Автореферат (Масштабозависимые модели стержней и пластин)

На правах рукописиМаслова Екатерина ИгоревнаМасштабозависимые модели стержней и пластин01.02.04 – Механика деформируемого твердого телаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2016Работа выполнена в федеральном государственном бюджетномобразовательномучреждениивысшегообразования«Московскийавиационный институт (национальный исследовательский университет)»(МАИ).Научныйруководительдоктор технических наук, профессорЛурье Сергей Альбертович.Официальныеоппоненты:Шоркин Владимир Сергеевич, доктор физикоматематических наук, профессор, ведущий научныйсотрудник Федерального государственного бюджетногообразовательного учреждения высшего образования«Орловский государственный университет имени И.С.Тургенева», г. Орел;БеловПетрАнатольевич,докторфизикоматематическихнаук,начальникотделафундаментальныхисследованийНаучноинновационногоцентра«Институтразвитияисследований, разработок и трансферта технологий», г.Москва.Институт проблем машиностроения РАН – филиалфедерального государственного бюджетного научногоучреждения «Федеральный исследовательский центрИнститут прикладной физики Российской академиинаук», г.

Нижний Новгород.ВедущаяорганизацияЗащита состоится 28 декабря 2016 года в 1600 на заседании диссертационногосовета Д212.125.05 при федеральном государственном бюджетномобразовательномучреждениивысшегообразования«Московскийавиационный институт (национальный исследовательский университет)»(МАИ), адрес: 125993, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВО МАИ (НИУ)и на сайте https://mai.ru/events/defence/index.php?ELEMENT_ID=73892.Автореферат разослан «» ноября 2016 года.Ученый секретарьдиссертационного советаФедотенков Г.В.2Общая характеристика работыАктуальностьвозникновениемработы.новыхСразвитиемпрогрессивныхаэрокосмическихтехнологийсистем,физическихисследований, с появлением высокочувствительной аппаратуры и развитиеммикроэлектроники растёт интерес к особенностям деформирования тонкихструктур. Толщина элементов, исследуемых в этих структурах, соразмернахарактеристикам микроструктуры материала.

При этом закономерен вопрос овозможности применения классического подхода к описанию деформациитаких элементов. Исходя из этого, понятна актуальность проблемы учётамасштабных эффектов, c помощью которых учитывается связь физическихсвойств материала с характерными размерами его микроструктуры, иувеличение роли поверхностных процессов по отношению к объёмнымпроцессам.В последнее время исследования тонких структур интенсивно ведутсяво многих передовых странах многими учеными. При этом привлекаютсянеклассические градиентные теории, которые включают дополнительныепараметры размерности длины и вполне подходят для моделированиямасштабных эффектов. Значительные результаты за последние 10 лет вразвитии неклассической теории упругости и ее применении к прикладнымзадачам различных областях механики деформируемых тел и смежнымобластям получили Х.

Альтенбах, Э. Айфантис, П.А. Белов, В.В. Васильев, К.Гао, Р.В. Гольдштейн, Ф. Дел-Исолла, В. А. Еремеев, В.И. Ерофеев, С.А.Лурье, Х. Ма, В.П. Матвеенко, Н.Ф. Морозов, В.Мюллер, Д Редди, Н. Флэк,С. Форест, Д. Хадченсон, И. Н. Шардаков, В.С. Шоркин, Ф Эванс, Ф. Янг идр.Внастоящейдеформированияработетонкихпредлагаютсяструктур,толщинауточненныекоторыхмоделисоизмеримасмасштабными параметрами, а полученные результаты сравниваются с3результатами, установленными ранее другими учеными, и вносятсясущественные поправки в их исследования.Целью работы является:-построениеуточненнойкорректнойградиентнойтеориимасштабозависимых стержней и пластин, позволяющей учесть аномальноеизменение механических свойств при уменьшении толщины системы;-разработкавариационногометодапостроениятеориимасштабозависимых стержней и пластин для нелокальной градиентнойтеории упругости.Научная новизна работы заключается в следующем:- построена уточненная корректная градиентная теория;- установленыкритериикорректностимодельповерхностныхприкладныхнелокальныхэффектов,являющаясятеорий;- использованаобобщением модели Гуртина-Мурдоха;- установлена структура адгезионных модулей, дается их трактовка;- построена градиентная теория упругости тонких стержней и пластин сучетом поверхностных эффектов;- проведен анализ влияния дополнительных физических параметров,связанных со свойствами поверхности, на изгибную жесткость и надинамическую изгибную жесткость стержней и пластин.Практическое значение работы.

Уточненные модели деформированияпозволяют более полно и достоверно прогнозировать поведение сверхтонкихструктур, которыми являются тонкие элементы конструкций, резонаторы,сенсорныеустройства,устройствамикроэлектроникииэлементыизмерительных систем (иглы атомных микроскопов), биологические системыи др. Полученные в работе результаты позволяют пересмотреть системуэкспериментов и правильнее отнестись к исследованию тонких структур.Уточнение динамических свойств сверхтонких систем и тонкостенныхструктур может представлять интерес, например, для задач тестирования4механических свойств (деградации механический свойств) с помощьюметода акустической эмиссии, для повышения точности измерительныхустройств.Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертации,используются в Учреждении Российской Академии Наук ИнститутеПрикладной механики РАН.Достоверность результатов обеспечивается применением классических,хорошо апробированных математических методов, методов механикисплошных сред, прикладной теории упругости: вариационного методапостроения моделей; применения прямых вариационных методов и методовуравненийматематическойфизикиприрешениитестовыхзадач;сопоставлением полученных в диссертации теоретических результатов стестовымианалитическимиэкспериментальнымирешениямиданными;частныхзадач;непротиворечивостьюизвестнымиполученныхрезультатов физическому смыслу явлений, связанных с деформированиемсред.Апробация работы.

Результаты диссертации были представлены на 2-ойВсероссийской научной конференции «Механика наноструктурированныхматериалов и систем», ИПРИМ РАН, 17-19 декабря 2013; Московскоймолодежной научно-практической конференции «Инновации в авиации икосмонавтике», Москва, МАИ, 16-18 апреля 2013; 1-ой международнойконференции «Деформирование и разрушение композиционных материалови конструкций», ИМАШ РАН, Москва, 2014 г.; 5-ой Всероссийской научнойконференции с международным участием «Механика композиционныхматериалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред», посвященная 95летию со дня рождения академика И.Ф. Образцова, ИПРИМ РАН, Москва,2015 г.Личный вклад автора – постановка задачи и разработка прикладныхградиентных теорий (совместно с научным руководителем), разработка5уточненных моделей масштабозависимых структур, проведение вычислений,анализ результатов.Публикации.

Всего по теме диссертации было опубликовано 9 работ, 3из которых выходили в журналах и сборниках, рекомендованных ВАК.Перечень публикаций приведен в конце диссертации.На защиту выносятся:-Формулировкавариационнойградиентнойтеорииупругости,учитывающей масштабные эффекты и анализ условий симметрииградиентных модулей упругости шестого ранга, вывод условийкорректности,какдополнительныхнеобходимыхусловийсимметрии.-Формулировкавариантовприкладныхградиентныхтеорий,удовлетворяющих условию корректности, критический анализизвестных прикладных градиентных теорий.-Вариационная формулировка корректной градиентной теориимасштабозависимыхстержней,методредукциифункционалаЛагранжа при построении уточненной теории масштабозависимыхстержней,ревизиясоотношенийдляэффективнойизгибнойжесткости масштабозависимых стержней, полученных ранее Янгом,Редди, Ma и др.-Анализконтинуальнойвзаимодействий),вариационнаяактивнымитеорииобобщающейформулировкалицевымиадгезиитеориютеории(поверхностныхГуртина-Мурдоха,пластинповерхностями,свыводиадгезионнотеориимасштабозависимых стержней, учитывающих градиентные эффектыи масштабные эффекты поверхностных взаимодействий.-Анализ решений тестовых статических задач уточненной теориитонких стержней и качественные выводы о поправках, вносимых засчет использования корректных градиентных теорий по сравнениюс некорректными, а также принципиальный вывод о незначительной6степени влияния градиентных эффектов на эффективную жесткостьпосравнениюсмасштабнымиэффектамиповерхностныхвзаимодействий.-Формулировка корректной градиентной теории колебаний стержнейс модифицированной кинетической энергией.

Анализ зависимостейдинамическихжесткостейисобственныхчастотмасштабозависимых стержней от градиентных эффектов и отмасштабныхповерхностныхэффектов,прикладныезадачимасштабозависимых пластин (задача Лэмба) и оценка степенивлияния поверхностных эффектов на результаты решения.-Анализсоответствиярешенийуточненнойтеориистержнейэкспериментальным данным и идентификация параметров моделей,ответственных за масштабные эффекты.Краткое содержание работыВо введении обосновывается актуальность и научная новизнадиссертационного исследования, приводятся возможные сферы применениярезультатов работы, формулируются цель и задачи работы.В первой главе приводится алгоритм построения математическихмоделей сред на основе «кинематического» вариационного принципа.Показано, что для описания модели среды достаточно записать выражениедля потенциальной энергии. Приведены примеры построения моделей сред сполями дефектов и градиентных моделей теории упругости.

Для градиентнойтеории упругости (модели Миндлина-Тупина), сформулирован функционалЛагранжа:L  A   U V dV ,U V  [Cijmn Ri , j Rm , n  Cijkmnl Ri , jk Rm , nl ] / 2(1)Получены определяющие соотношения для напряжений и моментов:7 ij U V Cijmn Rm , n ,Ri , jЗаписаноijk U V Cijkmnl Rm , nlRi , jkвариационноеЛагранжиана),полностью(2)уравнение(условияопределяющеестационарностиматематическуюпостановкуобобщенной теории упругости для градиентной теории упругости: L   A   [ ij Ri , j   ijk  Ri , jk ]dV   ( ij , j  ijk , jk  Pi V ) Ri dV   {[ Pi F  ( ij   ijk ,k ) n j  ( ijk  pj* nk ) , p ] Ri  ijk n j nk  Ri }dF  ijk v j nk  Ri ds  0В записанных соотношениях A   PiV Ri dV   Pi F Ri dF - работа внешнихобъёмныхPiVи поверхностныхсил на перемещениях Ri ;Pi FCijmn , Cijkmnl -тензоры модулей четвертого и шестого рангов,  pj* - «плоский» тензорКронеккера,vj- орт, касательный к контуру и лежащий в касательнойплоскости к поверхности.