Отзыв оппонента (Алгоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью в задачах стохастического программирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь)

КАЙГоритмы оценки квантильного критерия с заданной точностью В задачах стохастического ~рограммирования с кусочно-линейными и квадратичными функциями потерь», представленнОЙ на соискании учбной степени кандидата физико-математических наук по специальности ОБ. ГЗ.О1 Системный анализ, управление и Обработка информации (авиационная н ракетно-космическая техника). В диссертации Андрея Александровича Травина исследуются задачи вероятностно~о анализа, которые возникают при реВГении зада~ стохастической Оптимизации численными методами, Современ~ыЙ уровень требова~иЙ к качесгву процессов наблюдений н точности управления дВижением летательных аппаратов делает Весьма актуальным применение вероятностных критериев оптимальности.

Это обстоя~ельство связано с на любуго управляемую синему Влияют различные возмугцения, стохастическое описание которых, как правило, не является полным. Статистические характеристики возмугцениЙ либо известны с достаточной точностью, либо для их определения нет надежной инфор~ац~и. В связи с згим при реюенни зада~ управления помимо стохастического подхода применяетсй и гарантирукнций ПОДХОД, Важным классом современных сложных управляемых систем являются летательные ап~ара~ы ~ЛА) как косм~чес~ие, так и движугциесй В атмосфере.

Втн ЛА движутся в условиях возмугцениЙ, обусло~лен~~х отклонениями ~ара~етров атмосферы и азродинамических характеристик, разбросом тяги двигателей, погрешностями навигационных систем и т.д. Для задач исследования движений ЛА в настоясцее Времй испОльзуются как детерминированнью, так и ВерОЙтностньге критерии Качества, одним из которы~ Йвлйетсй квантильный функционал.

Зтн критерии позволяют оценить точность системы управлений с учетом дополнительных ограниче~~Й. Применение зтих кр~~ер~ев оптим~зац~~ явлйетсй одним из актуальных направлений стохастического программирования. Основы теории оптимизации по квантильному критери~о были изложены в моно~рафии В. В. гдалькеева и А. И.

Кибзуна. Развитие исследованиЙ В атом направлении обуславливается, ~лавным образом, азрокосмическими приложениями, в кспорых необходимо совмегцать противоречивые требований к точности и надежности управлений ЛА. В последнее время в~имение ~сследователеЙ зада~ Оптимизации по квантильному критерию были сОсредоточены, Главным Образом, на разработке численных методов решения зтих задач. В диссертации А. А. Травина предложень~ численньге метОды вычисления квантильнОГО критерия на Основе пострОения двус~оронни~ оценок.

Досто~нс~во та~о~о подход~ ~~со~ивино, позволяет контролировать точность репГения задачи и допускает распараллели~ание процессов вьжислений. Работа состоит из ВБВДения, трех Глав, заключения, списка литературы, содержа(цего ЮЭ наименования, и двух приложениЙ. ВО ВБВДении 060снОВывается актуальность темы Диссертации, сфОрмулирована цель работы и указань( пути ее достижения. Описана структура работы и перечислень~ полученные В диссертации новые результаты. В первОЙ ГлаВе привеДЁн Обзор известных результатОВ В Области ВерОЯтностнОГО анализа.

Эти результа~ы сформулированы Б виде ряда теорем, которые используются в последую(цем исследовании. В частности, описан метод стохастической аппроксимации для Оценки квантили распределения случайной Величины. Новым результатом, содержащимся в первой главе, является метод ЛОстроения двусторонних Оценок квантильнОГО критерия на ОснОВе аппрОксимации функции распределения, предстаВленнь(Й Б Биде алГОригма, состоящего из ряда последовательных шагов. Этот алгоритм применяется для случая квадратичной функции потерь. Приводится списание процедуры вь(числения квантили нормы ДвумернОГО ГауссОВскогО Вектора и примеры расчЁтОБ. ВтОрая Глава посвяЩена Описани(О метОДОВ ОЦенки Вероятностных мер для систем с кусочно-линейнОЙ структурой функции потерь Б Гауссбвском случае, предложен новый алгоритм вычисления квантильного критерия с заданной точностью. Алгоритм Основан на рекурсивном построении монотонно сходя(цихся детерминироВанных Границ для квантильнОГО критерия, Определяемых ПО дВусторОнним монотОнно схОдящимся Границам лля функции вероятносги.

Последние строятся на ОСНОВВ спеЦиальнь(х прОЦедур численнОГО интеГРИРОВания Гауссовской плотности вероятности. Эадача вычисления вероя(носгного кри(ерия Сводится к нахождению Вероятности попадания случайноГО Вектора многоугольник, заданный системой линейных неравенств. Предложенный алгоритм распространен на трЁхмерный случаЙ. Оценка точности полета летательных аппаратов специального назначения Относится к числу Важных прОблем„ВОзникаккцих при их разработке и применении. В связи с этим суЩестВенным Является анализ причин рассеивания ГраекгОрии, порождаемых множеством Возмущающих факторов. Одному из аспектов атой проблемы и посВЯЩена третья Глава ДиссертаЦии, Б ней преДлагается математическое и программное обеспечение анализа рассеивания точек падения Фрагментов летательнь:х аппаратов.

(У(врой точности полёта ЛА может служить отклонение Те~ущ~х или конечных кинематических параметров ВозмущённОЙ траектории от значений соответствующих параметров номинальной. Одним из критериев точности, используемых для учета влияния рассеивания на результать~ пуска, является круговое Вероятное отклонение (КВО), предсгавляю(цее собой радиус кру~а, вероятность попадания В который равна 0.6 .

КВО представляет собой квантильный Кр~~ерий качества. Задача анализа зависимости КВО От ~~~й~~~ траекторий ЛА, несомненно, представляет практическиЙ интерес. В тре(ьеЙ Главе предложен подход к разрабОтке специальнОГО математическоГО и прОГраммнОГО обеспечения, позволяющего провести расчеты по получению зависимости КБО Ог угла наклона траектории в начале пассивного участка и полкой сферической дальности полета. При атом значение КВО для оптимальных траекгорий максимальной дальности считается известным. Разрабо~анный алгоритм содержит три Этапа, ВключаюЩие В себя ряД Вычислительных прОЦВДур. Г(а МОДельном ~ри~ере обнаружено, что рассеивание фрагмен~ов р~зко Возрастает при использовании «настильныхя траекторий. В за~~ючении кратко описаны новые резуль~аты, полу~ен~ые в работе, и их практическая значимОсть.

В Приложениях дано Описание разработанного про~раммно~о комплекса и результаты расчетов, представленные В виде таблиц. ПОлученные В ДиссертаЦИН результаты имекп теОретическОе значение, поскОльку разработаны новьге ~ВГОДЫ Численного решения достаточно широкого ~ру~а зада~ ББДОЯТИОстнОГО анализа. Практическая Ценность ВыпОлненнОГО исслеДОвания Определяе'.:ся предлОженными алГОритмами Вьгчисления квантильноГО критерия с заданноЙ ТО~ИОСТЬЮ, а также решением актуальной зада~~ Вер~ятнос~~о~~ а~~~~з~ рассеивания точек падения фрагментов летательного аппарата.

3ти результаты могут найти применение В специализирОВанных ОрГанизациях, Достоверность пОлученных В ДиссертаЦНИ результатОБ ОбоснОБывае1ся строгостью постановок математических задач, доказанностью сформулированных утверждений, а Та~же зффективностью разработанны~ алгоритмов, под~вер~де~~ой ТЕСТОВЫМИ ПРИМЕРВМИ. 1. В первых двух главах рассматриваются квадратичные и кусочно-линейные функции Потерь, но не указано для КакоГО типа зада~ целесообразно ПРИМЕНЯТЬ ТУ ИЛИ ИНУЮ фуНКЦИЮ. 2. Изложение материала в третьей Главе излишне лаконично. Ряд формул приВБДЁн без ссылОХ на литературу, чтО ОсОбеннО ОтнОситсЯ к и. 3. 7, В котором проводится расчет торможения ЛА в атмосфере.

3, В приводимых в третьей главе расчетах базовыми считаются траектории максимальной Дал~~ост~, Для ко~орых ~зевс~но КВО. Од~ако зги ~рве~~ори~ Являются нелучшими, если речь НДЁт О повышении точности полйта. Отмеченньге неДостатки не Влийют на Общую полОжительную ОЦенку работы. Диссертация А. А. травина представляет собой законченную научно- ~сследовате~~скуЮ рабогу, Выполнен~уЮ на Вы~оком уровне.

Рабо~а В должной мере Опубликована, три работы опубликованы в изданиях, входящих в перечень рекомендованных ВАК. Автореферат правильно и полно Отражает содержание диссертации. 'Гаким Образом, работа БАлгоритмы Оцен~и квантильного ~ритер~я с задан~ой точнОстью В задачах стОхастическОГО прОГраммирОВания с кусОчно-линейными и квадратичнь~ми функциями потерьв удовлетворяет требованиям ВАК РФ, предьявляемым кандиДатским Диссертациям, а ее БВтор, 1равин Андрей АлексанДрович, заслуживает присужДения учЁНОЙ степени канДНДата физико~а~е~а~иче~к~~ наук по специальности 05.13.01 Систе~нЫЙ а~Близ, управление и Обработка ~нфор~ации (авиационная и ракетно-космическая техника~.

Главный научный сотрудник НИИ механики МГУ имени М. В. Ломоносова доктор физико-математических наук ПрОфЕССОр 119192, г. Москва, М К3. М. Окунев у .