Автореферат (Нелинейная динамика деформируемого стержня в вязком континууме)

На правах рукописиРАБАДАНОВ Рамазан ГазимагомедовичНЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО СТЕРЖНЯ В ВЯЗКОМКОНТИНУУМЕСпециальность: 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела и01.02.01 – Теоретическая механикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико – математических наукМосква – 2012Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательномучреждении высшего профессионального образования «Московский авиационныйинститут (национальный исследовательский университет)»доктор физико – математических наук, профессорНаучный руководитель:Гладков Сергей ОктябриновичОфициальные оппоненты:Кузнецов Евгений Борисович,доктор физико – математических наук, профессор,ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)»,профессорДадиванян Артем Константинович,доктор физико – математических наук, профессорМосковский государственный областнойуниверситет им.

Н.К. Крупской, профессорВедущая организация:Ярославский государственный университетим. П.Г. ДемидоваЗащита состоится «14» декабря 2012 г. в 1400 часов на заседании ДиссертационногоСоветаД.212.125.05вФГБОУВПОМосковскийавиационныйинститут(национальный исследовательский университет) по адресу:125993, г. Москва, ГСП-3,Волоколамское ш., д. 4.С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Московскогоавиационного института (национального исследовательского университета)Автореферат разослан «13» ноября 2012 г.Ученый секретарьдиссертационного совета________________2Г.В.

ФедотенковАктуальность темы.Задачи механики, как правило, охватывают спектр линейных проблем,для которых разработана масса аналитических методов, позволяющихадекватно описывать самые разнообразные явления. В последнее время напервый план выходят чисто нелинейные проблемы из различных областейестествознания, в том числе и из механики. Именно к последнему типузадачотносится наша задача, связанная с изучением нелинейногодвижения тонкого деформируемого стержня в вязкой среде, и, в отличие отпредшествующей линейной науки, решаемая в диссертации задачаявляется изначально нелинейной, что и определяет ее актуальность.Цель работы.

При описании произвольного механического движениятонкого гибкого деформируемого стержня в реальной диссипативнойсреде используется вариационный подход и метод функции Лагранжа. Приэтом возникает ряд проблем, которые ставят перед нами несколько важныхцелей:–1. Исследование механической деформации тонкого очень гибкогостержня с помощью составления функции Лагранжа для случая егопроизвольных изгибов в условиях учета, как собственной силы тяжести,так и силы сопротивления со стороны вязкого континуума;–2.

Вывод и анализ нелинейных уравнений механики, описывающихдинамику движения гибкого стержня с учетом всех перечисленныхслагаемых.Научная новизна. С помощью принципа наименьшего действия решаетсячисто физическая задача из области теоретической механики, когда натонкий стержень действует некоторая внешняя сила. Формально еерешение сводится к выводу общего нелинейного дифференциальногоуравнения в частных производных, описывающего в общем случаесложное движение сильно изгибающегося (деформирующегося) объекта.При этом учитываются, как сила трения, так и сила тяжести.3В диссертации показано, что соответствующее нелинейное движениеопределяет в начальный момент времени сильный механический изгибстержня, который мгновенно выводится из положения равновесия, путемнекоторого внешнего воздействия, приводящего к возрастанию егоэнергии [1, 2].Вся последующая эволюция, связанная с выяснением формы стержня вкаждый фиксированный момент времени и в данной точке пространстваприводит, в конечном итоге, к естественному затуханию колебаний иустановлению равновесного положения, которое представляет собойнеподвижно висящий (под действием силы тяжести и сопротивленияконтинуума) стержень с максимальной энтропией и минимальной энергией[3 – 5].

В подобной постановке задача не решалась и этим она отличаетсяот известных нам работ близкой направленности [6 – 8]. В частности, вмонографии [6] излагаются вопросы, связанные с описанием движенияструны, закрепленной с двух сторон, и в положении равновесия провисшейпод действием силы тяжести. Однако, общее уравнение, котороепредложено в [5, § 1.6, стр.

40], к сожалению, не может быть использованов рамках нашей задачи, поскольку рассматриваемая нами струна шарнирнозакреплена только с одного конца. Этим и определяется научная новизнаисследования.Практическая ценность. Решение задачи об оптимальных механическихотклоненияхтонкогогибкогостержня(струны)можетоказатьсущественную практическую помощь в моделировании:а) формы шлангов, подающих воздух космонавтам, выходящим воткрытый космос и оптимальной формы шлангов для самолетов –заправщиков;б) прокладки длинных трубопроводов по дну океана с минимумомзатрат;в) минимальных перемещений троса с грузом при тушении лесныхпожаров вертолетами МЧС.4Кроме того, предложенный метод решения нелинейной задачи одвижении протяженных гибких объектов в вязких средах, будет весьмаполезным при постановке чисто научных экспериментов в прикладныхцелях.На защиту выносятся следующие основные положения диссертации.– получено общее выражение для силы сопротивления, действующей натонкий гибкий стержень, закрепленный с одного конца, в случае егопроизвольных смещений;– выведено нелинейное динамическое уравнение движения и условиетрансверсальности свободного конца стержня с учетом силы трения исилы тяжести;– приведено решение полученного уравнения движения в частных случаях;– смоделировано численное решение полученного уравнения.Апробация работы.

Основное содержание работы было доложено на XIIIМеждународном симпозиуме «Динамические и технологические проблемымеханики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва,2007);начетвертойВсероссийскойнаучнойконференции«Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007); на VIВсероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики:теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007); наМеждународной конференции «Дифференциальные уравнения, теорияфункций и приложения», посвященной 110 – летию со дня рождения И.Н.Векуа(Новосибирск,2007);намеждународнойконференции«Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительнаяматематика», посвященная памяти А.Ф.

Леонтьева (Уфа, 2007); на Второймеждународной конференции «Деформация и разрушение материалов инаноматериалов» (Москва, 2007), на конференции молодых ученых,посвященной 175-летию со дня рождения Д.В. Менделеева (Самара, 2009).Публикации.Содержаниедиссертацииотраженов10научныхпубликациях, в число которых включены три публикации из списка ВАК.5Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырехглав, заключения и библиографического списка. Объем диссертациисоставляет 144 страницы, в том числе 70 рисунков. Список литературысоставляет 215 наименований.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВ первой главе диссертации изложены основные принципы составленияуравнений динамического движения сложных систем.В первом параграфе первой главы продемонстрировано получениедифференциальных уравнений движения механических систем с помощьюсоставления функции Лагранжа и последующему применению методоввариационного исчисления.Во втором параграфе дается обобщение уравнения Эйлера – Лагранжа,путем учета возможной неоднородности по координатам искомогопараметра задачи.В третьем параграфе излагается гамильтонов формализм составления недиссипативных уравнений движения для чисто консервативных систем.Четвертыйпараграфпосвященфеноменологическомувведениюдиссипации механической системы и разбору нескольких примеровполучения уравнений эволюции различных систем и, в частности,описанию нестационарного поведения температуры в неоднородныхсредах.Подобныепримерыоснованынасинергетическомпринципесоставления уравнений движения, который, по сути, представляет собойдиссипативное уравнение Эйлера – Лагранжа.Последний пятый параграф первой главы посвящен постановке задачи,решаемой в диссертации.

Суть задачи заключается в выводе динамическихуравнений движения тонкого длинного стержня, сильно выведенного изположения равновесия, и движущегося в некотором континууме сзаданной вязкостью при учете также силы тяжести. Целью диссертации6являетсярешениеэтогоуравненияиегоанализвнекоторыхасимптотических приближениях.Во второй главе диссертации дается вычисление силы сопротивления,которая действует на произвольно движущийся в вязкой среде стержень, укоторого один конец закреплен. В общем случае силу сопротивленияможно вычислить, как F fr    d , где   поверхность тела, dk  k  ik kiая компонента вектора элемента поверхности d , а по повторяющимсяиндексамздесьивездедалееподразумеваетсяФигурирующий здесь тензор вязких напряжений естьсуммирование.  ui u k  ,   ik2  xk xi где   динамическая вязкость, ui  i  ая компонента вектора смещениясреды u .

В результате с учетом формулы d  2r (l )dl , где r (l ) изменяющийся вдоль длины стержня радиус поперечного сечения,получим F fr   un d  2 r (l ) u n dlnnlln nlгде un - нормальная к оси стержня скорость движения. В итоге искомаясила сопротивления будет  fr2 dl ,(1)F fr   f n dl  2  r (l )1 xxnl n llгде f nfr  сила сопротивления, отнесенная к единице длины стержня.Заметим, что выражение (5) носит нелокальный характер, и описываетполную силу сопротивления. Добавка в классическое действие от этойдиссипативной силы будет такойtt11  fr2  . (2)S   dt   F dln dl 2r  dt  dl  dln1nx 0l n  xlt lt00В третьей главе, используя основные вариационные принципы, выводитсянелинейное уравнение движения тонкого гибкого стержня, закрепленногошарнирно на одном конце, с учетом сил трения и силы тяжести (первый7параграф).