферат (Нестационарные волны в упругих моментных средах)

На правах рукописиЛАЙ ТХАНЬ ТУАННЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ВУПРУГИХ МОМЕНТНЫХ СРЕДАХСпециальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого телаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2012Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессор,Тарлаковский Дмитрий ВалентиновичОфициальные оппоненты: Ерофеев Владимир Иванович,доктор физико-математических наук, профессор,Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, заместитель директора.Земсков Андрей Владимирович,кандидат физико-математических наук, доцент,Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), доцент.Ведущая организация:Нижегородский государственный университетим. Н.И.

Лобачевского (НИИ механики)Защита состоится «09» ноября 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», по адресу: 125993,г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотекеФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».Автореферат разослан «08» октября 2012 г.Ученый секретарьдиссертационного советаФедотенков Г.В.2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность работы. В настоящее время наиболее исследованными являются задачи о распространении нестационарных возмущений в классическихупругих средах. При этом практически отсутствуют публикации по проблемераспространения нестационарных волн в упругих средах с учетом внутреннегомомента количества движения (моментные среды).

Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с микроскопической точки зрения состоит из частиц, обладающих согласованным моментомколичества движения даже при нулевой макроскопической скорости. К такимсредам относятся гранулированные среды, среды с гиромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и т.д. Поэтому исследование нестационарных процессов моментных сред представляет собой актуальную проблему.Целью диссертационной работы является постановка и построение аналитических решений двухмерных задач о распространении нестационарных осесимметричных граничных возмущений в «неклассической» упругой среде сосферическими границами, в качестве модели которой выбран один из вариантов несимметричной теории упругости – псевдоконтинуум Коссера.Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.1.

Получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар) и о дифракции волнырасширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера;2.

Разработан и реализован алгоритм обращения преобразований Лапласадля коэффициентов рядов по полиномам Лежандра в полученных решениях.3Практическое значение работы. Полученные результаты обеспечиваютвозможность исследования поведения различных конструкций из композиционных материалов при действии на них нестационарных нагрузок, что особенноактуально при создании современных объектов авиационной и ракетнокосмической техники.Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов подтверждается использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для частных случаев.Апробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы докладывались на- Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец,Московская обл., 2011, 2012 г.г.);- Всероссийской конференции «Механика наноструктурированных материалов и систем» (Москва, Ленинградский проспект, 7, 13 – 15 декабря 2011 года);- Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация вавиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17 – 20 апреля 2012 г.);- Ломоносовских чтениях.

Подсекции: Механика деформируемого твердоготела. (Москва, МГУ, 16 – 20 апреля 2012 г.).Основные результаты диссертации опубликованы в девяти печатных работах, в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения,четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 111 страниц.

Списокиспользуемой литературы включает 110 наименований.4СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.В первой главе преведен обзор литературы, определена проблема полученияаналитического решения нестационарных задач механики деформируемоготвердого тела. Отмечено, что наибольшее развитие общей теории несимметричной упругости получили в конце 50-х – 70-х годов прошлого столетия В.Новицкий, В.Т. Костер, Э.Л.

Аэроб и Е.В. Кувшинский, Р.Д. Миндлин и Г.Ф.Тирстен, Р.А. Тупин, И.А. Кунин, В.А.Пальмов, А.И. Лурье и др. Cовременныеисследования задач моментных сред принадлежат следующим авторам: С.М.Белоносову, Г.Л. Бровко, Г.А. Ванину, В.И. Ерофееву, В.В. Корепанову, М.А.Кулешу, В.П. Матвеенко, Б.Е. Победре, А.Г. Угодчикову, Kumar Rajneesh, LiuJun, Nistor I., Suiker A.S.J.

Некоторые нестационарные задачи для моментныхсред исследованы в работах А.А. Саркисяна, Birsan Mircea, Gheorghita Vitali,Han S.Y.Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения.

Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера и псевдоконтинуумаКоссера. С использованием представления полей перемещения и угла поворотав виде потенциальной и соленоидальной частей записана система уравненийдвижения относительно скалярных и векторных потенциалов.Получены безразмерные уравнения осесимметричного движения относительно скалярного потенциала  и ненулевой компоненты векторного потенциала  для псевдоконтинуума Коссера в сферической системе координатr ,  , ( r  0 , 0     , 0    2 ):51 2  1   r sin ;2 r  r  r  sin      1  1 1 11  0, 1    2 2 ,24r sin    ,  (1)а также соответствующие геометрические и физические соотношения:ur  w  1  1      ctg  , u  v    , u  0;r r  r   r   1    rv  w wv,  r    , ,   r  0;  rr 2r  r rr1  w1  v1r   v    ,     w  ,     w  vctg  ;r  r  r1  r , r   ,  ,    ctg ,rrr r r   r        0;  rr       r   r  0;(2) r     r    r , r    r     r ,          ,         ,       ,       ; rr   rr    ,        rr ,      rr     ,(3)1 1  r    r    r  ,   r  r    r    r  ,221  1    r     r     2 r  r       ctg  .2  rr   r    r     r  где  - оператор Лапласа;  ,  ,  - безразмерные параметры, связанные с физическими характеристиками среды; ui и i i  r ,  , - физические компо-ненты векторов перемещения u и поворота ω ;  i j ,  i j , i j и  i j  i, j  r, ,  физические компоненты тензоров деформаций γ , изгиба-кручения χ , моментных напряжений μ и напряжений σ .Рассмотрены два типа волн растяжения-сжатия, распространяющиеся в бесконечном псевдоконтинууме Коссера: плоские и сферические.

Показано, чтодля каждого из них потенциал перемещений есть суперпозиция двух волн: прямой (расходящейся) и обратной (сходящейся), распространяющихся со скоростью, равной единице.6Во второй главе построено решение осесимметричной задачи о распространении нестационарных возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. На поверхности полости r  1 задано нормальное перемещение,а касательное перемещение и вращение отсутствуют:w |r 1  w0  ,  , v |r 1  0,  |r 1  0.(4)В начальный момент времени среда находится в покое, что соответствуетоднородным начальным условиям. На бесконечности возмущения отсутствуют.Для решения задачи используется метод неполного разделения переменных,который заключается в представлении потенциалов и компонент напряженнодеформированного состояния среды, а также правых частей граничных условийв ряды по многочленам Лежандра Pn  cos  и Гегенбауэра Cn3/21  cos   .

В результате приходим к начально-краевым задачам11 n n       n2 n24wn r 1  w0 n   , vn r 1  0, n r 1  0;n   nnn  0, n   0   n  0n  n  1 ;(5) 2 2  n  n  1 n  0   n  0  0;  n  2 ,rr rr2и соответствующим геометрическим и физическим соотношениям относительно коэффициентов рядов.Для решения задач (5) используется преобразование Лапласа по времени ( s- параметр, индекс « L » соответствует изображению): n nL  r , s   s 2 nL  r , s   0 n  0;     2n nL  r , s   2 1     n nL  r, s   4s 2 nL  r , s   0  n  1 .(6)Общее решение уравнений (6) с учетом ограничения решений в бесконечности записывается в виде:Ln r, s   r1 21Cn1  s  K n 1/2  rs  , 2Ln r , s   r  Cnm2  s  K n1/2  r1 2m 1m ,(7)2где Cn11  s  и Cnm s   m  1,2  - постоянные интегрирования; K  z  - модифи-цированные функции Бесселя порядка  второго рода; 1,2 - корни характери7стическогоуравнения,котороеполучаетсяприподстановке n nL  r , s    nL  r , s  во второе уравнение в (6).Используя связь модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса сэлементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов дляLпотенциалов перемещений ( AnL  s  , Bnm s  - новые произвольные функции):Ln r, s  1rn 1LnA  s  Rn 0  rs  e r 1sLn, r, s  1rn 12 B s R rLnmn0m e  r 1m1m, (8)гдеnRn 0  z    Ank z n k , Ank k 0 n  k ! 0  k  n  ; Ank  0  k  0, n  k !k !2kk  n .Постановка (8) в преобразованные по Лапласу геометрические соотношенияотносительно коэффициентов рядов приводит к следующим выражениям дляизображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота:21  L  r 1 sAsRrsenn1   BnmL  s  Rn0 r m e  r 1n  2  n   n1 r m 121 LvnL  r , s   n  2  AnL  s  Rn 0  rs  e  r 1 s   Bnm s  Rn 3 r m e  r 1 m  ,r m 11  2 LLn  r, s    n 3   Bnm  s  Qn r m e  r 1 m  ,2 r  m 1wnL  r, s   m,(9)гдеn 1Rn1  z   Rn1,0  z   nRn 0  z    Bnk z n1k , Bnk  An 1,k  nAn ,k 1 ,k 0Rn 2  z   Rn 2,0  z    2n  1 Rn1,0  z   n  n  1 Rn 0  z  ,n 1Rn 3  z   Rn 1,0  z    n  1 Rn 0  z    Cnk z n 1k , Cnk  An1,k   n  1 An ,k 1 ,k 0n 2Qn  z   Rn2,0  z    2n  3  Rn 1,0  z    Dnk z n2k , Dnk  An 2,k   2n  3 An 1,k 1.k 0Используя эти соотношения и преобразованные по Лапласу граничные условия (5), получаем следующие представления изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (для краткости приведена формула только для нормального перемещения):82wnL0  s   L r 1  j  r 1 sw  r , s   n 2 Wn 0  r , s  e n  n  1 WnLj  r , s  e(10).rj 1ЗдесьX n  s WnL0  r , s    Rn1  rs  S n1 1 , 2 , X n  s WnL1  r , s   Rn 0 r 1 S n 2 s, 2 ,LnX n  s    Rn1  s  Sn1   n  n  1 R1 ,n02 s   Sn2 1 , 2  Sn 2    ,   ,21S n1  x, y   Rn 3  x  Qn  y   Rn 3  y  Qn  x  , S n 2  x, y   Rn 0  x  Qn  y .Формулы для функций WnL2  r , s  получаются из соответствующего равенствадля WnL1  r , s  с помощью умножения на (-1) и перемены местами 1 и 2 .Структура изображений (10) не позволяет найти оригиналы аналитическиввиду наличия в них слагаемых, содержащих радикалы1,2 .