Автореферат (Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и численные методы их решения)

удк519.635J/цНо правм wкопuсuказакова Анастасия олеговнаМЛТЕМАТШIIЕСКОЕ М ОДШJIИРОВАНИЕВ ЗАДЛIIАХМЕХАНИКШ СПЛОШНЫХ СРЕДс использовлни|тм полигАрмоншчЕскш( урАвнЕшfiйи чшслЕнныш мЕтоды шк рЕIIIп,нIIя- Матемапrческоемоделирование,численные методы и комIIJIексы цроIрамм05.13. 1 8АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискt}ние уrеной степени каIцидатафизrко-математических наукЧебоксаръl- 20t4Работа выполнена на кафедре теоретической механики им. С.Ф.

СайкинаФГБОУ ВПО «Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова»Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессор,заслуженный деятель науки РФТерентьев Алексей ГригорьевичОфициальные оппоненты:Петров Александр Георгиевич,доктор физико-математических наук, профессор,ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институтпроблем механики им.

А.Ю. ИшлинскогоРоссийской академии наук»Сильвестров Василий Васильевич,доктор физико-математических наук, профессор,профессор кафедры высшей математикиФГБОУ ВПО «Российский государственныйуниверситет нефти и газа им. И.М. Губкина»Ведущая организация:ФГБОУ ВПО «Уфимский государственныйавиационный технический университет»Защита диссертации состоится «19» декабря 2014 года в 10 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.125.04 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу:125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.

4.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ, а также скачать текструкописи по ссылке: http://goo.gl/yBfVm8.Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью организации, просим направлять по указанному адресу.Автореферат разослан «___» ноября 2014 г.Ученый секретарьДиссертационного совета Д 212.125.04кандидат физико-математических наук________________ Н.С. Северина2I. Общая характеристика работыАктуальность исследования. Математические модели многих задач механики сплошных сред приводят к гармонической и бигармонической проблеме.Однако удобные аналитические выражения могут быть получены лишь для некоторых областей частного вида.

В случае же областей сложной формы незаменимым является применение численных методов. Численные алгоритмы решениязадач гидродинамики, приводящих к гармоническим уравнениям, основанные наметодах граничных элементов (МГЭ), были предложены в 80-е гг. XX века в работах П. Бенерджи и Р. Баттерфилд (Методы граничных элементов в прикладныхнауках. – М.: Мир, 1984), А.Г. Терентьева и К.Е. Афанасьева (Численные методыв гидродинамике. – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1987), L.Eliott и др.Классы гармонических и бигармонических функций в разное время изучались такими выдающимися математиками как Г.В. Колосов, Ф.Д, Гахов, Н.И.Мусхелишвили и другими учеными. Благодаря их основополагающим работам вматематической теории упругости, классическая теория краевых задач для аналитических функций стала хорошо систематизированным разделом математического моделирования, и в изучение были введены полианалитические функции.Класс полигармонических уравнений порядка выше второго также весьмаважен с точки зрения приложений, так как многие задачи математической физики(например, теория упругих пластинок и оболочек) приводят к уравнениям этогокласса.

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, которым можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции. Это имеет огромное значение в авиационнокосмической промышленности, при конструировании высотных зданий, автомобилей и подводных объектов при освоении морских глубин, что представляетсявесьма важным для решения энергетических проблем в недалеком будущем.Впервые устойчивый интерес к полигармоническим уравнениям проявилсяв работах И.Н.

Векуа, где эллиптические уравнения высших порядков изучены сиспользованием аппарата теории аналитических функций. В дальнейшем изучение краевых задач для полианалитических функций велось в работах В.С. Рогожина, М.П. Ганина, А.В. Бицадзе, В.И. Жегалова, К.М. Расулова, H. Begehr и других известных математиков. За последние десятилетия был получен ряд значимыхрезультатов в области теории полигармонических уравнений. В частности: изучены некоторые свойства полигармонических функций (В.П. Михайлов, А.В.

Бицадзе и др.); рассмотрены краевые задачи для полигармонического уравнения вразличных формулировках (Болотин И.Б. и др.); получены условия разрешимостикраевых задач для некоторых областей частного вида (Б.Е. Кангужин, Т.Ш. Кальменов, Б.Д. Кошанов и др.); доказаны теоремы существования и единственности(Б.Х.

Турметов, М.Т. Ильясова и др.); решены некоторые краевые задачи в круге,полосе и некоторых других областях (В.И. Жегалов, Б.Е. Карачик и др.).3Насколько нам известно, до сих пор не разработаны эффективные численные методы для решения краевых задач для полигармонических уравнений высших порядков в произвольной области. Поэтому актуальным остается вопрос оразработке эффективных средств компьютерного моделирования и численных методов решения различных краевых задач для полигармонического уравнения впроизвольной области.Настоящая работа посвящена вопросам математического описания явлений,изучаемых в гидромеханике и теории упругости и сводящихся к решению краевых задач для полигармонического уравнения.

Особое внимание уделено областям со сложными границами, когда нахождение аналитического решения затруднительно или даже невозможно. Для решения таких задач предлагается два различных способа: один из них основан на применении конформного отображенияи метода коллокации и позволяет рассматривать плоские односвязные и двусвязные области; второй метод является более универсальным и применяется для решения различных краевых задач для полигармонического уравнения в произвольной плоской и осесимметричной пространственной области.Целью настоящей работы является создание методов математическогомоделирования явлений, изучаемых в механике сплошных сред и приводящих ккраевым задачам для полигармонического уравнения в произвольной области.Для достижения указанной цели были поставлены и в ходе диссертационного исследования решены следующие задачи:- проанализировать подходы к моделированию явлений, изучаемых в гидродинамике и теории упругости;- выявить, какие задачи механики сплошных сред, приводящие к полигармоническим уравнениям, являются актуальными и нуждаются в дополнительномисследовании;- разработать и реализовать эффективные алгоритмы численного решениякраевых задач для полигармонического уравнения в произвольной плоской и осесимметричной пространственной области;- провести тестовые расчеты, дать оценки точности разработанных алгоритмов и сравнить их с другими численными методами применительно к рассматриваемому классу задач;- разработать на основе предложенных алгоритмов и реализовать эффективные методы численного моделирования в гидродинамике и теории упругости;- провести вычислительный эксперимент по моделированию исследуемыхявлений и сравнить полученные результаты с известными точными решениямидля некоторых областей;- получить решения некоторых актуальных задач механики сплошных сред,используя математическое моделирование и разработанные методы численногорешения полигармонических уравнений.4Научная новизна результатов диссертационного исследования:- исследованы вопросы математического моделирования в механике сплошных сред с использованием общей теории полигармонических функций, что позволяет применить один и тот же подход для решения различных задач гидродинамики и теории упругости;- предложено решение основной краевой задачи для полигармоническогоуравнения, основанное на методах конформного отображения и коллокации, чтопозволяет рассмотреть произвольные односвязные и двусвязные плоские области;- разработан эффективный численный алгоритм решения краевых задач дляполигармонического уравнения в произвольной плоской и осесимметричной пространственной области на основе интегральных соотношений Грина и методаграничных элементов, обоснована корректность предлагаемого метода;- предложен метод численного моделирования кручения стержней, изгибатонких пластинок, плосконапряженного состояния и движения тел в вязкой жидкости с использованием методов решения полигармонических уравнений, благодаря чему можно расширить класс рассматриваемых областей и граничных условий для задач, связанных с этими явлениями;- проведено численное моделирование некоторых актуальных задач с применением разработанного метода (в частности, задачи об определении напряженного состояния трубы произвольного сечения, погруженной в весомую жидкость).Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, обеспечиваются хорошей согласованностью результатов проведенных вычислительных экспериментов с точными аналитическими решениями тестовых примеров, а также тем, что разработанные алгоритмы основаны на хорошо зарекомендовавшей себя на практике применения к другим классамзадач методологии.Практическая ценность результатов диссертационного исследования заключается в том, что рассмотренные в ней математические модели механикисплошных сред имеют множество приложений в таких значимых отраслях какавиационная и ракетно-космическая промышленность, кораблестроение, конструирование глубоководных объектов.

Результаты диссертационного исследованияобладают и теоретической ценностью: они могут представлять значительный интерес для научных коллективов, занимающихся проблемами механики сплошныхсред, исследованием краевых задач в классах полианалитических функций и численными методами их решения. Кроме того, результаты диссертационной работымогут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов университетов, а также при разработке образовательных ресурсов по математическому моделированию, численным методам и механике сплошных сред.5Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В соответствии с формулой специальности 05.13.18.

«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» в рамках диссертационного исследованияприменено математическое моделирование, разработаны численные методы икомплекс программ для решения научных проблем: фундаментальных (в теориикраевых задач для полигармонического уравнения) и прикладных (в области механики сплошных сред).Результаты диссертационного исследования соответствуют следующимпунктам паспорта научной специальности 05.13.18. «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:- п. 2.

«Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей» соответствуют результаты, полученные приисследовании математических моделей механики сплошных сред, а также предложенный метод решения основной краевой задачи для полигармоническогоуравнения в произвольной односвязной и двусвязной плоской области, основанный на методе конформного отображения и приближенном методе коллокации;- п. 3. «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий» соответствуют разработка и обоснование численного метода решения краевых задач дляполигармонического уравнения в произвольной плоской и осесимметричной пространственной области, построение с применением современных компьютерныхпрограмм тестовых примеров, свидетельствующих об эффективности разработанного численного алгоритма;- п.

4. «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в видекомплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента» соответствует реализация предложенного численного алгоритма в виде комплекса программ, позволяющих решить различные проблемыматематического моделирования в механике сплошных сред, а также проведенные вычислительные эксперименты, подтверждающие высокую точность предложенных численных методов.- п.