Отзыв оппонента (Моделирование процессов деформирования многослойных тонких термоупругих пластин на основе метода асимтотической гомогенизации)

В диссертационный совет Д 212.125.05 при ФГАОУ ВПО «Московский Авиационный Институт (Национальный исследовательский университет)» (МАИ) 125993, г. Москва, А-80, ГСП-83, Волоколамское шоссе, д. 4 ОТЗЫВ официального оппонента на диссертацию Яковлева Дмитрия Олеговича «Моделирование процессов деформирования многослойных тонких термоупругих пластин на основе метода асимптотической гомогенизации», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела Диссертация Яковлева Д.О.

посвящена развитию теории н методов расчета тонких анизотропных многослойных композитных пластин на основе общих уравнений трехмерной теории упругости н метода асимптотического усреднения уравнений с быстроосциллируюшими коэффициентами. Многослойные пластины из композиционных материалов находят широкое применение в качестве элементов конструкций во многих отраслях промышленности: машиностроении, судостроении, строительстве, авиа- и космической технике, медицине и многих других. Поэтому развитие математических методов и моделей, которые бы позволили эффективно описывать и проводить расчеты происходящих в них процессов является актуальной задачей. Актуальность диссертационного исследования обусловлена практическими потребностями повышения точности расчета механического поведения многослойных композитных пластин при условии их сложной неоднородной структуры и неоднородного характера поведения (разномасштабности) происходящих в них физических процессов.

Одним из наиболее эффективных и строго обоснованных методов моделирования разномасштабных процессов является метод асимптотического усреднения уравнений с быстроосцнллирующими коэффициентами, основанный на разделении с помощью асимптотических разложений зависимостей, связываемых с глобальными х, и локальными ~, = х,/к переменными (к — малый параметр, определяющий степень различия в характере разделяемых процессов); введение таких переменных характерно для известного метода многих масштабов.

Основы метода асимптотической гомогенизацнн были заложены в середине 70-х годов в фундаментальных работах Н.С.Вахвалова, В.Санчес-Паленсиа, Лионса и других авторов для неоднородных сред с периодической-отпуктурой,-и в-даль- ~0ПП.,ПП оп~~:,'; Цап: ~ .'1,)- а -~'4, неишем эффективно применялись для решения самых разных задач в неоднородных средах. В представленной диссертационной работе этот метод положен в основу разрабатываемых теорий термоупругости и гармонических колебаний многослойных тонких анизо- тронных пластин, что обуславливает достоверность и обоснованность полученных ре- зультатов. Представленная работа представляет не только практический, но и методический интерес, т.к, демонстрирует возможность применения метода асимптотической гомогенизации (имеющего строгое математическое обоснование) для построения моментных теории деформирования анизотропных композитных пластин в условиях температурных воздействий и вибраций.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; ее структура имеет ясный логичный характер. Во введении обоснована актуальность темы, производится краткий обзор состояния вопроса и содержания работы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна„теоретическая и практическая значимость полученных результатов, их достоверность, основные положения, выносимые на защиту, описание научных мероприятий и публикаций, на которых проводилась апробация работы. В первой главе на основе уравнений общей трехмерной теории упругости, тепло- проводности и с помощью метода асимптотического усреднения получены уравнения моментной теории термоупругости многослойных тонких пластин, близкие по своему виду уравнениям Кирхгофа-Лава в теории пластин.

Методика вывода уравнений обобщает работу 1Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин д Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки., 2012, Хя. 3~ на случай зависимости деформаций от тепловых полей. Приводится постановка исходной трехмерной задачи линейной термоупругости для многослойной пластины, формулируются основные усло- вия, при которых выполняется процедура асимптотического усреднения, производится обезразмеривание участвующих в постановке задачи величии, явно выделяется в уравнениях масштабный параметр к, определяющий соотношение между процессами деформи- рования в продольном и поперечном сечении пластины. Условия термонагружения пластины сформулированы таким образом, чтобы асимптотическое приближение к решению обеспечивалось усредненным уравнением второго порядка точности, которое как раз и является моментным уравнением, содержащим в теории асимптотического усреднения производные до четвертого порядка от эффективной функции перемещений.

В результате асимптотического усреднения исходных уравнений были получены эффективные термомеханические характеристики при сформулированньгх условиях, а также распределение перемещений и напряжений с учетом локальной структуры много- слойной пластины. Показано, что в случае однослойной пластины и при равномерном воздействии температурного поля изложенная процедура приводит к системе гипотез и классическим уравнениям Кирхгофа-Лява. Во второй главе рассмотрены две конкретные задачи об изгибе многослойной пластины прямоугольного поперечного сечения (фактически балки, рассматриваемой как пластина): многослойная пластина под действием равномерно распределенной нагрузки и температуры и свободная от нагрузки пластина при неравномерном нагреве поперечного сечения.

Пластина состояла из трех слоев ортотропного материала, масштабный параметр к соответствовал значению 0.04. Обе задачи рассматривались при условии жесткого за- щемления концевых и защемления со свободным скольжением боковых торцов балки. Для вычисления напряжений и перемещений были получены явные выражения, которые для первой задачи и в случае одного слоя совпадают с классическим решением в теории пластин Кирхгофа-Лява, однако для многослойной пластины отличаются от напряжений„ получаемых из теории Кирхгофа-Лява с единой деформируемой нормалью. Также было проведено сравнение результатов решения рассмотренных задач с результатами конечно- элементного моделирования в программном комплексе АМИТА. Пластина в этом случае рассматривалась как трехмерный параллелепипед, разбитый на тераэдральные 10-ти узловые конечные элементы (с квадратичной аппроксимацией перемещений), для экономии ресурсов строилась неравномерная по длине балки сетка со сгущением в нескольких выбранных сечениях; показана сходимость численного решения к построенному при значительном увеличении общего числа конечных элементов, Показано, что напряжения в выбранных сечениях достаточно хорошо совпадают с численным решением при разбиении каждого слоя композитной пластины минимум на 20 элементов, относительная средне- квадратичная невязка составляла от 0,6 '?4 до 8,8 ',4 для разных компонент тензора напряжений; однако число элементов необходимое для достижения большей точности катаст- рофически растет.

Глава 3 посвящена разработке теории установившихся гармонических колебаний многослойных тонких анизотопных пластин на основе метода асимптотической гомогени- зации. Последовательность вывода н метод получения моментных уравнений такие же, как в главе 1. В результате усреднения исходных уравнений трехмерной теории упруго- сти получены усредненные уравнения установившихся колебаний аналогичные уравнениям в теории пластин Кирхгофа-Лява; также получены усредненные определяющие соотношения и явные формулы для напряжений и перемещений с учетом локальной структуры пластины. Глава 4 посвящена моделированию изгибных гармонических колебаний многослойных тонких пластин с помощью построенной теории и с помощью конечно- элементного комплекса АМЯ1Б.

Рассмотрены две задачи о собственных и вынужденных колебаниях многослойной пластины прямоугольного поперечного сечения, состоящей из трех слоев ортотропного материала при масштабном параметре к = 0.04 и при условиях шарнирного закрепления концевых и скользящего закрепления боковых торцов пластины (балки); собственные частоты вычисляются по явной формуле. Была показана близость построенного решения к результатам конечно-элементных расчетов при достаточно подробном разбиении слоев многослойной пластины; сравнивались значения трех первых собственных частот колебаний и компоненты тензора напряжений в выбранных сечениях. В последнем пункте главы дано описание комплекса алгоритмов и программ, разработанного в среде программирования МАТНЬАВ МагпЪогкз и реализующего для практическо- го использования представленные алгоритмы для вычисления тензора напряжений, собст- венных частот и форм колебаний в построенных теориях, В заключении сформулированы основные результаты работы.