Отзыв оппонента (Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решения)

ОТЗЫВ ОФИЦИАЛЪНОГО ОШШОШЕНТАдоктора физико-математических наук, профессораттл-ireTpoвa Александра Георгиевичана диýсертацию Казаковой Анастасии Олеговны <<Математическоемоделирование в задачах механики сплошных сред с использованиемilолигармонических уравнений и численные методы Ех решеЕия}>,представленнук} на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по сшециалъности 05.13.I8 <<МатематЕче€коемоделирование, численные методы и комплексы программ>>Щиссертационная рабата КазаковойА.О. посвятценаисследованиюявлений, изучаемые в механике сплошных сред, математические моделикоторых оrтисыва_ются rrолига_рмоническим уравнением, а- так_же ра-зработкеitлгоритмов решения краевых задач для этого уравнения в произвольной плоскойиооесимметричной пiэоотранственной области.реitтизован новый подходПри этом вдиосе;отациик исследованию задач гидромеханики итеорииупругости: математические модели различЁых явлений из,ччены с универсалънойточки зрения, что пOзвсляет применить один и тст же ilJIгоритм для решенияразличных задач механики сшлошных сред.Дкт.ч,альность диссертационной работы КазаковойА.О.определяется,,fiреiкде всего, тем, что класс полигармоничсских чравнений, в том числетак как многие"о"по*ений,залачи математической физики пpиволят к ,чравнениям этого класса.

Из;ччениевысокого порядка, весьма важgн a ,оо*зрениlIтеории краевых задач для полигармонического уравнениl{ велось в работах такихизвестных IчIатематиков как И.Н. Векrча, М.П. Ганин, А.В. Бицадзе и др., однакоранее не были описаны эффективные численные ,tпгоритмы решения таких задачдля y:paвlleниll общего вида в произвольной области. Поэтому темарассматриваемойдиссертационнойработы9а такжерезультаты9полученныевходе ее выполнеЕиlI, ЕредставлlIются весьма актуrLqьными.содержание работы.

fiиссертационна.я работа состоит из введения,четырех глав) заклiочения) LDex приложений и списка использованнойлитературы (103 позиции). Общий объем диссертации-164 страницы.Вовведении обосновывается акт,чrrльностъ исследования, приведендостаточно полный обзор современных научных результатов в области теорииполигармоничеOклх функций, а также ука.заны цель и задачи работы.В главе 1 рассматриваютýя математические модели некоторыхизччаемых в механике сплошных сFед. Предложена классификация-,- J-'-задач для шолигармонического уравнениrI,явлений,к]]аевъiхк которым приводят рассмотренныемодели, по ан€шогии с краевыми задачами для гармонического уравнения.Вглаве2вводятся основные понятиrI теории полигармоническихфункций, дается постановка основной краевой задачи. С применением методовтеории функций комплексного переменного получено анi}литическое решениеосновной краевой зада.чи для односвязной и двусв_язной гtлоск_ой области в видестепенного ряда, для нахождениlI коэффициентов которого предложенприближеннътй метол колJIокатJии.

Рассмотрены тестовые примеры,подтверждающие эффективность такого подхода.Глава З посвящена посапоснию числснного ziJiгоритiчrа для решениякраевых задач для полигармонического уравнения в произвольных плоских ипространственЕьгх обла_стях, ГIолигармоническ-ое уравЕ{ениеосесимметоичньrх--г--к системе инте|ральных уравнений относительносводитсядополнительныхIтолигармонических функщий более низких порядков, которая метоломграпичных элементов IIредставлена в виде системы линейных алгебраическихуравнений. Численный мстод иллтострируется тестовыми примерами решениязадач для полигармонических уравнений до четвертого порядка.D --,IBe4 разработанньiй ffлгоритiчi IIриjч{сняется для численногоIJlaL)моделированиlI задач гидрOдинамики и теории упругости.Рассмотренныетестовые шримерlы подгвер_жда_ют эффективностъ его примgнения для реmеЕиl{прикJIадных задач.

Кроме того,р€}зличныхразработанного программного комттлекса,в главе 4 содержитсяа также приведеныописаниерезулътатырешений некоторых акryaльных задач механики сплошных сред.Взаключении сформlrлированы основные резулътаты диссертационнойработы, выносимые на заIциту.Вприложениr{хА иБизложены некоторыевсIIомогательfiые тgоретические сведения. В приложении В гrриведеньi листинг}1прOгр аммразр аботанного про|раммного комплекса.В диссертации Казаковой А.О. полyчены след,чющие рýз]lлътаты:.Реализован новый подход к исследованию явлений, изучаемых в механикесilлошilыхсред: матсматические модели различньiх явлений рассмотрены суниверсаltъной точки зрениr{ как описываемые полигармоническим уравнениемнекоторого порядка, в том числе высшего.о Предложен itлгоритм решениr{ основной краевой задачи дляполигармонического уравнсния в произволъной односвязной и дв,чсвязнойобласти, оснOванный на применении методов комплексного анаIIиза иприближенного метода коллокации.о Разработан эффективный численный метод решения разлшIных краевыхзадач для полигарh,{онического уDавнения в произвольнойt плоскойт kтосесимметричной пространственной области, основанный на интегрilJIънойформуле Гринаи методе граничных элементов (МГЭ).

Изформlrлъi Гринаполучены интегрztльные соотношения для полигармониIIеских функций, в томчисле обладающих осевой си},rметр ией..Разработаны методы математического моделирования некоторых явлений,изучаемых в механике сцлошных ýред, а именно кручения призмати!Iескогостержrul, изrиба тонкой пластинки, движсниr{ цилиндра в вязкой жидкости.оСозлан комплекс программ лля молелироваяия реiIrений разлпчнътх залачмеханики сплошных сред, приводящих ккраевым задачамдляполигармонического уравнсния.

0существлена программная реализацияматематических моделей механики сплошныхразработанного на oc}roBeполигармоническогоМГЭ численЕогосред сиспользованиемметода решениlI краевыхза-да-ч дл_Еур авнениrI.с На основеразработаЕЕых средств математичеýкого моделироваЕияполучены решения некоторых актуtlJIьных задач механики сплошных сред.Показано, что погрешность расчстов при реаJiизации разработанного мстодаобратно пропорциOнаJIъна квадрату числа граничных элементOв, на которыеразбивается граЕица области.Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение втýо!^зии пс)лигармонических функщий иDазвитииг -,--математичеок_огомоделирования, а также моryт быть внедрены в учебный процесс ВУЗа.Практическая ценность данной работьi об,чсловлена Tefui, чтомоryт служить основой для разработкирезультатыа_лгоDитмическогопDикr-Iадныхобесrrечения Dешения ---г------------ -,гза_еепрограммно-пач вDаз.пичных------- -_гобластях механики сплошных сред, в частности в задачах авиационнокосмических приложений.Лостоверностъ гtолученных результатов, научных шоложений и выводов,содержащихся вдиссертационной работе, подтверждается строгостьк)а также практической апробацией предлагаемых itлгоритмов.док€}зателъств9Принятъiе в работе обозначения и определения являются классическими длямеханики сплошных сред и теории полигармонических функций, а такжелогически обоснованы далънейшим изложением ма-териала.

Кроме того, следуетотметить, что полученные автором результаты прошли апробацию намежл}iнародных конференIIиях и на}чных семинадах"Общая оценка диссертационной работы. fiиссертационная работавьiполнена на акryальную тему. Материал диссертационной работы в рамкахпоставленной задачи изложен логично и аргументировано.

Авторефератлиссерта_цииипублик_ации автора достаточно пс}лно отражают содер_жаниедиссертационной работыи соответствуюттребованиr{мВАК. fiиссертацияcBoeм,v направлýнию соответствует оilециальноети 05.1З.18-по<<Математическоемоделирование, численные методы и комIIлексы процрамм), посколъку всеосновные составляюттiрlg паспорта спOциальности в достаточной стеIIениотражены в тексте диссертации. По теме диссертации опубликовано 11 работ вразличных изданиях^ из которых 4 статъи оryбликованъi в издан-йях, входяiцих впереченьВАК.По солержанию диссертации Казаковой А.О.

имеЕо слелJ*юшие1.ВприложениrIх полигармонического уравненияз_амечатiия:к механике: кручениестеtr]жня, плоские залачи тсории .,чпр}iгости., залача об изгибе, течение вязкойжидкости в приближении Стокса и других, отсутствуют ссылки наавторов,которъiý разработали и примеЕяли для этих задач метод граЕичных элементов.2.На стр. 75 в перечислении авторов метода цраничных элементов оценкавклада,ччёныхв этонаправлениенеобъективна_.Некотгlпыеизперечисленныхучёных вообтце не заним€tписьразработкой этого метода, а некоторые, внёсшиезначителъный вкJIад в рtlзвитие этого метода, вообще шроигнOрированы.3.