Автореферат (Исследование орбитальной устойчивости периодических движений в задачах классической механики и динамики космических аппаратов)

На правах рукописиСавин Александр АлександровичИССЛЕДОВАНИЕ ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИИЙ В ЗАДАЧАХКЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИИ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВСпециальность 01.02.01 Теоретическая механикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2013Работа выполнена на кафедре «Теоретическая механика» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».Научный руководитель:доктор физико-математических наук, доцент, заведующийкафедрой «Теоретическая механика» Московского авиационногоинститута (национального исследовательского университета)БАРДИН Борис СабировичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, профессор, заведующийкафедрой «Теоретическая механика» Российского университетадружбы народовМУХАРЛЯМОВ Роберт Гарабшевичкандидат физико-математических наук, доцент кафедрытеоретическоймеханикиимехатроникимеханикоматематического факультета Московского ГосударственногоУниверситета имени М.В.

ЛомоносоваКУЛЕШОВ Александр СергеевичВедущая организация:Московский физико-технический институт (государственныйуниверситет)Защита состоится 26 декабря 2013 г. в 12 часов 00 минут на заседаниидиссертационного совета Д 212.125.14 при Московском авиационном институте(национальном исследовательском университете), расположенном по адресу:125993, Москва А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4.С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотекеФГБОУ ВПО Московского авиационного института (национальногоисследовательского университета).Автореферат разослан 25 ноября 2013 г.Ученый секретарь диссертационного совета,к.ф.-м.н., доцентГидаспов В.

Ю.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫДанная диссертационная работа посвящена исследованию орбитальнойустойчивости маятниковых периодических движений твердого тела в двухклассических задачах механики: в задаче о движении тяжелого твердого телас одной неподвижной точкой и в задаче о движении спутника (моделируемоготвердым телом) относительно центра масс на круговой орбите.Актуальность темы.В классической и небесной механике исследование устойчивостипериодических движений часто сводится к анализу устойчивости положенияравновесия периодической по времени гамильтоновой системы. В задачеоб устойчивости гамильтоновой системы, как правило, приходится иметьдело с, так называемыми, критическими случаями, когда для решениявопроса об устойчивости не достаточно исследования линейной системы.Нелинейный анализ является особенно трудным и необходимым при наличиив системе резонансов.

По этой причине для решения новых задач обустойчивости движения в классической и небесной механике нередко требуетсяприменение нестандартных идей, учитывающих конкретную спецификузадачи, зависимость ее от параметров и возможные особенности уравненийвозмущенного движения.Для строгого решения задачи об устойчивости гамильтоновой системыприходится привлекать целый арсенал методов локального анализа, КАМтеории и общей теории устойчивости. Весьма эффективным, универсальными хорошо зарекомендовавшим себя при решении конкретных задачустойчивости движения в классической и небесной механике является подход,разработанный а работах Маркеева А.П. Его основная идея состоит в том,что при нелинейном анализе устойчивости неавтономной, периодическойпо времени гамильтоновой системы следует построить симплектическоеотображение, генерируемое системой уравнений возмущенного движения.Задача об устойчивости периодического движения эквивалентна задаче обустойчивости неподвижной точки этого отображения.

На основании методовКАМ теории были получены алгебраические критерии, позволяющие делатьстрогие выводы об устойчивости неподвижной точки симплектическогоотображения, а следовательно, и рассматриваемого невозмущенногодвижения.Исследованию устойчивости маятниковых периодических движенийтвердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжестипосвящено много работ. Несмотря на это, данная задача еще не получила3своего полного решения. Это связано как с наличием большого числапараметров (в общем случае их четыре), так и с наличием особых случаев,когда для получения строгого решения задачи требуется проводить сложныйнелинейный анализ с учетом членов достаточно высокой степени в разложенииГамильтониана возмущенного движения в окрестности невозмущеннойорбиты.

В этой связи интерес представляет исследование отдельныхчастных случаев данной задачи. Наиболее полно исследованными являютсяинтегрируемые случаи.В работах Иртегова В.Д. и Брюма А.З. для случая Ковалевской на основевторого метода Ляпунова было дано сторогое решение задачи об орбитальнойустойчивости маятниковых колебаний.

Болсиновым А.В., Борисовым А.В. иМамаевым И.С. для решения данной задачи применялись топологическиеметоды, а в работах Маркеева А.П. исчерпывающе исследование указаннойзадачи было выполнено на основе метода нормальных форм и теории КАМ.Другим полностью исследованным случаем задачи об орбитальнойустойчивости маятниковых движений твердого тела является случайГорячева-Чаплыгина.

На основе метода нормальных форм и теории КАММаркеевым А.П. было дано полное решение задачи об орбитальнойустойчивости маятниковых периодических движений относительно осидинамической симметрии. Маркеевым А.П. также исследовалась линейнаязадача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движенийотносительно экваториальной оси инерции и было установлено, что вэтом случае имеет место тождественный резонанс, а применение методанормальных форм не позволяет провести нелинейных анализ устойчивости.Бардиным Б.С. было показано, что в указанном случае имеет место, такназываемая трансцендентная ситуация, когда задача об устойчивости не можетбыть решена на основании анализа членов любого конечного порядка вразложении гамильтониана возмущенного движения. На основании теоремыЧетаева была доказана орбитальная неустойчивость движения в этом случае.Аналогичные результаты были получены Болсиновым А.В., Борисовым А.В.и Мамаевым И.С.

на основе топологических методов и Карапепяном А.В. наосновании анализа свойств инвариантных множеств.Исследование орбитальной устойчивости проводилось также и внеинтегрируемых случаях. Алехин А.К. на основании, упомянутой вышеметодики Маркеева А.П. исследовал орбитальную устойчивость маятниковыхдвижений динамически симметричного твердого тела, та же методикаприменялась Бардиным Б.С. для случая Бобылева-Стеклова.

Ряд случаев4линейной задачи об орбитальной устойчивости маятниковых периодическихдвижений тяжелого твердого тела были рассмотрены Яхьей Х.М.Исследование орбитальной устойчивости плоских движений твердого телапредставляет интерес не только как задача классической механики, но можетиметь также важное прикладное значение для космической динамики. Дело втом, что уравнения движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкойс точностью до обозначений совпадают с уравнениями движения спутника,движущегося относительно центра масс под влиянием магнитных моментов,в предположении, что моменты прочих сил (в том числе и гравитационных)пренебрежимо малы.

Такая ситуация возникает, например, в случае, когдаспутник представляет собой сферически симметричное твердое тело, а на егоборту установлены сильные магниты.Маятниковые движения возникают также в задаче о движении спутникаотносительно центра масс на круговой орбите.

Такие движения представляютсобой колебания или вращения одной из главных осей инерции спутникав плоскости орбиты. Они являются неустойчивыми по отношению ккоординатам и скоростям, поэтому весьма актуальной является задачаоб их орбитальной устойчивости. Эта задача также привлекает большоевнимание исследователей, однако ее полное и строгое решение в настоящеевремя еще не получено. В линейной постановке она решалась Кейном Т.,Меировичем Л., Холостовой О.В. При больших значений периода колебанийзадачу об орбитальной устойчивости исследовали Акуленко Л.Д., НестеровС.В., Шматков А.М., а также Нейштадт А.И. и Сидоренко В.В.

Былизучен асимптотический характер движения при приближении к сепаратрисе,разделяющей область колебаний и вращений, установлено, что в этомслучае имеет место чередование счетного числа областей устойчивости инеустойчивости.Нелинейная задача об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний ивращений для спутников с различной геометрией масс исследовалась в работахМаркеева А.П., Сокольского А.Г., Бардина Б.С., Чекина А.М. Наиболееполные результаты были получены для динамически симметричного спутникаи спутника, обладающего геометрией масс пластинки.Цель работы.Целью диссертационной работы является строгое исследование орбитальнойустойчивости маятниковых периодических движений в задаче о движениитяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой и в задаче о динамическисимметричном спутнике, движущемся относительно центра масс на круговой5орбите под влиянием сил гравитационного и магнитного взаимодействий.Научная новизна.Дано строгое и полное решение задачи об орбитальной устойчивостиследующих периодических движений твердого тела:• маятниковые колебания и вращения динамически симметричноготяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, центр масскоторого расположен в экваториальной плоскости эллипсоида инерции,относительно главной экваториальной оси инерции.• маятниковые колебания и вращения тяжелого твердого тела с однойнеподвижной точкой, главные моменты инерции которого связаны темже соотношением, что и в случае Ковалевской, а центр масс занимаетпроизвольное положение.• маятниковые колебания и вращения тяжелого твердого тела с однойнеподвижной точкой относительно средней или наименьшей оси инерциив случае Бобылева-СтекловаРешена линейная задача об орбитальной устойчивости маятниковыхколебаний и вращений динамически симметричного твердого тела (спутника),движущегося относительно центра масс на круговой орбите под влиянием силгравитационного и магнитного взаимодействия.Положения и результаты, выносимые на защиту.Выполнен строгий нелинейный анализ задачи об орбитальной устойчивостимаятниковых периодических движений твердого тела с неподвижной точкой воднородном поле силы тяжести в следующих случаях:• тело является динамически симметричным, его центр масс расположенв экваториальной плоскости эллипсоида инерции, а невозмущенноедвижение переставляет собой колебания или вращения относительноглавной экваториальной оси инерции.• моменты инерции тела удовлетворяют, тому же соотношению, что и вслучае Ковалевской, центр масс занимает произвольное положение в теле,невозмущенное движение переставляет собой колебания или вращенияотносительно главной экваториальной оси инерции.• геометрия масс тела соответствует случаю Бобылева - Стеклова, аневозмущенное движение переставляет собой колебания или вращенияотносительно средней или наименьшей оси инерции.6Выполнено полное исследование данной задачи, в области допустимыхзначений параметров построены диаграммы устойчивости.