Автореферат (Исследование вращений небесных тел под действием притяжения Солнца и Юпитера), страница 2

2 - 6 февраля 2015 г. Санкт-Петербург, Россия.· Научный семинар «Динамические системы и механика» Московского авиационногоинститута (национального исследовательского университета).· Семинарпонебесной механике ГАИШприМГУ им.М.В.Ломоносова(координационный совет по небесной механике ГАИШ), 15 сентября 2015 г.· VII Всероссийское совещание-семинар по теоретической механике, робототехники,мехатроники, 26-30 сентября 2016 г., г. Махачкала5ПубликацииРезультаты диссертации отражены в 6 научных публикациях, 3 из которыхопубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Список приведен в конце автореферата.В рамках научных конференций результаты докладов опубликованы в виде тезисовЛичный вклад автораСодержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражаютвклад автора в опубликованные работы.

Подготовка к публикации полученных авторомрезультатов проводилась совместно с научным руководителем. Основные результатынастоящей диссертации и положения, выносимые на защиту, получены авторомсамостоятельно.Объем и структура работыДиссертация изложена на 99 страницах и состоит из введения, трех глав, заключенияи списка цитируемой литературы (88 наименований).Содержание работыВо Введении обоснована актуальность рассматриваемой задачи, изложена сутьпредлагаемого подхода, дан обзор литературы по теме диссертации, перечисленыпредставленные в работе результаты и кратко изложена структура диссертации.В первой главе исследовано вращение Сатурна под действием сил притяженияСолнца и Юпитера в рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Солнце и Юпитерпредставляют собой материальные точки с массами mS и mJ ( mS > mJ ), движущиеся друготносительно друга по эллиптической кеплеровой орбите.Сатурн считается абсолютно твердым телом с произвольным эллипсоидом инерции,масса m которого много меньше масс mS и mJ . Центр масс Сатурна движется вокругСолнца по эллиптической кеплеровой орбите. Пусть C , J и S -- центры масс Сатурна,Юпитера и Солнца соответственно. Для исследования вращения Сатурна введены правыесистемы координат (Рис 1).6Рис. 1. К выводу уравнений движения Сатурна относительно центра масс.Здесь Oxyz -- барицентрическая система координат с началом в центре масс тел S и J ,C xhz -- кёниговая система координат, Cx1 x2 x3 - система координат, жёстко связанная стелом, оси которой направлены по главным центральным осям инерции. Ориентацияподвижного трёхгранника Cx1 x2 x3 относительно неподвижного Cxhz задаётся с помощьюканонических переменных Депри-Андуайе L, I 2 , I 3 , l , j2 , j3 .Дифференциальные уравнения вращения имеют гамильтонов вид.

Выражение дляфункции Гамильтона:I 22  L2  sin 2 l cos 2 l  L2HU ,2  AB  2Ca3a33322 U   1  nJ2 J3  B  A 122  (C  A)132   nJ2 J3  B  A 22 (C  A)23 ,2r12r2ij 1 j cos    j sin   x  xi    j cos    j sin   y   j z  .ri Здесь введены следующие обозначения:  x2  1    rmJ 0.0009533888249 , f - гравитационнаяmS  mJпостоянная,x1  r ,Юпитера, nJ =f ( mS + mJ ) aJ3 - среднее движение Юпитера, ri =-координатыцентровмасс( x - xi )Солнца2и+ y 2 + z 2 , ij -направляющие косинусы радиуса-вектора ri = miC с главными центральными осями инерцииCx j , A, B, C -главныецентральныемоментыинерцииСатурнаотносительноосейCx1 , Cx2 , Cx3 соответственно, i , i , i - элементы матрицы направляющих косинусов междунеподвижным Cxhz и подвижным Cx1 x2 x3 трёхгранником.7Орбита Сатурна C считается известной квазипериодической функцией времени вбарицентрической системе координат Oxyz , частотный базис которой имеет видω 1   nJ , nC  .

Здесь nJ , nC - средние движения Юпитера и Сатурна соответственно.Малый параметр задачи -- e = n¢J( n¢ = nJJ/ W* ~ 10 -4 ) , где W* » 1.65 ×10 -4 рад / c --угловая скорость вращения Сатурна относительно центра масс,nJ » 1.68 ×10-8 рад / c --среднее движение Сатурна.«Расширенная» функцию Гамильтона в переменных действие-уголI1 , I 2 , I 3 , w1 , w2 , w3имеет вид:nc1PM1  H 0  H1 ( I1 , I 2 , I3 , w1 , w2 , w3 , M , M1 )Здесь M = e t -- "медленное" время, M , PM , M 1 , PM1 - новые обобщённые координаты иH   PM импульсы.При помощи канонической замены переменных, близкой к тождественной приусловии отсутствия резонансных соотношений между базисными частотами вращенияСатурна 1  I1 , I 2   H 0 / I1 ,  2  I1 , I 2   H 0 / I 2 и частотами орбитального движенияСатурна nJ , nC была получена усредненная функция Гамильтона:n¢1H = P%M + c P%M1 + H 0 + e H1 ,*eH1 =e2p12p...

H1 dw1 dw2 dM dM 14( 2p ) ò0 ò0Показано, что резонанс 2 : 5 в орбитальных движениях Сатурна и Юпитера слабовлияет на вращения Сатурна. Функция H1 имеет следующий вид:D 3H1  aJ 3* F  I1 , I 2   1  G  I 2 , I 3 , w3  2 2гдеG  I 2 , I3 , w3    D2 sin 2 w3  D3 cos 2 w3  D4 sin 2 w3  D5  sin 2 1   D6 sin w3  D7 cos w3  cos 1 sin 1 ,cos 1 F ( I1 , I 2 )Вид функцииI3, w3  3I2зависит от области изменения некоторого параметраКоэффициенты Di вычисляются по формулам:3Di 2 212 2  Q  ,   dM dMi01102 212 2  1 e031 eJ2 21 eC2 2J cos   1  eC cos 1 022Qi  , 1  d  d 1Здесь введены следующие обозначения:2 x  xi   y 2  2 z 2i 12 ri5Q1   i22, Q2   i x  xi  cos   y sin  22ri5i 12 x  xi sin   y cos  i 12ri5Q3   i28,,l.2 y sin    x  xi  cos   x  xi sin   y cos  i 12ri5Q4   i2Q5   ii12z  x  xi  cos   y sin  z2,,Qi652riri5i 12z  x  xi  sin   y cos  i 1ri5Q7   i,, 1  1  , 2   .Усредненные уравнения вращений допускают следующие интегралы в инволюции:I1 = const , I 2 = const , H1 = constИнтеграл G = const следует из интеграла H1 = const , он описывает возмущённое движениевектора I 2 кинетического момента Сатурна в кёниговых осях.

Геометрия масс планеты невлияет на поведения вектора I 2 , так как G не зависит от A, B, C.Получена явная зависимость координат x, y , z Сатурна от времени в виде кратногоряда Фурье и проведены вычисления параметров D j : D1 = 0.5791985815 ×10-3 ,D2  0.2896870643 103 , D3  0.2897883014 103 , D4  4.920297019 108 , D5  1.383920657 107D6 = -0.1174174249 ×10-4 , D7 = 0.4707022248 ×10-5Исследован качественный характер вращения Сатурна, для чего был рассмотренинтеграл G = g . В частности, положения равновесия 1  1* , 3  3* вектора кинетическогомомента I 2 находятся из следующей системы уравнений:G 1  D2  D3  sin 23  2 D4 cos 23  sin 2 1   D6 cos 3  D7 sin 3  sin 21  032G  D2 sin 2 3  D3 cos2 3  D4 sin 23  D5  sin 21   D6 sin 3  D7 cos 3  cos 21  01Вектор I 2 совершает либрационные движения (рис.2) в окрестности неподвижных точек3  1.952062662, 1  0.02183210425 , 3  5.093655316, 1  3.119760547 .Рис.

2. Либрационные зоны конца вектора кинетического момента Сатурна в окрестностисеверного полюса единичной сферы.9Появление этих точек обусловлено наклоном плоскости орбиты Сатурна поотношению к плоскости орбиты Юпитера,равным , и как следствие, -- смещениемтрадиционных равновесий 1  0,  вектора I 2 (обусловленных притяжения одного лишьСолнца) на угол 1*  Кромеэтого,значениям 1  0, 1   .появляютсяновыеНеустойчивымположениястационарнымравновесия,точкамотвечающие1  0, 1   отвечаютгомоклинические траектории, вдоль которых движение имеет асимптотический характер (наРис.2 изображена черным цветом).В окрестности экватора единичной сферы вектор кинетического момента совершаетколебаниявблизинеподвижных3  3.713030335, 1  1.566668834структурноточек3  0.5714376802, 1  1.574923820(рис.3). Появление этих точек – результат разрушениянеустойчивого многообразия, существующего в прецессионных вращенияхпланеты под действием притяжения Солнца.

Зона колебаний ограничена сепаратрисойg=0.0002896666946 (на рис.3 – изображена черным цветом), соединяющей равновесия скоординатами 3  5.283915161, 1  1.549358058 и3  2.142322507,1  1.592234596 соответственно.Рис. 3. Либрационные зоны конца вектора кинетического момента Сатурна в окрестностиэкватора единичной сферы.10Отметим, что реальному вращению Сатурна соответствует фазовая траектория наединичной сфере с углом нутации 1  26.73o , отсчитанным от нормали к плоскости орбитыСатурна.Во второй главе исследуется прецессия Сатурна под действием притяжения Солнца,Юпитера и спутников планеты.

Считается, что планеты С (Сатурн) и J (Юпитер) движутсяотносительно S (Солнца)по эллиптическим орбитам в поступательно перемещающихсяосях, связанных с телом S:raJ 1 eJ2 1  eJ cos 1, r1 aC 1 eC2 1  eC cos Здесь r и r1- радиусы векторы между телами S и J, S и С соответственно, aJ , eJ (aC , eC) -большая полуось и эксцентриситет эллиптического движения тела J (тела С); ν, и ν1 -истинные аномалии. Тело C считаем абсолютно твёрдым телом с динамическисимметричным распределением массы (A=B).Рис.

4. Вывод уравнений движения вокруг центра масс планеты C.Используются следующие системы координат: барицентрическая Oxyzс началом вцентре масс тел C и S, кёнигова система координат Cxhz , система координат Cx1 x2 x3 ,жёстко связанная с телом, оси которой направлены по главным центральным осям инерции.Ориентация подвижного трёхгранника Cx1 x2 x3 относительно кёниговой системы координатC xhz задаётся с помощью канонических переменных Депри-Андуайе L, I 2 , I 3 , l , 2 , 3 .Выражение для функции Гамильтона известно (без учета притяжения спутников):11H=I 22 - L2 L2+-U ,2A2C13  3 cos   3 sin  ,  23 3a33a32U   S nC2 C3 C  A 132  J nJ2 J3 C  A  232r12r213 cos   3 sin   xС  x2  3 cos   3 sin   y2  3 z2 r2 Здесь введены следующие обозначения:mS =mSmJmC, mJ =, mC =mC + mSmS + m JmS + mCОстальные параметры, направляющие косинусы и радиус векторы rj описаны выше.ОрбитателаJ(Юпитера)квазипериодическая--функциявремени(вбарицентрической системе координат Oxyz), частотный базис которой состоит из среднихдвижений Юпитера и Сатурна.

Единица времени -- характерное значение T*=1/Ω*. Тогдапараметры e1 = nC¢( n¢C= nC / W* ) , e 2 = n¢J( n¢ = nJJ/ W*) – малые.Считается, что эллипсоид инерции планеты близок к динамически-сферическому:3  (C   A )  J 2 – малый параметр, С¢=C/I* , A¢=A/I* ,I   mC r02 , r0 - среднийэкваториальный радиус планеты С, J 2 – коэффициент второй зональной гармоники. В силуmJ , mC = mS , параметры μJ = ε4, μC = ε5 будут малыми.Гамильтониан приводится к следующему виду:H  H 0  12 3 H1  22 34 H 2гдеH0 =I 22 - L2L23 *  aC3 23   a3J 2+,HΩI,HΩ I 3  231S1322 A¢I *W* 2C ¢I *W*2r132r2Считаем, что частоты W1 , W 2 невозмущенного вращения планеты С относительнособственного центра масс, частоты nC¢ , n ¢J орбитального движения тел С и J несоизмеримы.Вводится в рассмотрение «расширенная» функция ГамильтонаH   PM nJ1PM1  H 0   H1   H 2 ,11M = nC¢ t , M 1 = n J¢ tЗдесь M=ε1t – новое время,   13 и   223411 -- независимые малые параметры, M, PM,M1, PM1 - новые обобщённые координаты и импульсы.Усредненная функцию H* по всем быстрым переменным имеет вид:H   PM nJ1PM1  H 0   H1   H 2 .11Здесь12H1 211S Ω I  sin 2 2   2  3sin 2 2  sin 2 1 23 ... H dld dM  4 1 e 2 13H2 2022 3/ 2C021242 ... H dld dMdM202013 Ω I  aJ3  D12 sin 2 2   2  3sin 2 2  G2 2G2   D22 sin 2 3  D32 cos 2 3  D42 sin 23  D52  sin 2 1   D62 sin 3  D72 cos 3  cos 1 sin 1Коэффициенты Di2 вычисляются по формулам:3Di 2 2 2 1 2 2Qi20 M , M1  dMdM 1 02 21 2 21 eC2 2  1 e00C cos  2Qi 2  , M 1 d  dM 1 ,Функции Qi 2  , M 1  похожи на аналогичные функции предыдущей главы.Усредненные уравнения вращений допускают интегралы в инволюции:L=const, I2=const , H   constВ рассматриваемом приближении вращение планеты C складывается из регулярнойпрецессии оси вращения планеты C вокруг постоянного по модулю вектора I2 на постоянномугловом расстоянии d2 и движения самого вектора I2 относительно осей Cξηζ.