Гинзбург И.Ф. Введение в физику твёрдого тела. Часть I. Основы квантовой механики и отдельные задачи физики твердого тела (2003), страница 4

Этот набор образует базис векторного пространства. Далее буква f будет "значком" выбранного базиса, а индекс i перечисляетвекторы из этого базиса. Фигурные скобки в дальнейшем обозначаютслово совокупность. Так, {|fii} обозначает совокупность всех векторов|fii, то есть базис f .

Часто в качестве базиса выбирают набор собственных функций оператора какой–нибудь физической величины F . В этомслучае говорят о F – представлении и о волновых функциях в этом представлении.Ясно, что можно выбирать разные базисы, и надо научиться переходить от одного базиса к другому. В квантовой механике выбор базисаназывают выбором представления. Ранее обсуждались координатное (x)– и импульсное (p) – представления. Определим новый объект — проекционный оператор P̂i длясостояния |fii (он же – оператор проектирования на состояние|fii).

Его действие на произвольный вектор состояния |ai сводится квыделению из |ai составляющей, направленной вдоль |fiidefP̂i = |fi ihfi |(1.14)(без суммирования по значениям i).♦ Пример:В двумерном мире ~a = a1~e1 + a2~e2 . Пусть |f1i = |~e1 i и |f2i = |~e2 i.Тогда P̂1 |~ai = |~e1 ih~e1 |~ai = ~e1 (~e1~a) ≡ a1 |~e1 i,т.е. P1 действует как оператор проектирования на ось 1.Очевидно, что при суммировании по полному набору векторов состояния i получается единичный оператор (вне зависимости от конкретногобазиса f )XXP̂i =|fi ihfi | = 1̂.(1.15)ii Волновые функции.Мы уже говорили о волновых функциях в координатном и импульсном представлениях. Вообще, вектор состояния |ψi можно описать егопроекциями hfi |ψi на базис |fi i (как трёхмерный вектор — его проекциями на известные координатные оси):X|ψi =|fiihfi |ψi.iряд значений, то символ δij следует заменить на δ – функцию δ(i − j), асуммы на интегралы.17Набор проекций hfi |ψi ≡ ψ(fi) для всех векторов |fi i из базиса |f i называется волновой функцией состояния |ψi в f –представлении.В частности, "наивная" запись ψ(x) или ψ̃(p) описывает волновуюфункцию соответственно в координатном или импульсном представлении, значки x и p обозначают здесь как вид используемого представления, так и набор чисел – значений x и p.

Подобные обозначения нередкоиспользуют и для других представлений.Преобразование волновой функции к другому представлению описывается цепочкой равенств:onPo nPfgψ(g) =j Uji ψ(fj ) ≡j hgi |fj ihfj |ψi = {hgi |ψi} ,(1.16)fgUji ≡ hgi |fj i .Набор чисел Ujlf g определяет связь двух базисов (подобно матрицам преобразования при вращениях систем координат в трехмерном мире, которые образованы из косинусов и синусов углов поворота осей).

Эти числаобразуют матрицу преобразования U f g (матричное представление оператора преобразования Û f g ).♦ При измерении величины F в состоянии |ψi получается одно изсобственных значений f оператора F̂ с вероятностью |ψ(f )|2. В соответствии с этим волновую функцию ψ(f ) нередко называют амплитудойвероятности.♦ Пример:Волновая функция частицы с определенным импульсом в координатном представленииh~r|~pi = ψp (~r) = ei~p~r/~ (2π~)−3/2.Для любой волновой функции с учетом hr|pi = hp|ri∗ имеемZZe−i~p~r/~ψ(~p) = h~p|ψi = d3~rh~p|~rih~r|ψi = d3 rψ(~r) .(2π~)3/2ZZei~p~r/~33ψ(~r) = h~r|ψi = d ph~r|~pih~p|ψi = d pψ(~p) .(2π~)3/21.4.Операторы• Если задан способ, которым любой из векторов состояния преобразуется в другой вектор состояния |φi = Ĝ|ψi, то говорят, что задан18оператор Ĝ.

В квантовой механике рассматриваются обычно линейныеоператорыĜ(a1 ψ1(x) + a2 ψ2 (x)) = a1 Ĝψ1 (x) + a2 Ĝψ2(x) .• Рассмотрим какой–нибудь базис |fi i в пространстве состояний. Действие оператора Ĝ на функцию из этого базиса дает новую функцию,которую мы опять разложим по тому же базису:X fĜ|fi i =Gij |fj i.jЧтобы найти коэффициенты этого разложения Gfji , образуем, как обычно, скалярное произведение получившегося вектора на какой–нибудь вектор из этого же базиса |fk i. Считая наш базис ортонормированным, получим (после переобозначений) выражения для этих коэффициентов.

Кроме того, запишем и специфическое представление оператора в нашембазисе:PGfij = hfi |Ĝ|fj i; Ĝ|fii = Gfij |fj i;jP(1.17)f|fi iGji hfj |.Ĝ =i,jЧисла Gfij образуют матричное представление оператора Ĝ в базисе |fii.Можно сказать, что матрица Gfij – это оператор Ĝ в f – представлении.В этом базисе волновой вектор некоторого состояния |ψi задается своей волновой функцией, которую можно понимать как столбец ψi ≡ ψ(fi )(а сопряженную функцию — как строку ψj∗ ≡ ψ ∗ (fj )). Действие оператора на волновую функцию в этом представлении описывается какX fGf [ψ(f )] ≡ hfi |Ĝ|ψi =Gij ψ(fj ) .j Чтобы найти матричное представление нашего оператора в другомбазисе |g >, мы повторяем предыдущую процедуру, и с учётом (1.16)получаемXXX ∗f g f f gĜ =hgk |fiiGfij hfj |gl i ≡Uki Gij Ujl .|gk iGfkl hgl | ⇒ Ggkl =k,li,ji,j∗,f gобразуют матричное представление опеПоявившиеся здесь числа Ukifg †ратора преобразования (Û ) , получающееся из матрицы преобразования Û f g транспонированием и комплексным сопряжением.

Говорят, что19оператор (Û f g )† эрмитово сопряжён оператору Û . Если |gk i и |fii –ортонормированные базисы, то(Û f g )† Û f g = 1̂ ⇒ (Û f g )† = (Û f g )−1.(1.18)Такие матрицы (и операторы) называют унитарными, для них оператор(Û f g )† является оператором обратного преобразования.Мы не обсуждаем ниже неунитарные преобразования, искажающиенормировку (например, масштабное преобразование – одновременная растяжка всех осей в несколько раз).♦ Примеры:• Матрица оператора импульса в p̂ – представлении имеет вид h~p0 |p̂|~pi =~pδ(~p − p~0 ); в координатном представленииZ∂03 3 0 ∗000h~r |p̂|~ri = d pd p ψr0 (~p ) p~δ(~p − ~p )ψr (~p) = i~δ(~r − ~r ) .∂~rДействие этого оператора на волновую функцию ψ(~r) cводится к дифференцированиюZ∂ψ(~r)d3 r0 h~r|p̂|~r0 iψ(~r0 ) = −i~.∂~rСоответственно, p̂S (p) = p~, p̂S (r) = −i~∂/∂~r.• Аналогично, для оператора координаты мы имеем:∂h~r0 |r̂|~ri = ~rδ(~r0 − ~r); h~p0 |r̂|~pi = −i~ δ(~p0 − ~p),∂~pZ∂ψ(~p)d3 p0h~p|r̂|~p0 iψ(~p0 ) = i~.∂~pСоответственно, r̂S (r) = ~r, r̂S (p) = i~∂/∂~p.Видно, что в этих представлениях матрицы операторов r̂ и p̂ пропорциональны δ–функции или ее производной: Gf f 0 = Gs (f )δ(f − f 0).

Эрмитовы операторы.Назовем оператор B̂ эрмитово сопряженным к оператору Â (B̂ =+Âдля любыхR ), еслиR ∗ двух функций ψ1 и ψ2 справедливо соотношение∗(B̂ψ1) ψ2dx = ψ1 Âψ2 dx. (В матричной записи оператор Â+ получается из А посредством транспонирования и комплексного сопряжения, ). Оператор называется эрмитовым (или самосопряженным) если Â = Â+, т.е. если оператор совпадает со своим эрмитово сопряженным, или в (1.17) Aji = A∗ij . (Сравните с эрмитовыми матрицами валгебре).20Среднее значение физическойвеличины ARпо любому состоянию дейR ∗ствительно, т.е.

hAi = ψ · Âψdx = hAi∗ = ψ ∗ · Â+ψdx. Поскольку ψ– произвольная функция, то это означает, что Â = Â+ , т.е.оператор физической величины – эрмитов.(1.19) Собственныеоператора вещественны. ДейR ∗ значенияR эрмитова∗ствительно, ψλ Âψλ dx = (Âψλ ) ψλ dx → λ = λ∗ . Некоммутативность операторов, коммутаторыРезультат последовательного действия операторов на волновую функцию может зависеть от порядка действия; вообще говоря, ÂB̂ψ(x, t) 6=B̂ Âψ(x, t). В этом случае говорят, что операторы Â и B̂ не коммутируютдруг с другом.Пример:∂p̂x̂ψ(x, t) = −i~ (xψ(x, t)) ≡ −i~(ψ + xψ 0 ) 6=∂x∂ψx̂p̂ψ(x) ≡ −i~x≡ −i~xψ 0.∂xПоэтому (p̂x̂ − x̂p̂)ψ(x) = −i~ψ(x) для любой функции ψ(x).

Такимобразом, можно записать операторное равенство[p̂, x̂] ≡ p̂x̂ − x̂p̂ = −i~ .(1.20)[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â = iĈ.(1.21)H Коммутатор iĈ операторов Â и B̂ определяется соотношением: Собственные значения и собственные векторы. II.Собственные значения λ оператора Â определяются из решения задачи о собственных значениях, т.е. из уравнения (1.5) Â|ψλ i = λ|ψλ i. Еслиодному собственному значению λ соответствует несколько независимыхсобственных функций, то говорят, что это значение λ соответствует вырожденному состоянию.Собственные функции, отвечающие разным собственным значениям эрмитова оператора, взаимно ортогональны. Действительно, домно∗∗∗живλ = λψλ Rна ψµ , а (Âψµ ) R = µψµ на ψλ и проинтегрировав, получимR Âψλ ψµ∗ ψλ dx = µ ψµ∗ ψλ dx, т.е.

ψµ∗ ψλ dx = 0 при µ 6= λ.В случае вырождения можно выбрать собственные функции ортогональными. Поэтому всегда можно иметь в виду в качестве базиса ортонормированнуюсистему собственных функций какого–нибудь оператораR ∗ψm ψn dx = δmn .21• Система собственных функций ψn (x) эрмитова оператора полна:ZXF (x) =an ψn (x); an = ψn∗ (x0)F (x0)dx0;nF (x) =Zdx0F (x0)Xnψn (x)ψn∗ (x0) →Xnψn (x)ψn∗ (x0) = δ(x − x0 ).В этих соотношениях не выписаны индексы, напоминающие об операторе, собственными функциями которого являются ψn (x).♦ Полнота системы собственных функций эрмитова оператора Ĝ позволяет дать новое определение функции от оператора:Пусть эта система определяется соотношениями Ĝψn = Gn ψn .

Тогдадействие оператора f (Ĝ) на произвольную волновую функцию ψ определяется следующим образом. Запишем сначала разложение этой волновойPфункции по собственным функциям оператора Ĝ: ψ =an ψn . Тогдаnf (Ĝ)ψ =Xan f (Gn )ψn.(1.22)n Одновременная измеримость.Говорят, что величины A и B одновременно измеримы, если существует полная система векторов состояний |ψn i, таких, что они являются одновременно собственными векторами Â и B̂, т.е. Â|ψn i = an |ψn i,B̂|ψn i = bn |ψn i.В силу полноты системы |ψn i, произвольное состояние |ψi можно разPложить по этому базису: |ψi = cn |ψn i. При этомPPÂB̂|ψi =cn an bn|ψn i =cn B̂ Â|ψn i = B̂ Â|ψinn⇒ (ÂB̂ − B̂ Â)|ψi = 0.Но поскольку это равенство имеет место для произвольного вектора |ψi,то в этом случае операторы Â и B̂ коммутируют, [Â, B̂] = 0.Справедливо и обратное утверждение: если [Â, B̂] = 0, то Â и B̂имеют общую систему собственных функций, т.е.

одновременно измеримы. Действительно, пусть |ψa i — собственный вектор оператора Â:Â|ψa i = a|ψa i. Тогда B̂ Â|ψa i = aB̂|ψa i = ÂB̂|ψa i, т.е. B̂|ψa i есть такжесобственная функция Â с тем же собственным значением a. Если спектрне вырожден, отсюда следует, что B̂|ψa i с точностью до множителя совпадает с |ψa i, т.е. B̂|ψa i = b|ψa i, что и требовалось показать. В случае22Pвырождения можно выбрать такие линейные комбинацииci |ψia i, которые будут собственными функциями B̂.Итак, две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют. Полный набор наблюдаемых.Говоря о состояниях системы, далее мы имеем в виду, что оно определено каким-нибудь полным набором величин (наблюдаемых), т.е.таким набором, который обладает следующими свойствами:H Все эти величины одновременно измеримы.H В состоянии, где все эти величины имеют определённые значения,никакая другая величина (не являющаяся их функцией) не может иметьопределённого значения.1.5.Оператор импульса, оператор конечного сдвигаПокажем теперь на примере, как получаются выражения для операторов некоторых физических величин.Зададим достаточно гладкую функцию f (x), и определим операторT̂a сдвига координат на величину a соотношением:T̂a f (x) = f (x + a).(1.23)Разложим сдвинутую функцию в ряд Тейлора: 2 3a2 da3 ddf (x) +f (x) + ...f (x + a) = f (x) + a f (x) +dx2! dx3! dxd≡ exp af (x).dxТаким образом, можно записатьT̂a = ea(d/dx) .(1.24)Оператор импульсаЕсли система обладает трансляционной инвариантностью, т.е.