Отзыв оппонента1 (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения)

ОТЗЫВ официального оппонента о диссертационной работе Юрина Юрия Викторовича «Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 — «Механика деформируемого твердого тела» Диссертация Юрина Ю.В. посвящена разработке теоретического метода и методики расчета напряженно-деформированного состояния тонкой многослойной анизотропной пластины, исходя из трехмерной постановки механики деформируемого твердого тела, для которой учитываются деформации ползучести.

Многослойные пластины, характеризуемые напряженно-деформированным состоянием в условиях нелинейной ползучести, имеют достаточно широкое применение в машиностроении, авиации, космической технике и многих других областях промышленности и промышленных технологий. Таким образом, создание и развитие уточненных методов моделирования напряженно-деформированного состояния многослойных пластин, проявляющих выраженные эффекты нелинейной ползучести является актуальной задачей механики сплошных деформируемых тел. При моделировании ползучести широкое распространение получили теории типа теории течения, которые адекватно описывают ползучесть на второй стадии, т.е.

установившуюся ползу- честь. Основой математического моделирования деформирования пластины в диссертационной работе выступает метод асимптотического осреднения, являющийся одним из наиболее строго формализованных и математически обоснованных методов построения математических моделей и схем расчета геометрически многомасштабных тел и конструкций. Метод базируется на расщеплении функциональных зависимостей, входящих в постановку задачи, на зависимости от «быстрых» координат (характеризующие быстрые изменения в относительно «малом» простран- ственном масштабе) и «медленных» координат (которые используются для описа- ~ оьяя~ф~;ф„'Ф; ] 5: ~'~-;l+, ния континуума в масштабе, определяемом или принципом сплошности или геометрией тела), а также на построении решения в форме асимптотического разложения по степеням геометрического малого параметра, вводимого как отношение указанных масштабов.

Метод асимптотического осреднения, первоначально предложен- ный для сред с периодической пространственной структурой, в настоящее время находит применение для моделирования деформаций в неоднородных средах. В диссертационной работе указанный метод применяется для метематического моделирования напряженно-деформированного состояния многослойных тонких пластин, проявляющих эффекты ползучести.

В связи с изложенным выше, тематика диссертационной работы, представляется актуальной как в теоретическом, так и в прикладном отношении. Достоверность результатов исследования основывается на использовании ранее обоснованных математических методов и моделей, сопоставлении полученных в диссертационном исследовании результатов с результатами, полученными иными вычислительными методами, в частности, с применением трехмерного конечно-элементного анализа. Замечу также, что еще одним аргументом в пользу достоверность исследования является то обстоятельство,что полученные в результате осреднения двумерные краевые задачи в ряде случаев решаются точно.

Научная новизна диссертационной работы определяется тем, что в ней предложен новый и эффективный метод моделирования напряженно-деформированного состояния многослойных пластин в условиях ползучести, базирующийся на применении метода асимптотического осреднения к трехмерным задачам механики деформируемого твердого тела. Разработанный в диссертационном исследовании метод позволяет получить разложения по геометрическому малому параметру для вектора перемещений, тензора напряжений и тензора деформаций, а также вывести системы уравнений пониженной размерности (двумерные), согласующиеся с классическими моделями теории пластин и оболочек. При этом не делается никаких предположений о перемещениях и деформациях пластины для ее нормальных сечений, что имеет место в классических теориях пластин.

Также в работе представлен новый конечно-элементный метод решения указанных двумерных систем уравне- ний, основанный на использовании вариационного принципа Хелингера-Рейснера в сочетании с аппроксимацией трикубическими полиномами Биркгофа и специальным выбором степеней свободы для первых двух горизонтальных компонент осредненного по быстрой переменной вектора перемещений, а также аппроксимации Белла для третьей компоненты осредненного вектора перемещений.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертационной работе методы не накладывают ограничений на тип анизотропии материалов слоев пластины, позволяя тем самым учесть более широкий спектр современных конструкционных материалов с, как правило, выраженной анизотропией. Разработанные численные методы демонстрируют более высокую точность, по сравнению с известными аналогами.

Результаты работы могут быть использованы для расчетов на прочность многослойных тонких пластин со сложной анизотропией материалов слоев, проявляющих также нелинейную ползучесть. Апробация результатов диссертационной работы выполнена в рамках научных конференций и семинара кафедры вычислительной математики и математической физики МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф.

Ю.И. Димитриенко. Результаты работы представлены в 11 научных публикациях, в том числе в 10 статьях в журналах, входящих в перечень ВАК, и в 1 работе в издании, входящем в международную базу данных и систему цитирования Ксориз. Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, выводов и заключения и списка литературы. Остановимся на содержании диссертационного исследования Во введении обсуждается актуальность темы диссертационного исследования, представлен краткий обзор литературы по теме диссертации, формулируются цель и задачи работы, представлена информация о достоверности результатов и сведения о научной новизне. В первой главе, самой большой по объему, приводится исходная трехмерная система уравнений задачи теории ползучести. Формулируются основные допущения, в рамках которых решение строится на основе метода асимптотического осред- нения.

Решение трехмерной системы уравнений разыскивается в виде асимптотических рядов по степеням малого геометрического параметра. Подстановка этих рядов в трехмерную систему уравнений ползучести приводит к системам обыкновенных дифференциальных уравнений по локальной координате, рекуррентно связанных между собой. При этом показывается, что начальный член в разложении перемещений не зависит от быстрой (локальной) координаты. В процессе решения указанных систем дифференциальных уравнений получаются выражения для коэффициентов рядов разложений по малому параметру, определяющих перемещения, напряжения и деформации.

Выполнив осреднение (по нормальной координате) трехмерных уравнений равновесия, получаются классические уравнения теории пластин Кирхгофа — Лява для усилий и изгибающих моментов. Далее приводится вывод определяющих соотношения теории пластин, связывающих усилия и изгибающие моменты с деформациями и кривизнами срединной плоскости, которые получаются путем осреднения трехмерных определяющих соотношений. Начальный член в разложении перемещений также разыскивается в виде ряда по степеням малого параметра, члены которого не зависят от быстрой координаты.

Подстановка этого ряда в определяющие соотношения теории пластин и далее в уравнения для усилий и изгибающих моментов с отбрасыванием членов ряда выше первого приводит к выводу систем уравнений пониженной размерности для перемещений точек срединной плоскости. Тем самым осуществляется переход к приближенным уравнениям теории пластин.

Уравнения в этих системах содержат производные четвертого порядка от прогибов и третьего порядка от продольных перемещений. Далее приводится вывод вариационных уравнений для указанных систем, соответствующих вариационным принципам Лагранжа и Хеллингера — Рейсснера. Обсуждаются преимущества использования вариационного принципа Хеллингера — Рейсснера в плане численной реализации метода. С помощью указанных вариационных уравнений формулируются слабые постановки задач для систем дифференциальных уравнений, определяющих перемещения точек срединной плоскости.

Приводится доказательство теоремы о единственности решения и существовании слабых решений. Заканчивается первая глава обсуждением различных моделей линейной и нелинейной ползучести. Во второй главе с целью вывода соотношений метода конечных элементов, данные в первой главе слабые постановки задач (сформулированные с применением вариационных уравнений вариационного принципа Хеллингера — Рейснера и, полагая, что для дискретизации по временному параметру применяется явная разностная схема Эйлера) рассматриваются на области, полученной разбиением срединной плоской поверхности на двумерные конечные элементы. В предположении о том, что аппроксимации для перемещений точек срединной плоскости, деформаций и кривизн срединной плоскости имеют полиномиальный вид в каждом конечном элементе, из указанных слабых постановок выводится явный вид систем линейных алгебраических уравнений, определяющих имеющиеся в распоряженими степени свободы перемещений точек срединной плоскости для каждого конечного элемента.

Кроме того, приводятся соотношения, связывающие степени свободы деформаций и кривизны срединной плоскости со степенями свободы перемещений точек срединной плоскости. Отмечаются упрощения соотношений при использовании одинаковой аппроксимации для деформаций и кривизн срединной плоскости. Далее описываются конкретные аппроксимации в пределах одного треугольного конечного элемента, которые предложены для использования при решении задач: аппроксимации трикубическими полиномами Биркгофа со специальным выбором степеней свободы для продольных перемещений точек срединной поверхности, аппроксимации Белла для прогибов, аппроксимации кубическими полиномами для деформаций и кривизн срединной плоскости.

Приводится обоснование выбора указанных аппроксимаций, обсуждаются их преимущества перед существующими аналогами. Заканчивается глава кратким изложением реализации описанного вычислительного метода расчета напряженно-деформированного состояния многослойной пластины, проявляющей нелинейную ползучесть. В третьей главе выполнено решение ряда прикладных задач. Решена задача об изгибе многослойной пластины прямоугольного поперечного сечения, под действием равномерно распределенного давления.