Автореферат (Эволюционные методы условной оптимизации в задачах поиска оптимального управления динамическими системами), страница 3

Общая схема работы расширенного метода ИИСПроведенные в работе исследования показали, что при решении задач высокой размерности точность работы расширенного метода ИИС снижается. Длярешения этой проблемы разработана модификация метода.В расширенном методе ИИС без модификаций изменению подвергалисьвсе координаты.

В модификации количество изменяющихся координат зависитот номера итерации метода. Каждая переменная подвергается мутации с вероятностью ξ , определяемой формулой:0.25 , если k  0.8K ;ξ 0.1, если k  0.8K .Во время добавления новых клеток в популяцию для половины новых клеток в модифицированном методе используется оператор скрещивания, заимствованный из ГА с вещественным кодированием. Другая половина добавляемыхклеток по-прежнему генерируется случайным образом.В модификации расширенного метода ИИС предлагается не использоватьпроверку количества клеток после сокращения популяции, а заканчивать работу,только когда генерируется заданное количество популяций.

Данное изменение10обусловлено тем, что при решении задач большой размерности расширенныйметод ИИС без модификаций может закончить свою работу, не достигнув «хороших» результатов.Сравнение работы методов, имитирующих иммунные системы организмов, и их модификаций на модельных и прикладных задачах показало, что разработанные модифицированные методы работают лучше, чем методы без модификаций.

В диссертационной работе проведено исследование зависимости точности решения разработанных модифицированных методов от размерности задачи при фиксированных вычислительных ресурсах.В третьей главе рассматривается метод динамических сеток (МДС).В МДС популяция представляется в виде некоторой сетки, состоящей из наборарешений – узлов.

В процессе поиска сетка подвергается изменениям: расширению – добавлению новых узлов в сетку, и сокращению – удалению узлов, расположенных слишком близко друг к другу.Стадия расширения состоит из нескольких этапов: локальное расширение,глобальное расширение и дополнительное расширение. На этапе локальногорасширения производится генерация новых узлов в направлении наилучшего изсоседних.

На этапе глобального расширения для каждого из узлов сетки генерируется новый узел в направлении наилучшего узла сетки. На этапе дополнительного расширения сетки производится исследование новых участков множества допустимых решений. На стадии сокращения в МДС происходит удалениеслишком близких друг к другу решений. Общая схема работы МДС представлена на рис. 4.Для решения задач поиска оптимального управления детерминированными системами, которые относятся к задачам большой размерности, разработанамодификация МДС, повышающая точность его работы. В модифицированномМДС смягчаются условия удаления узлов на шаге сокращения сетки: худший издвух узлов удаляется, если они имеют более чем l близких координат, где l параметр метода.

В МДС без модификаций один из узлов удаляется, если ониимеют хотя бы одну близкую координату. Внесенное изменение позволяетСозданиеначальнойсетки12Локальноерасширение34ГлобальноерасширениеДополнительное расширениеРасширение сеткиЛокальное расширениевблизи лучшегорешения8Ответнетда7Проверка условийокончания поискаСокращение 6сеткиРис. 4. Общая схема работы метода динамических сеток115Формированиеобъединеннойсеткиизбежать слишком большого сокращения сетки и добиться сохранения информации об уже найденных «хороших» решениях.В модифицированном МДС добавляется новый шаг - локальное расширение сетки вблизи лучшего решения, что способствует более быстрой сходимостиметода.

При генерации новых узлов на данном шаге используются идеи, заимствованные из метода ИИС.Сравнение работы МДС и разработанной модификации на модельных иприкладных задачах показало, что модифицированный МДС работает лучше,чем метод без модификаций.В первой, второй и третьей главах диссертации разработаны пошаговыеметодики применения эволюционных методов условной оптимизации к решению задач поиска оптимального программного управления нелинейными дискретными и непрерывными детерминированными динамическими системами.При использовании исследуемых в работе эволюционных методов для решениязадач оптимального управления дискретными системами оптимизируетсяуправление u () .

Целевой функцией является функционал I (d )  I ( x(), u()) .Особь (клетка, узел) с номером k в популяции (сетке) представляет собой вектор u k  (u k (0), u k (1),..., u k ( N  1))T , который соответствует дискретному управлению u k ()  {u k (0), u k (1),..., u k ( N  1)}. Для того чтобы найти значение функционала I (d k ) , соответствующее паре d k  ( x k (), u k ()) , необходимо найти траекторию дискретной системы x k ()  {x(0), xk (1),..., xk ( N )}, соответствующуюуправлению u k () , из разностного уравнения (1) с учетом начального условия.Для решения задачи поиска оптимального программного управления непрерывными системами предлагается осуществить переход к задаче поиска оптимального программного управления дискретными системами, а затем построить решение исходной задачи путем интерполяции значений в узлах сетки. Приэтом предполагается, что приближенное решение задачи (управление) ищется ввиде кусочно–постоянных или кусочно–линейных вектор–функций, поэтому результатом решения является субоптимальное управление, так как класс допустимых управлений сужается.В диссертационной работе приведены примеры работы эволюционных методов.

Решены три модельные задачи поиска оптимального управления дискретными системами, три прикладные задачи поиска оптимального управленияхимическими процессами, модели которых представляют собой непрерывныенелинейные системы, и две задачи поиска оптимального управления непрерывными системами с запаздыванием по выходным переменным. Число оптимизируемых переменных при этом изменялось от 10 до 160 , а при исследовании зависимости точности решения от размерности задачи – до 800 . Ниже приведенынекоторые из решенных задач.Пример 1. Поведение модели объекта управления описывается системойразностных уравнений:12x1 (t  1) x1 (t );1  0.01  u1 (t )  (3  u2 (t ))x2 (t  1) x2 (t )  u1 (t ) x1 (t  1);1  u1 (t )  (1  u2 (t ))x3 (t ),1  0.01  u2 (t )  (1  u3 (t ))где t  0,1,..., N  1; N - параметр задачи.

Задано начальное состояние системыx3 (t  1) x(0)  [2, 5, 7]T и ограничения на управление 0  u1(t )  4 , 0  u2 (t )  4 ,0  u3 (t )  0.5 . На множестве допустимых процессов определен функционал качестваIx12 ( N ) x22 ( N )  x32 ( N )  ([N 1 x12 (t  1)  x22 (t  1)  2u32 (t  1)] t 1N 1[  x32 (t  1)  2u12 (t  1)  2u22 (t  1)])1 2 .t 1Требуется найти минимальное значение функционала и оптимальныйпроцесс, на котором это значение достигается.

Задача решалась для различногочисла шагов системы N . Минимальное значение функционала, найденное эволюционными методами, представлено в табл. 1. Полученное решение сравнивалось с известным решением, найденным итерационным методом динамическогопрограммирования (ИДП).МетодГА бинарным кодированиемГА с вещественным кодированиемМетод ИИСМодифицированный метод ИИСРасширенный метод ИИСМодифицир. расширенный метод ИИСМДСМодифицированный МДСМетод ИДПТаблица 1. Результаты работы в примере 1N  100N  20N  50209.27381241.01111260.83801209.26937240.91706258.33987211.74483262.01719326.71907209.27319240.91904258.34077209.30731241.37386261.13136209.26945240.93244258.40943216.73137276.23071353.11170209.27319240.92003258.97413209.26937240.91700258.33922По полученным данным можнозаметить, что большинству методовудалось найти решение, близкое друг кдругу и к решению методом ИДП, аразработанные модификации значительно повышают точность работы эволюционных методов.

Оптимальное управление, полученное ГА с вещественнымкодированием для N  20 , представлено на рис. 5.Рис. 5. Оптимальное управление в примере 113Пример 2 (задача оптимального управления химическим процессом). Поведение непрерывной модели объекта управления описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:x1  u4  qx1  17.6 x1x2  23x1x6u3 ;x6  qx6  102.6 x4 x5  23x1x6u3 ;x2  u1  qx2  17.6 x1x2  146 x2 x3 ;x7  qx7  46 x1x6u3 ;x3  u2  qx3  73x2 x3 ;x8  5.8  qx1  u4   3.7u1  4.1u2  5u32 x4  qx4  35.2 x1x2  51.3x4 x5 ; q  23x4  11x5  28 x6  35 x7   0.099x5  qx5  219 x2 x3  51.3x4 x5 ;где q  u1  u2  u4 , 0  t  t N  0.2 .

Начальное условие:x(0)  0.1883; 0.2507; 0.0467; 0.0899; 0.1804; 0.1394; 0.1046; 0 .Ограничения на управление: 0  u1(t )  20 , 0  u2 (t )  6 , 0  u3 (t )  4 , 0  u4 (t )  20 .Критерий качества управления: I  x8 (t N ) .

Необходимо максимизировать критерий при помощи выбора кусочно-постоянного управления, удовлетворяющегозаданным ограничениям. Задача решалась для различного числа N точек разбиения при переходе к дискретной системе. Максимальное значение функционала,найденное эволюционными методами, представлено в табл. 2. Полученное решение сравнивалось с известным решением, найденным итерационным методомдинамического программирования (ИДП).TТаблица 2. Результаты работы в примере 2МетодN  11N  20N  40ГА бинарным кодированиемГА с вещественным кодированиемМетод ИИСМодифицированный метод ИИСРасширенный метод ИИСМодифицир.

расширенный метод ИИСМДСМодифицированный МДСМетод ИДП21.766021.766021.155221.748321.507321.748220.429721.748321.757221.793821.797320.967221.797021.097321.793520.270219.7823--21.774521.817820.644421.800720.862721.658821.795021.8118--По полученным данным можно сделать вывод, что ГА удалось улучшить решение, найденное методом ИДП, а большинству остальных методов удалось найтиблизкое друг к другу решение. При увеличении размерности задачи получено болеевысокое значение функционала. Разработанные модификации методов повышаютточность их работы. Оптимальное управление, полученное модифицированным методом ИИС для N  11, представлено на рис.6.14Рис.

6. Оптимальное управление в примере 2Пример 3. Модель непрерывной детерминированной системы с запаздыванием описывается системой дифференциальных уравнений:x1  x2 (t );x2  10 x1(t )  5x2 (t )  2 x1(t  )  x2 (t  )  u(t );x3  0.5(10 x12 (t )  x22 (t )  u 2 (t )),где 0  t  t N  5 ,  - время запаздывания, параметр задачи. Начальное условие:x1(t )  x 2 (t )  1,   t  0 , x3 (0)  0 .

Ограничения на управление: 1  u  1 .Критерий качества управления: I  x3 (t N ) . Необходимо минимизировать критерий при помощи выбора кусочно-линейного управления, удовлетворяющего заданным ограничениям.Задача решалась для различного числа N интервалов разбиения при переходе к дискретной системе и времени запаздывания  . Минимальное значениефункционала, найденное эволюционными методами, представлено в табл. 3. Полученное решение сравнивалось с известным решением, найденным итерационным методом динамического программирования (ИДП).Таблица 3.

Результаты работы в примере 3N  10Метод  0.52.60802.60792.60772.60772.60772.60772.61212.60772.6076ГА бинарным кодированиемГА с вещественным кодированиемМетод ИИСМодифицированный метод ИИСРасширенный метод ИИСМодифицир. расширенный метод ИИСМДСМодифицированный МДСМетод ИДП 12.93072.93072.93042.93042.93052.93042.93992.93042.9302N  20  0.52.60662.60672.60672.60662.60672.60662.62172.60662.6064 12.92952.92952.92962.92952.92952.92952.94022.92952.9292По полученным результатамвидно, что эволюционным методамудалось найти решение, близкое к решению, найденному методом ИДП.Разработанные модификации методовпозволяют улучшить найденное методами без модификаций решение.