Автореферат (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями)

На правах рукописиИбрагимов Данис НаилевичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕИ ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИСпециальность 05.13.18Математическое моделирование, численные методы и комплексы программСпециальность 05.13.01Системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2017 годРабота выполнена на кафедре «Теория вероятностей и компьютерное моделирование»федерального государственного бюджетного образовательного учреждениявысшего образования «Московский авиационный институт(национальный исследовательский университет)» (МАИ)Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Сиротин Андрей НиколаевичОфициальные оппоненты:Шматков Антон Михайлович,доктор физико-математических наук,старший научный сотрудник Федеральногогосударственного бюджетного учреждения науки«Институт проблем механики»им.

А.Ю. Ишлинского РАН (ИПМех РАН)Горшенин Андрей Константинович,кандидат физико-математических наук,доцент, ведущий научный сотрудникФедерального исследовательского центра«Информатика и управление» РАН (ФИЦ ИУ РАН)Ведущая организация:ФГБУН «Институт программных систем»им. А.К.

Айламазяна РАН»Защита состоится «29» декабря 2017 года в 10 ч. 00 мин. на заседаниидиссертационного совета Д 212.125.04 Московского авиационного института поадресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московскогоавиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП3, Волоколамское шоссе, 4 или на сайте МАИ по ссылке:https://www.mai.ru/events/defence/index.php?ELEMENT_ID=85121.Автореферат разослан «»2017 г.Отзывы в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просим отправлять поадресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, Ученый советМАИУченый секретарь диссертационногосовета Д 212.125.04, кандидатфизико-математических наук, доцентСеверинаНаталья Сергеевна—3—Общая характеристика работыИсторически развитие теории оптимального управления начиналось сизучения динамических систем с непрерывным временем. Данные задачи былитесно связаны с задачами вариационного исчисления, став их логическимпродолжением.

Первые публикации по этой тематике выполнили ОхоцимскийД.Е., Энеев Т.М., Шатровский Л.И., Брайсон А., Денхем В., Миеле А., Келли Г.Все последующие методы решения задач оптимального управления для систем снепрерывным временем базировались на принципе максимума Понтрягина Л.С.,который определил необходимые условия оптимальности. На его основе былиразработаны прямые методы, основанные на спуске в пространстве управлений,методы основанные на вариациях в пространстве состояний.В монографии Моисеева Н.Н., посвященной численным методамоптимального управления, впервые предлагается иной подход, основанный наметодах нелинейного программирования, который впоследствии был развитв работах Гноевского Л.С., Ермольева Ю.М., Гуленко В.П., Мельца И.О.,Пропоя А.И., Пшеничного Б.Н., Евтушенко Ю.Г. Такой подход оказалсяэффективным по ряду причин: с его помощью удалось обосновать некоторые,предложенные ранее, эвристические алгоритмы, возникла возможность ихобобщения; методы нелинейного программирования позволили решать сложныезадачи оптимального управления со смешанными ограничениями.Главным препятствием при построении соответствующих методоврешения задач оптимального управления для систем с дискретным временемявлялось их существенное отличие от непрерывных систем.

В то время, какзадача оптимального управления для непрерывного времени представляетсобой задачу вариационного исчисления, в дискретном случае она являетсязадачей нелинейного программирования большой размерности, что определяетпринципиально иной набор средств её решения, необходимых и достаточныхусловий оптимальности (в частности теорема Куна-Таккера). Также траекториясистемы в дискретном случае представляет собой последовательностьвекторов состояния в отличие от непрерывного времени, где траекторияявляется непрерывной функцией.

Для линейных систем не всегда удаетсяперейти к обратному времени в дискретном случае, что обусловленовозможной вырожденностью оператора системы управления, в непрерывномслучае такой проблемы не возникает, так как фундаментальная матрицасистемы дифференциальных уравнений, описывающих динамику, являетсяневырожденной в любой момент времени.Таким образом, в непрерывном случае принцип максимума как основнойинструмент решения задач оптимального управления получил широкоеосвещение и развитие в различных монографиях Понтрягина Л.С., БолтянскогоВ.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Евтушенко Ю.Г., Табака Д., Куо Б.

ибольшом количестве статей, например, работы Анорова В.П., БережинскогоТ.А., Волина Ю.М., Островского Г.М., Первозванского А.А., РозоноэраЛ.И., Харатишвили Г.Л., Berkovitz L.D. При этом существуют различныеподходы к доказательству принципа максимума, как к необходимым условиямоптимальности экстремали в задаче вариационного исчисления: на основе—4—метода множителей Лагранжа, множеств управляемости, метода игольчатыхвариаций, уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана.

Для дискретных же системизвестен единственный подход к доказательству принципа максимума, которыйфактически является необходимым условием экстремума задачи нелинейногопрограммирования, – на основе метода множителей Лагранжа. Основныерезультаты представлены в сравнительно небольшом числе монографий ипубликаций следующих авторов: Болтянский В.Г., Габасов Р., Кириллова Ф.М.,Пропой А.И., Цыпкин Я.З., Яковлев В.М., Fisher M.E., Gayek J.E., Katz S.,Pearson J.D., Halkin H„ Holtzman J.M., Horn F., Jackson R., Chang S.S.L.Принцип максимума в дискретном случае имеет ряд специфическихособенностей, осложняющих его практическое применение: в отличие отнепрерывного времени, гамильтониан на оптимальной траектории дляавтономных систем не является постоянным по времени и не равняется нулюдля систем с нефиксированным временем, сопряженная система в общем случаестроится в обратном времени (т.е.

каждый k-й вектор состояния сопряженнойсистемы определяется как функция от (k + 1)-го вектора), переход к которомуможет быть затруднен в случае вырожденности оператора системы.Также на данный момент известны современные исследования в разделедискретного принципа максимума следующих авторов: Ait Rami M., Chen X.,Zhou X. Y., Wang G., Yu Z., Wu Z., Lin X. Zhang W., Peng S., связанные с егоприменением для линейных стохастических систем.Среди задач оптимального управления для дискретных системвыделяется задача быстродействия.

Хотя для решения задач оптимальногоуправления с критерием в виде сумм дискретный принцип максимума работаеткорректно, при решении задачи быстродействия возникают сложности: вметоде множителей Лагранжа все множители одновременно могут обращатьсяв нуль, что приводит к нерегулярности экстремума. Функционал качества,который является временем работы системы, может принимать значениятолько из множества неотрицательных целых чисел, то есть фактическиявляется дискретным, что приводит к отсутствию его непрерывностипо управлению и, как следствие, отсутствию непрерывности функцииЛагранжа.

Оптимальное управление, в отличие от линейно-квадратичныхзадач оптимального управления, не единственно. Если начальное состояниесистемы является внутренней точкой множества 0-управляемости – множестватех начальных состояний, из которых можно перевести систему в началокоординат за фиксированное число шагов, то принцип максимума приобретаетвырожденный характер, т.е.

управление в этом случае оптимально в задачебыстродействия тогда и только тогда, когда все векторы сопряженнойсистемы тождественно равны нулю. Как следствие, оказывается невозможнымопределить оптимальное управление из условия максимума гамильтониана,т.к. он постоянен на всём множестве допустимых значений управлений.Качественные исследования задачи быстродействия для дискретных систембыли проведены в работах Морозова И.И., Desoer C.A., Lin W.S.Метод динамического программирования Р.

Беллмана позволяет решитьзадачу быстродействия для дискретных систем. Однако в силу сложности—5—построения функции Беллмана, которая фактически является минимальнымчислом шагов, за которое возможно перевести систему в начало координатиз текущего состояния посредством выбора допустимого управления (значениефункции Беллмана можно вычислить путем последовательного построениямножеств 0-управляемости до тех пор, пока текущее состояние системыне будет принадлежать очередному множеству), его применение сводится кнаправленному перебору возможных траекторий системы до тех пор, покапоследующее состояние не будет принадлежать множеству 0-управляемости зачисло шагов на единицу меньшее. Решение на основе принципа максимумаявляется более удобным с аналитической точки зрения.В рамках работы изложен подход к решению задачи быстродействия длялинейной дискретной системы на основе принципа максимума.