Отзыв ведущей организации (Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решения)

интерес и с чисто математической точки зрения, так как являетсядостаточно новым и ilерспективным нашравлеЕием математическогомоделироваЕия. Таким образом, тема диссертационного исследованияIIредставJuIется весьма актуаJIьнор1.Для решения краевых задач дJuI полигармонического уравненияавтором предлагаются два ржличных подхода. ГIервый из Еих{аналитическирj) основан на методах коft,IIIлексного анализа с fiоследующимприменением приближенного метода коллокации, что дает возможностьрассмотреть плоские односвязные и двусвязные области.

Второй flодходоснован на применении численного метода |раничных элементов, ицозволlIет решать различные краевые задачи длlI полигармоническогоуравнения в произвольной плоской и осесимметричной пространgтвеннойобласти. Именно этот метод используется в диссертации цб численногомоделированиjl раOсматриваемых автором задач механики сплошных сред.Представленная диссертационная работа изложена на 164 страницах исостоит из введания, четырgх глав, закJIючения, црех приложений и сilискаис подьзованной лшrераryры { 1 03 наиIчIеýованпч).Во введении обоснована актуальность темы исследования, описанастеIIень разработанности проблемы, сформулированы цель и задачи работы,кратко изложено содержание диссертации, дано обоснование наl"rнойновизны поiryченных резулътатов и их соответствия паспорту наl^iнойоfiец}Iалъности.В первой главе реферативно изложен вывод фу"даментальных}равнений теории напряженно-деформированного состояния сплошнойсреды, дан обзор математических моделей теории угtругости игидромеханики.

Прелложена классификадия ч]аевых задач дляfiолигар]чl0н}lческого }?авнения, к которыеr ilриводят рассмотре}iныемоделио по ан€шIогии с краевыми задачами для гармонического уравнения. Взаключение первой главы сделан вывод о том' что для }Iсследованиярассмотренных математических моделей может быть применен один и тотже метод решеЕия краевых задач для цOлигармонического уравнеIIия.Вторая гдава цосвяц{ена ацалитическому решению основной краевойзадачи дJuI полигармонической фу"кции в пдоской области.

В начапе главыввOдятся trсновные лOнятиll теории лолигармонических функций и данапостановка основной щраевой задачи. Лалее предлагается способ решенияэтой задачи в плоской области с црименен}Iем методов комплексногоанализа. Пр* этом испоýьзовано ilол}л{енное И.Н. Векуа представлениевещественной п-гармонической функции через n аналитических функций.После конформного отображения обдасти задачи на единичный круг иликруговое кольцо и переход8 к новым граничным условиям, каждая из этихф,.rнкций Ерелставляется в виде степенЕого ряда, для нахождениякоэффициеIrтов которого автор ,1сЕользуgт }{етод коллокациrl. Такойподход позволrtет рассмотреть односвязные и двусвязные области.

В концевторой главы рассмотрены тестовые пр}lмеры для полигармонического)iравнения до третьего порядка в областях, ограниченных окружностьюпроизволъного ради}iса, лемнискатой Буrа и двуш конфокальЕ{ымиэлл}Iпсами, подтверждаюIц}Iе эффективность такого подхода.В третьей главе основное внимание уделено построению численногоалгоритма для решения краевых задач для полигармонического уравнения вIIроизвольных плоских и осесимметричных пространственных областях. ВЕача_ле г:r]8вы рассма]Триваетс_я интеqральЕа_я форrоryоа Грина, на основаниикоторойt, fiол}rгармонрiческое ypaвrreFt}te свод}rтся к системе интегралъ}tъil(}равнений относительно дополнительных полигармонических функцийболее низких порядков.

ff,алее с помощью метода |раничных элементов этасистема интеграJIьных уравнений представлена в виде системы линейныха,лгебраических уравЕений. Шоказано, что осЕовная краева_Е задаяа д.rаяполигармонического у,равнен}lя эквивалентна сIчlешаннойi краевой задачедля системы вспомогателъных функций, и, следователъно, может бытъприменен один и тот же €tлгоритм. В конце главы сделана попыткаобоснования предложенного метода и приведены некоторые оценкипогрешЕости полу{енного с его помощью решения. В заключение второйглавы чlIслеЕный },{етод }1ллюстрируатая тестовьiми примерами решOниязадач для шолигармонических уравнений до четвертого порядка, результатыкоторых позвоJuIют автору сделать вывод об эффективности егоприменения дJUI решения р€вличных краевых задач дляподигармонического уравнения.Четвертая глава цосвящена шрименению ошиса-нt{ого в третъей главеметода для численного моделированиrI задач гидродинамики и теориив первой главе.

Рассмотренные -Iестовыеупрутости, рассмоц)енныхпримеры подтверждают эффективность применения такого подхода длярешениlt различных прикладных задач. Также в четвертой главе содержитсяописание комшлекса програIvIм, реа-цизующих предложенный €LцгоррIт},t, иприведены результаты решений некоторых актуilJIьных задач механикиспдошных сред.основные резупьтатывзакпючениисформулированыдиссертационной работы. выносимые на заIциry.

В прIIлоiltениях А и Бсвgдения. Внекоторыевспоý{огательные теоретическиеизложеныприложении В приведены листинги некоторых программ комплекса.В рамках проведенных исследований автором пол}п{ены след).ющиенау{ные результаты, показывающие новизну диссертационной работы:,r исследованы вогrрс}сы математического моделироваЕия в мехаЕике1)сilлошных сред с использованием обlцей теории ilолигармоническихфункций, что позволяет применитъ один и тот же подход для решенияразличных задач гидродинамики и теории уfiр)rгосмiпредложен способ решения основной краевой задачи дляпоJ-Iигаомонического-,r ,,^ - -^,уравнени-я^1 осЕованный на методах конформногоотображ ения и коллокации, ilозволяющийl рассмотреть IIроизвольныеодносвязные и двусвязные гrлоски е области;3) разработан эффективный численный аJIгоритм решения краевыхзадач для полигармонического уравнения в произвольной плоской и2)осесимметричной тIространотвgннс}й области на основе интегралъныхсоотношений Грина и метода |раничных эле}Iентов, обоснованакорректность предлагаемого метода;4) предJIожен метод численного моделирования IФ)цения стержнеЙ'изгиба тонких пластинок, плосконапряженного состояния и движения тел ввязкой жидкости с использованием методов р9шения попига-рмоническ:ихуравнений, благодаря чему можно расширитъ класс рассматриваемыхобластеiа и граничных условий для задач, связаннъгх с этими явлениями;5) создан комплекс программ лIя моделирования решениЙ различныхзадач механики сIIлошных сред, приводящих к краевым задачам дпяЕолигармоЕиlIеского уравЕе ния, благода-ря чему осуществлеЕа программЕаяреалрrзация математическрlх fulоделерf гидромеханики и теарии уfiр}тости сиспользованием разработанного на основе МГЭ численного методарешениr{ IФаевых задач дJUI полигармонического Yравнения;6) проведено численное моделирование некоторых актуЕtльных задачп,{еханики сЕ_цошЕых сFел с ломощью преддожеЕЕого метода_ (в частности,решена задача об определенр1}l наrrрfiкеýного оостоян?lя трубыпроизвольного сеч9ния, погруженной в весомую жидкость).Практическая значимость работы состоит в том, что рассмотренные вней математические модели механики сшлошных сред имеют множествоприложсний в таких значимых очlаслях как авиационная и ракетноконструl4рованиекораблестроеЕие,fiромышпеЕýость,космическаяглryбоководных объектов.

Полуrенные в диссертации результаты имеюттеоретическое значение в теории полигармонических функций иматематического моделирования, а также могуI быть внедрены вобразователъный процесс при чтении спецкJaрсов для студентов иii}lpaнToB унрrверситетов .Щостоверность результатов обосновывается корректностью постановокзадач и rrрименяемых методов решения.работе приведено большоеэффективностьколичество тестовых примеров, демонстрирующихпрsлIагаемых €tдгоритмов.Результаты диссертационной работы, цо-ц)лIецныс авторOм дично, вдостаточной степени отражены в 11 публикациях (4 из них огryбликованы внаучных изданиях, рекOмgндOванных ВАК РФ). Основные резуJlътатыдиссертации докJIадыв€IJIись и обсужлапись на на}цных семинарах и 5автором работахhfеждyнародЕIых конференциях.

В опубликованныхотражены осýовные ilоложения диссертации, в ь{атериалах совместныхпубликаций в рецензируемых на)л{ных журналах личный вкiIад автораявJUl ется суIцественным.оформленаЩиссертационная работа квалифицированнообразования иМинистерствомqпебованиям,соответствуетустановленнымтra}lк}I PoccprlicKoli Федераци}1. Автореферат ilолностью отрах(аетсодержание диссертации. Изложенные в работе материалы обладаютвнутрекt{им единством и непротиворечивостью. Щиссертация ilо своемУнаправлению соответствует специ€lJIьности 05.13.18 - <<МатематическоеасВмоделирование, численные методы и комплексы программ)>, посколькуосновные составляющие цасшорта специальности в достаточной степениотражены в тексте диссертации.Следует отметить следующие недостатки представленной работы:1) Большинство рассмотренных автором математических моделеймеханики сшлошЕых сред (кроме задачи :изrцба тонкой пластинки)оilисываютсярешениягармоническимкоторых9втомчислеи бигармоническиjчiчисленные,уравнением,хорошодостаточнометодыизу{ены.Вдиссертации лишь yпоминается о возможности применения предлагаемыхметодов к решению задач теории оболочек, которые приводят кПОЛИГаРNiОНИЧеСКИfuI }PatsHeнИllivi iiОРЯДКа tsЬiШе ВТОРОГО.2) Хотя предложенный в третьей главе численный метод описан дляплоских и осесимметричных пространственных задач, в качествешриложений в механике сплошных сред рассмотрены только плоскиезадачи.З) В диссертации и автореферате много раз встречается термин((точность>, но не дано его определениrI.4)На рис.

4 автореферата (и Еа,,/соответствующеIvгу elvlyрис. З.7диссертации) не указано, что результаты даньi в процентах, а вавтореферате этого нет и в тексте. Полl^rается:, что, относительнаяшо|решностъ достигает 2а. Непонятн0 также,, как автор практическиоценивает погрешность при численном решении задач, не имеющиханаjiитического решеiiия. Установление качественной зависимостипогрешности от числа элементов IlЛР позволяет применить, например,правило Рунге. Правда:, эт:/ зависимостъ более наглядно можно было быпроиллюстрировать в логарифьяическом масшт аб е .ОтмечеЕные недостатки не снижают значимостиIIол)/ченныхКазаковой А.О. результатов и моryт расс&Iатриваться как рекомендации длягIроведения даJIьнейших исследований по данной тематике.заключение:Щиссертация А.О.

Казаковой содержит новые научные рез/чльтаты)имеющие теоретическое и практЕIческое значение, и является законченнойнаучно-квЕlJIифиrшрованной работой. Она удовлетворяет требованиrtм,прелъявляемым ВАК при Министерстве образования и науки РФ ккандидатским диссертациям, а ее автор, Казакова Анастасия Олеговна,заслухtивает iiрисужден?lя ей уtеной степени каЕдрIдата физriко-математических наукпоспециаilьности8<<Математическоемоделирование, численные методы и комплексы программ)>05. 1З.1Отзыв обсужден и одобрен trа расширенноц4 заседаЕии кафедрыматематики ФГБОУ ВПО кУфимский государственный авиационныйтехнический университеD) (протокол Л9 2 от i8.i i.20i4)..