Автореферат (Использование свойств VaR-критерия для построения алгоритмов решения задач стохастического программирования с CVaR-критерием)

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè×åðíîáðîâîâ Àëåêñåé Èãîðåâè÷ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÑÂÎÉÑÒ VaR-ÊÈÒÅÈßÄËß ÏÎÑÒÎÅÍÈß ÀËÎÈÒÌΠÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÎ ÏÎÀÌÌÈÎÂÀÍÈß Ñ CVaR-ÊÈÒÅÈÅÌÑïåöèàëüíîñòü 05.13.01Ñèñòåìíûé àíàëèç, óïðàâëåíèå è îáðàáîòêà èíîðìàöèè(àâèàöèîííàÿ è ðàêåòíî-êîñìè÷åñêàÿ òåõíèêà)ÀÂÒÎÅÔÅÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà, 2012àáîòà âûïîëíåíà íà êàåäðå ¾Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé¿ Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãîèíñòèòóòà (íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòà, ÌÀÈ).Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîåññîð Êèáçóí Àíäðåé Èâàíîâè÷Îèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,Ùåðáàêîâ Ïàâåë Ñåðãååâè÷,ÔÁÓÍèì.ÈíñòèòóòÂ.À.ïðîáëåìÒðàïåçíèêîâàóïðàâëåíèÿÀÍ,ãëàâíûéíàó÷íûé ñîòðóäíèê.êàíäèäàò èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,äîöåíò ûáàêîâ Êîíñòàíòèí Àëåêñàíäðîâè÷,Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò (íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèéóíèâåðñèòåò),äîöåíò.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:ÔÁÓÍ Èíñòèòóò ïðîáëåì èíîðìàòèêèÀÍÇàùèòà ñîñòîèòñÿ 21 äåêàáðÿ 2012 ã.

â 10 ÷. 30 ìèí. íà çàñåäàíèè Äèññåðòàöèîííîãîñîâåòà Ä 212.125.04 Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãî èíñòèòóòà ïî àäðåñó: 125993, Ìîñêâà,À-80, ÑÏ-3, Âîëîêîëàìñêîå ø., 4, àóäèòîðèÿ 301 ÀÊ.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå Ìîñêîâñêîãî àâèàöèîííîãî èíñòèòóòà (íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòà).Àâòîðååðàò ðàçîñëàí 2012 ã.Ó÷åíûé ñåêðåòàðü Äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 212.125.04,êàíäèäàò èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍ.Ñ. ÑåâåðèíàÎÁÙÀß ÕÀÀÊÒÅÈÑÒÈÊÀ ÀÁÎÒÛÎáúåêò èññëåäîâàíèÿ.  äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå èçó÷àþòñÿ çàäà-÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ êðèòåðèåì â îðìå èíòåãðàëüíîé êâàíòèëè.

Èíòåãðàëüíóþ êâàíòèëü òàêæå íàçûâàþò ConditionalValue-at-Risk (CVaR), Average-Value-at-Risk (AVaR), Expeted Shortfall,Tail Value-at-Risk (TVaR), Tail Conditional Expetation (TCE).Àêòóàëüíîñòü òåìû.  òåõíèêå, ýêîíîìèêå, áèîëîãèè ÷àñòî ïðè-õîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè, ãäå ÷àñòü èñõîäíûõ äàííûõ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûìè. Òàêèå ìîäåëè óäîáíî îïèñûâàòü ñïîìîùüþ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

Òàêèå çàäà÷è, âîòëè÷èå îò äåòåðìèíèðîâàííûõ, ó÷èòûâàþò ñëó÷àéíóþ ïðèðîäó ïðîèñõîæåíèÿ ñîáûòèé, îêàçûâàþùèõ âàæíîå âëèÿíèå íà ñàìó ìîäåëü.Ïîýòîìó ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé, êàêïðàâèëî, áîëåå àäåêâàòíû. Çàäà÷àì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿïîñâÿùåíû ðàáîòû Äæ. Á¼ðæà, .

Âåòà, Ñ. Âîëëàñà, Þ.Ì. Åðìîëüåâà,Ï. Êàëëà, Þ.Ñ. Êàíà, À.È. Êèáçóíà, Â. Êóïåðà, . Ëåïïà, Ê. Ìàðòè,À.Â. Íàçèíà, Í.Ì. Íîâèêîâîé, Á.Ò. Ïîëÿêà, À. Ïðåêîïû, Ý. àéêà,Ñ.Ï. Óðÿñüåâà, À. ×àðíñà, Ä.Á. Þäèíà è ìíîãèõ äðóãèõ àâòîðîâ.Ê ïðèêëàäíûì çàäà÷àì ñòîõàñòè÷åñêîãî ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, çàäà÷à óïðàâëåíèÿ âîçäóøíûì äâèæåíèåì èïëàíèðîâàíèÿ ïîëåòîâ ñ ó÷åòîì ïîãîäíûõ óñëîâèé, çàäà÷à ïëàíèðîâàíèÿäîáû÷è óãëÿ, çàäà÷à ïëàíèðîâàíèÿ ïåðåâîçîê è ìíîãèå äðóãèå. Íàïðàêòèêå çíà÷èòåëüíî ÷àùå âñòðå÷àþòñÿ çàäà÷è, îïèñàííûå â òåðìèíàõíåëèíåéíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ê òàêîì êëàññó ïðèíàäëåæàò ýêîíîìè÷åñêèå çàäà÷è, íàïðèìåð, çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì èíâåñòèöèîííîãî ïîðòåëÿ, èçó÷àâøèåñÿ â ðàáîòàõ Â.Â. Äîìáðîâñêîãî, Þ.Ñ. Êàíà, Äæ. Êåëëè, À.È. Êèáçóíà, Å.À. Êóçíåöîâà, .

Ìàðêîâèöà, À.. Ïàíêîâà, Ê.Â. Ñåìåíèõèíà, Äæ. Òîáèíà, Ñ.Ï. Óðÿñüåâà;îðãàíèçàöèîííî-òåõíè÷åñêèå çàäà÷è ïëàíèðîâàíèÿ äîáû÷è, îáðàáîòêèè õðàíåíèÿ íåòè, îïòèìèçàöèè äåÿòåëüíîñòè æåëåçíîäîðîæíîãî óçëà,ïðîãíîçà ñêîðîñòè âåòðà è ìíîãèå äðóãèå çàäà÷è.  àâèàöèîííîé ñåðåâ ïîñëåäíèå ãîäû ïðè ñèíòåçå è àíàëèçå àëãîðèòìîâ óïðàâëåíèÿ îáúåêòàìè, íàïðèìåð, ëåòàòåëüíûìè àïïàðàòàìè èëè ðàêåòàìè, èñïîëüçóþòñÿ çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ, êîòîðûå â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõóäàåòñÿ ñâåñòè ê çàäà÷àì ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ, íàïðèìåð, â ðàáîòàõÁ.È. Àíàíüåâà, Á.Ö. Áàõøèÿíà, .

Áåëëìàíà, À. Áðàéñîíà, . Êàëìàíà,È.ß. Êàöà, Â.Á. Êîëìàíîâñêîãî, Ì.Í. Êðàñèëüùèêîâà, Í.Í. Êðàñîâñêîãî, Â.Â. Ìàëûøåâà, À.È. Ìàòàñîâà, Á.Ì. Ìèëëåðà, À.Â. Íàóìîâà,3Ï.Â. Ïàêøèíà, À.Â. Ïàíòåëååâà, Þ.Ï. Ïûòüåâà, .À. Òèìîååâîé,Â.Ì. Õàìåòîâà, Ô.Ë. ×åðíîóñüêî. çàäà÷àõ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàííèÿ îò âûáîðà êðèòåðèÿíàïðÿìóþ çàâèñèò àäåêâàòíîñòü ïîëó÷åííûõ ñòðàòåãèé, ïîýòîìó âûáîðêðèòåðèÿ ñàì ïî ñåáå ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé.

Íåïðàâèëüíûéâûáîð êðèòåðèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê íåïðåäñêàçóåìûì èëè íåóäà÷íûìðåçóëüòàòàì.Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð èç ñîâðåìåííîé òåîðèè èíâåñòèðîâàíèÿ. êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêå Ìàðêîâèöà ñðåäíèé äîõîä èêñèðóåòñÿ, èìèíèìèçèðóåòñÿ äèñïåðñèÿ äîõîäà êàê ìåðà ðèñêà ïîëó÷èòü äîõîä, îòëè÷íûé îò ñðåäíåãî. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ òàêàÿ ïîñòàíîâêà íå îïðàâäàíà,òàê êàê ñëàáî ó÷èòûâàåò ñóáúåêòèâíûå æåëàíèÿ èãðîêà. Áîëåå òîãî,ïðè òÿæåëûõ õâîñòàõ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñòàíîâêà Ìàðêîâèöà ìîæåòáûòü è âîâñå ëèøåíà ñìûñëà.

Åñëè â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ âûáðàòü ìàêñèìèçàöèþ ñðåäíåãî äîõîäà, âîçíèêàåò ýåêò, íàçûâàåìûé ýåêòîìáèðæåâîãî ïàðàäîêñà. Äàííûé ýåêò çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äîõîäëèöà, ïðèíèìàþùåãî ðåøåíèÿ, ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, íîâåðîÿòíîñòü ðàçîðèòüñÿ ïðè ýòîì ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå. Êâàíòèëüíàÿïîñòàíîâêà çàäà÷è (èëè ïîñòàíîâêà ñ VaR-êðèòåðèåì) çàêëþ÷àåòñÿ âïîèñêå ñòðàòåãèè, êîòîðàÿ ãàðàíòèðóåò ìàêñèìàëüíûé äîõîä ñ çàäàííîéâåðîÿòíîñòüþ. Òàêàÿ ïîñòàíîâêà ãîðàçäî ëó÷øå ó÷èòûâàåò èíòåðåñûèíâåñòîðà, ÷åì îïèñàííûå âûøå, îäíàêî è åå ëåãêî ðàñêðèòèêîâàòü.Íàïðèìåð, ìîæíî ïîëó÷èòü ñòðàòåãèþ, êîòîðàÿ ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþãàðàíòèðóåò äîõîä â 1 ðóáëü, íî ïðè ýòîì âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõñóëèò ìèëëèîííûå óáûòêè. Òàêóþ ñòðàòåãèþ ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ VaR-êðèòåðèÿ, ïîñêîëüêó îí íå ó÷èòûâàåò âñå íåáëàãîïðèÿòíûåñëó÷àè çà óðîâíåì çàäàííîé âåðîÿòíîñòè (íà õâîñòå ðàñïðåäåëåíèÿ).

Â÷àñòíîñòè, ÷òîáû èçáåæàòü ïîëó÷åíèÿ òàêèõ ñòðàòåãèé, áûë ïðåäëîæåíCVaR-êðèòåðèé (èíòåãðàëüíàÿ êâàíòèëü), êîòîðûé õàðàêòåðåçóåò óñðåäíåííîå çíà÷åíèå â íåáëàãîïðèÿòíûõ ñëó÷àÿõ.Çàäà÷àìñVaR-êðèòåðèåìïîñâÿùåíûðàáîòûÁ.Â.Âèøíÿêîâà,. Ëåïïà, À. Íàóìîâà, Â.È. Íîðêèíà, Þ.Ñ. Êàíà, À.È. Êèáçóíà,Â.Â. Ìàëûøåâà, Å.Ë. Ìàòâååâà, Ê. Ìàðòè è äðóãèõ. Çàäà÷è ñ CVaRêðèòåðèåì ðàññìàòðèâàþòñÿ íàïðèìåð, â ðàáîòàõ Ô. Àðöíåðà, Ä. Äåíò÷åâîé, Å.À. Êóçíåöîâà, À.È.

Êèáçóíà, Å.À. Íóðìèíñêîãî, Äæ. Ïëþãà,. îêàåëëàðà, À. ó÷èíñêîãî, Ñ.Â. Ñòîÿíîâà, Ñ. Óðÿñüåâà, À. Øàïèðî.Ïåðâûå ðàáîòû ïî CVaR-êðèòåðèþ áûëè ñäåëàíû â ñàìîì êîíöå XXâåêà. Îíè òåñíî ñâÿçàíû ñ ïîíÿòèåì êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêà. VaR,â îòëè÷èå îò CVaR-êðèòåðèÿ, íå ÿâëÿåòñÿ êîãåðåíòíîé ìåðîé ðèñêà.4CVaR òàêæå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ìåðîé ðèñêà. Èç-çà ýòèõ ñâîéñòâ CVaRêðèòåðèþ â ïîñëåäíèå ãîäû ñòàëî óäåëÿòüñÿ áîëüøîå âíèìàíèå â íàó÷íûõ ðàáîòàõ.Ó CVaR êðèòåðèÿ òàêæå åñòü íåäîñòàòêè. CVaR íåëüçÿ îïðåäåëèòüäëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ òÿæåëûìè õâîñòàìè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì ïî ñðàâíåíèþ ñ VaR.

Íà ïðàêòèêå çàäà÷è ÷àñòîîðìóëèðóþòñÿ â âèäå òðåáîâàíèé ïî íàäåæíîñòè (îãðàíè÷åíèå íàâåðîÿòíîñòè). Òàêèå çàäà÷è ìîæíî ñâåñòè ê çàäà÷å ñ VaR êðèòåðèåì,íî íå ñ CVaR.Ïîìèìî ýòîãî CVaR è VaR êðèòåðèè îáëàäàþò òåñíîé ñâÿçüþ ìåæäóñîáîé.

Îíè ìîãóò áûòü ñâÿçàíû íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç îïðåäåëåíèå,ïðè÷åì ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ïîýòîìó íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ñïðàâåäëèâûå äëÿ VaR, òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñ CVaRêðèòåðèåì. Õîòÿ ñàìè êðèòåðèè ðàçíûå, ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ñëó÷àè,êîãäà ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷ VaR è CVaR áóäóò ñîâïàäàòü.Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïðèìåíåíèå ñòàíäàðòíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ êðåøåíèþ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ çàòðóäíåíî òåì, ÷òîöåëåâàÿ óíêöèÿ èìååò ñëó÷àéíóþ ñòðóêòóðó. Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ äàííîéòðóäíîñòè áûëè ðàçðàáîòàíû àëãîðèòìû, èñïîëüçóþùèå ñòîõàñòè÷åñêèéêâàçèãðàäèåíò. Åìó ïîñâÿùåíû ðàáîòû Þ.Ì.

Åðìîëüåâà, À.Ì. óïàëà,Â.Ñ. Ìèõàëåâè÷à, Â.È. Íîðêèíà, Ñ. Óðÿñüåâà è äðóãèõ. Ïðèìåíåíèåòàêèõ àëãîðèòìîâ äîñòàòî÷íî ïîëíî èññëåäîâàííî äëÿ çàäà÷ ñ VaRêðèòåðèåì, íåêîòîðûå ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ CVaRêðèòåðèÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïîñòðîåíèå ñòîõàñòè÷åñêîãîêâàçèãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ CVaR-êðèòåðèåì.Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà ðàçðàáîòêè ýåêòèâíûõ ìåòîäîâ ïîèñêàîïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé â çàäà÷àõ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñCVaR-êðèòåðèåì, èïîëüçóþùèõ ñâîéñòâà VaR-êðèòåðèÿ, ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé.Öåëü ðàáîòû. Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå àëãîðèòìîâ ðå-øåíèÿ çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ CVaR-êðèòåðèåì,èñïîëüçóþùèõ ñâîéñòâà è èíîðìàöèþ î çíà÷åíèè VaR-êðèòåðèÿ.Äëÿ äîñòèæåíèÿ ïîñòàâëåííîé öåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ:1) ïîñòðîåíèå äåòåðìèíèðîâàííûõ ýêâèâàëåíòîâ äëÿ çàäà÷ ñ CVaRêðèòåðèåì;2) îïèñàíèå óñëîâèé ýêâèâàëåíòíîñòè çàäà÷ ñ êðèòåðèÿìè VaR èCVaR;3) ðàçðàáîòêà ñòîõàñòè÷åñêîãî êâàçèãðàäèåíòíîãî àëãîðèòìà ìèíèìè-5çàöèè CVaR-êðèòåðèÿ;4) ðàçðàáîòêà àëãîðèòìà äëÿ ðåøåíèÿ êîìáèíèðîâàííîé çàäà÷è ñVaR-êðèòåðèåì è îãðàíè÷åíèåì íà CVaR.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ ïðîáëåìèñïîëüçîâàëèñü ñîâðåìåííûå ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, íåëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, âûïóêëîãî àíàëèçà è ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè. Äëÿèññëåäîâàíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ èñïîëüçîâàëèñü ìåòîäû êîìïüþòåðíîãîñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ. Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ îáåñïå÷è-âàåòñÿ:1) ñòðîãîñòüþ ïîñòàíîâîê è äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé;2) ïîäòâåðæäåíèåì àíàëèòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðè ðåøåíèè ðÿäà òåñòîâûõ ïðèìåðîâ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.  ðàáîòå ïîëó÷åíû íîâûå ðåçóëüòàòû äëÿ ý-åêòèâíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ âåðîÿòíîñòíîé îïòèìèçàöèè, ñðåäè êîòîðûõìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå:1) Ïîëó÷åíû äåòåðìèíèðîâàííûå ýêâèâàëåíòû äëÿ øèðîêîãî êðóãàçàäà÷ ñ ÑVaR-êðèòåðèåì;2) Ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ çàäà÷ ñ VaR è CVaR êðèòåðèÿìè äëÿ áèëèíåéíîé öåëåâîé óíêöèè ïðè ñèììåòðè÷íîì ðàñïðåäåëåíèèñëó÷àéíîãî âåêòîðà;3) Ñîðìóëèðîâàíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çàäà÷è ñ êðèòåðèÿìè VaRè CVaR ýêâèâàëåíòû äëÿ ðàçíûõ êëàññîâ óíêöèè ïîòåðü;4) àçðàáîòàí ñòîõàñòè÷åñêèé êâàçèãðàäèåíòíûé àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè CVaR-êðèòåðèÿ, èñïîëüçóþùèé âûáîðî÷íûå îöåíêè, ñõîäÿùèéñÿïî÷òè íàâåðíîå;5) Ïðåäëîæåíû àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ VaR-êðèòåðèåì è îãðàíè÷åíèåì íà CVaR äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîé è áèëèíåéíîé óíêöèé ïîòåðü.Ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü.