Отзыв оппонента1 (Масштабозависимые модели стержней и пластин)

Отзывофициального оппонента доктора физико-математических наук,Белова Петра Анатольевичана диссертацию Масловой Екатерины Игоревны«Масштабозависимые модели стержней и пластин»по специальности 01.02.04 – «Механика деформируемого твердого тела»,на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.Диссертация посвящена исследованию проблемы корректностиградиентных теорий, влияния учета адгезионных взаимодействий приформулировке и решении задач механики деформируемого твердого тела,а также оценке вклада когезионных и адгезионных взаимодействий вмасштабные эффекты.Актуальность.

Хорошо известно, что классическая механикасплошной среды не в состоянии объяснить и описать масштабные эффектымеханического поведения микро- и нано- структур. Миниатюризацияэлементов вычислительной техники, управления и радиоэлектроникиприводит к необходимости учитывать масштабные эффекты приэксплуатации таких устройств и прогнозированию времени их безотказнойработы.

Такие оценки возможно дать только с использованиемградиентных теорий. Как известно, градиентные теории (теориикогезионных взаимодействий) дают квадратичные по характерной длинемасштабных эффектов поправки. В то же время учет адгезионныхвзаимодействий дает поправки, линейные по характерной длинемасштабных эффектов. Поэтому теоретический анализ допустимостипренебрежения в тех или иных случаях когезионными или адгезионнымиэффектами является весьма актуальной и нетривиальной задачей.Целью работы является формулировка корректной градиентнойтеории с учетом адгезионной активности поверхности сплошного тела ипостроении на её основе с помощью вариационного формализмакорректной градиентной теории стержней и пластин, в рамках которойвозможно изучение масштабных эффектов.Задачи работы.Обосновать выбор наиболее приемлемой для расчетов стержней ипластин градиентной теории.Сформулировать исчерпывающий перечень необходимых идостаточных критериев корректности этой модели.Разработать собственный математический аппарат расчетахарактеристик нано- и микросистем.Доказать несостоятельность общепринятого подхода к проведениюисследований с консольным закреплением стержня для рассматриваемогомасштаба систем по причине сложности измерения жесткости заделки,которая может сильно повлиять на вклад масштабных параметров врезультаты эксперимента.Предложить альтернативный подход к экспериментльному1определению жесткостей нано- и микросистем.Объем и структура диссертационной работы.

Диссертационнаяработа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка используемойлитературы. Она содержит 143 страницы, из них 10 занимает списокиспользованных источников. Список используемой литературы включает118 наименований. Из них 85 на иностранном языке. Последнееобстоятельство свидетельствует о том, что в работе над диссертациейучтен не узко российский, но и мировой опыт в направлении проводимыхисследований.Во введении обосновывается актуальность и научная новизнадиссертационногоисследования,приводятсявозможныесферыприменения результатов работы; формулируются цель и задачи работыВ главе 1. Осуществлена формулировка и анализ градиентныхтеорий. В частности, приведена вариационная формулировка моделибездефектной среды Миндлина-Тупина.Проведен анализ корректности этой теории, сформулировандополнительный критерий корректности градиентных теорий, показано,что структура тензора модулей Тупина шестого ранга допускаетструктуру, удовлетворяющую всем известным и сформулированному вдиссертации критериям корректности.

Этим критерием являетсясимметрия по первому-второму и четвертом-пятому индексам тензораТупина. При этом тензор Тупина определяется в диссертации всего двумянеклассическими модулями, в то время как «классический» тензор Тупина– пятью. Это достижение серьёзно сокращает объём дорогостоящихтонких экспериментальных работ по определению численных значенийнеклассических констант.В первой главе также приведены примеры корректных инекорректных моделей.В главе 2.

результаты, полученные в первой главе, используются дляпостроения уточненной градиентной теории масштабозависимыхсверхтонких стержней.Построены уточненные уравнения равновесия прикладной теориимасштабозависимых стержней Тимошенко, построенные на корректномварианте теории Тупина. Показано, что общее решение теориимасштабозависимых стержней Тимошенко имеет структуру суммыклассического решения и когезионной поправки к нему. Тем самымнапрямую доказана ошибочность достаточно распространенного мнения,что существуют когезионные поправки в классические жесткостистержней и пластин.Рассмотрен пример, в котором представлено прямое доказательствоошибочности решений, которые указывают на эффект увеличенияжесткости при h  0 для масштабозависимых стержней, если ихрассматривать с использованием нелокальных градиентных теорийупругости.2В главе 3 приводится вариационная постановка классической теорииупругости тел с адгезионно активной поверхностью.

Получены формулы,аналогичные формулам Грина в объёме, которые определяют силовуюмодель адгезионных взаимодействий. Дана трактовка адгезионныхмодулей. Сформулирован аналог уравнения Софи Жермен для пластин садгезионно активными лицевыми поверхностями.Показано, что учет адгезионных свойств поверхностей вносит вэнергию деформирования поправки линейные по характерной длинемасштабных эффектов, в то время как учет когезионных взаимодействий(градиентные эффекты) вносит поправки, квадратичные по характернойдлине масштабных эффектов. Учитывая, что характерная длинамасштабных эффектов – величина малая по сравнению с габаритами тела,наиболее существенный вклад имеют адгезионные эффекты, если они есть.Этот результат даёт основание усомниться во многих результатах рядаранее опубликованных исследований других авторов.В главе 4 приведены решения некоторых, имеющих большоеприкладное значение, тестовых задач.

Рассмотрены экспериментальныеданные других авторов и проведено сравнение этих данных с решениямитестовых задач.В случае шарнирно опертого стержня представлены графикизависимости прогиба и частоты собственных колебаний от масштабныхпараметров. Рассмотрена задача определения частотных характеристик взадаче Лэмба. Установлено, что градиентные поправки в кинетическуюэнергию определяют различные градиентные свойства в продольных ипоперечных акустических волнах.Решенные тестовые задачи дают возможность планироватьпроведение соответствующих экспериментов по идентификациинеклассических параметров для различных материалов.В выводах сформулированы основные результаты диссертационнойработы.Основными результатами являются:- формулировка вариационной градиентной теории упругости,учитывающей масштабные эффекты и анализ условий симметрииградиентных модулей упругости шестого ранга, вывод условийкорректности, как дополнительных необходимых условий симметрии.формулировкавариантовприкладныхградиентныхтеорий,удовлетворяющих условию корректности, критический анализ известныхприкладных градиентных теорий.- вариационная формулировка корректной градиентной теориимасштабозависимых стержней, метод редукции функционала Лагранжапри построении уточненной теории масштабозависимых стержней,ревизиясоотношенийдляэффективнойизгибнойжесткостимасштабозависимых стержней, полученных ранее Yang, Reddy, Ma и др.- анализ континуальной теории адгезии (поверхностных взаимодействий),обобщающей теорию Гуртина-Мурдоха, и вариационная формулировкатеории пластин с адгезионно активными лицевыми поверхностями, вывод3теории масштабозависимых стержней, учитывающих градиентныеэффекты и масштабные эффекты поверхностных взаимодействий.- анализ решений тестовых статических задач уточненной теории тонкихстержней и качественные выводы о поправках, вносимых за счетиспользования корректных градиентных теорий по сравнению снекорректными, а также принципиальный вывод о незначительной степенивлияния градиентных эффектов на эффективную жесткость по сравнениюс масштабными эффектами поверхностных взаимодействий.- формулировка корректной градиентной теории колебаний стержней смодифицированной кинетической энергией.

Анализ зависимостейдинамических жесткостей и собственных частот масштабозависимыхстержней от градиентных эффектов и от масштабных поверхностныхэффектов, прикладные задачи масштабозависимых пластин (задача Лэмба)и оценка степени влияния поверхностных эффектов на результатырешения.- анализ соответствия решений уточненной теории стержнейэкспериментальным данным и идентификация параметров моделей,ответственных за масштабные эффекты.Достоверность диссертации обеспечена применением классическихматематических методов: методов механики сплошных сред, прикладнойтеории упругости: вариационного метода построения моделей, прямыхвариационных методов и методов математической физики.

Кроме того,полученные в диссертации результаты удовлетворительно соответствуюттестовым аналитическим решениям частных задач, известнымэкспериментальным данным. Они не противоречат физическому смыслуявлений, связанных с деформированием сред.Апробация результатов осуществлена при их обсуждении наотечественных и зарубежных конференциях. По теме диссертационнойработы было выпущено 9 публикаций, 3 из которых выходили в журналахи сборниках, рекомендованных ВАК.Научная новизна результатов заключается в следующем: построена уточненная корректная градиентная теория, установлены критерии корректности градиентных теорий. использована модель поверхностных эффектов, являющаясяобобщением модели Гуртина-Мурдоха. установлена структура адгезионных модулей, дается их трактовка. построена градиентная теория упругости тонких стержней и пластин сучетом поверхностных эффектов. проведен анализ влияния дополнительных физических параметров,связанных со свойствами поверхности, на изгибную жесткость и надинамическую изгибную жесткость стержней и пластин.Практическое значение результатов заключается в следующем:Уточненные модели деформирования позволяют более полно идостоверно прогнозировать поведение сверхтонких структур,которыми являются тонкие элементы конструкций, резонаторы,4сенсорные устройства, устройства микроэлектроники и элементыизмерительных систем (иглы атомных микроскопов), биологическиесистемы и др.Полученные в работе результаты позволяют пересмотреть системуэкспериментов и правильнее отнестись к исследованию тонкихструктур.Уточнение динамических свойств сверхтонких систем итонкостенных структур может представлять интерес, например, длязадачтестированиямеханическихсвойств(деградациимеханический свойств) с помощью метода акустической эмиссии.Замечания.1.