Диссертация (Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решения)
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решения". PDF-файл из архива "Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»На правах рукописиКазакова Анастасия ОлеговнаМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕВ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕДС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидата физико-математических наукНаучный руководительзаслуженный деятель науки РФ,д.ф.-м.н., профессор Терентьев А.Г.Чебоксары – 2014ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕСПЛОШНЫХ СРЕД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ .............................................................................................................
13§ 1.1. Основные понятия и уравнения теории напряженно-деформированногосостояния сплошной среды .................................................................................... 14§ 1.2. Кручение стержня произвольного сечения ................................................. 17§ 1.3. Плоская задача теории упругости ................................................................ 22§ 1.4. Изгиб тонких пластинок ...............................................................................
27§ 1.5. Движение цилиндра в вязкой жидкости ...................................................... 31§ 1.6. Классификация математических моделей, описываемыхполигармоническим уравнением ........................................................................... 33§ 1.7. Выводы по главе 1......................................................................................... 34ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХКРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.................. 36§ 2.1. Аналитические представления полигармонических функций ...................
36§ 2.2. Аналитическое решение основной краевой задачи в односвязной и вдвусвязной области................................................................................................. 43§ 2.3. Нахождение коэффициентов приближенным методом коллокации.......... 48§ 2.4. Тестовые примеры ........................................................................................
54Пример 2.1. Аналитическое решение основной краевой задачи ...................... 54Пример 2.2. Применение метода коллокации для односвязной области ......... 56Пример 2.3. Применение метода коллокации для двусвязной области ........... 59§ 2.5. Выводы по главе 2......................................................................................... 612ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕММЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ..................................................................
62§ 3.1. Интегральная формула Грина ...................................................................... 63§ 3.2. Интегральные соотношения для полигармонических функций................. 65§ 3.3. Исследование функций, входящих в интегральные соотношения............. 70§ 3.4. Построение численного алгоритма решения краевых задач дляполигармонического уравнения на основе метода граничных элементов .......... 75§ 3.5. Обоснование сходимости, оценки точности и основные преимуществапредложенного метода ........................................................................................... 81§ 3.6. Тестовые примеры ........................................................................................
84Пример 3.1. Осесимметричная задача Дирихле в пространственной области,ограниченной эллипсоидом ................................................................................ 85Пример 3.2. Основная краевая задача в плоской односвязной области ........... 86Пример 3.3. Задача Дирихле в плоской двусвязной области ............................
88Пример 3.4. Задача Неймана в плоской односвязной области ......................... 89Пример 3.5. Задача Дирихле в области, ограниченной астроидой ................... 91§ 3.7. Выводы по главе 3......................................................................................... 92ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХСРЕД С ПРИМЕНЕНИЕМ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА........................... 93§ 4.1. Применение МГЭ к решению задачи кручения стержня............................
94Пример 4.1. Кручение стержня эллиптического сечения.................................. 97§ 4.2. Численное решение плоской задачи теории упругости.............................. 98Пример 4.2. Решение задачи теории упругости для односвязной области .... 101Пример 4.3. Задача Ламе................................................................................... 103Пример 4.4. Эксцентрическая труба под равномерным давлением ............... 105Пример 4.5. Плоская задача теории упругости в трехсвязной области .........
107§ 4.3. Численное моделирование изгиба тонких пластинок.............................. 109Пример 4.6. Изгиб эллиптической пластинки с заделанными краями ........... 1123Пример 4.7. Задача II для круглой пластинки.................................................. 113Пример 4.8. Круглая пластинка под линейно изменяющейся нагрузкой.......
114§ 4.4. Движение цилиндра в вязкой жидкости .................................................... 115Пример 4.9. Поступательное движение круглого цилиндра........................... 116§ 4.5. Описание комплекса программ .................................................................. 117§ 4.6. Численное моделирование некоторых актуальных задач......................... 1224.6.1. Эллиптическая труба под равномерным давлением..............................
1224.6.2. Изгиб квадратной пластинки с заделанными краями............................ 1234.6.3. Движение эллиптического цилиндра в вязкой жидкости...................... 1254.6.4. Задача о трубе, погруженной в весомую жидкость ............................... 127§ 4.7. Выводы по главе 4....................................................................................... 130ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................ 131ПРИЛОЖЕНИЕ А. Интеграл Стилтьеса и условия его существования ............... 133ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Геометрия биполярных координат .........................................
135ПРИЛОЖЕНИЕ В. Листинги программ комплекса............................................... 140СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................................ 1554ВВЕДЕНИЕАктуальность исследования. Математические модели многих задач механики сплошных сред приводят к гармонической и бигармонической проблеме.Однако удобные аналитические выражения могут быть получены лишь для некоторых областей частного вида. В случае же областей сложной формы незаменимым является применение численных методов. Класс полигармонических уравнений порядка выше второго также весьма важен с точки зрения приложений, таккак многие задачи математической физики (например, теория упругих пластиноки оболочек) приводят к уравнениям этого класса.
К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, которым можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции. Этоимеет огромное значение в авиационно-космической промышленности, а такжепри конструировании высотных зданий, автомобилей и подводных объектов впроцессе освоения морских глубин, что представляется весьма важным для решения энергетических проблем в недалеком будущем. Поэтому актуальным остаетсявопрос о разработке эффективных средств компьютерного моделирования и численных методов решения различных краевых задач для полигармоническогоуравнения в произвольной области.Настоящая работа посвящена вопросам математического описания явлений,изучаемых в гидромеханике и теории упругости и сводящихся к решению краевых задач для полигармонического уравнения. Особое внимание уделено плоскими осесимметричным пространственным областям со сложными границами, когданахождение аналитического решения затруднительно или даже невозможно.
Длярешения таких задач предлагается два различных численных метода: один из нихоснован на применении конформного отображения и метода коллокации и позволяет рассматривать плоские односвязные и двусвязные области; второй метод является более универсальным и применяется для решения различных краевых задач для полигармонического уравнения в произвольной плоской и осесимметричной пространственной области.5Степень разработанности проблемы. Классы гармонических и бигармонических функций в разное время изучались такими выдающимися математикамикак Г.В. Колосов [43], Ф.Д, Гахов [20], Н.И.
