Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994), страница 5

Счет по программе продолжается несколько секунд, минут или часов. Именно быстротечность этого этапа порождает распространенную иллюзию о возможности решать важные прикладные задачи на ЭВМ в очень короткое время. В действительности же, конечно, необходимо принимать во внимание весь цикл от постановки проблемы до использования результатов. Для серьезных задач часто полезные результаты получаются только в результате многолетней работы. 9. Обработка и интерпретация результатов. Полученные в результате расчетов на ЭВМ выходные данные, как правило, представляют собой большие массивы чисел. Начинающий пользователь часто пытается вывести эти массивы на печать с тем, чтобы "потом провести их анализ". Обычно первый же опыт анализа распечатки, содержащий, сотни тысяч чисел, приводит к пониманию того, что эта работа непосильна для человека и следует постараться возложить ее на ЭВМ. Зачастую первоочередной интерес представляет лишь небольшая часть полученной информации 1например, значения одной из функций в выделенных точках) или даже некоторая грубая интегральная характеристика (максимальное или минимальное значение, оценка энергии системы и т.д.).

Для того чтобы исследователь мог воспользоваться результатами расчетов, их необходимо представить в виде компактных таблиц, гра— фиков или в иной удобной для восприятия форме. При этом следует максимально использовать возможности ЭВМ для подготовки такой информации и ее представления с помощью печатающих и графических выходных устройств. Для правильной интерпретации результатов расчетов и оценки их достоверности от исследователя требуется глубокое знание существа решаемой инженерной задачи, ясное представление об используемой математической модели и понимание (хотя бы в общих чертах) особенностей применяемого вычислительного метода.

19 Вопросы обработки и интерпретации результатов вычислений будут затронуты при рассмотрении конкретных вычислительных методов и алгоритмов. 10. Использование результатов и коррекция математической модели. Завершающий этап состоит в использовании результатов расчетов в практической деятельности, иначе говоря, во внедрении результатов. Не стоит огорчаться, если большинство полученных сначала результатов окажется бесполезным. Действительно полезные для практики результаты являются плодом серьезной целенаправленной работы, в процессе которой цикл решения задачи повторяется неоднократно. Очень часто анализ результатов, проведенный на этапе их обработки и интерпретации, указывает на несовершенство используемой математической модели и необходимость ее коррекции.

В таком случае математическую модель модифицируют (при этом она, как правило, усложняется) и начинают новый цикл решения задачи. з 1.3. Вычислительный эксперимент Создание математических моделей и решение инженерных задач с применением ЭВМ требует выполнения большого объема работ (см. ~ '1.1, 1.2). Нетрудно заметить аналогию с соответствующими работами, проводимыми при организации натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов, обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Однако вычислительный эксперимент проводится не над реальным объектом, а над его математической моделью, и роль экспериментальной установки играет оснащенная специально разработанной программой ЭВМ.

В связи с этим естественно рассматривать проведение больших комплексных расчетов при решении инженерных и научно-технических задач как вичислителъхий эксперимент, а описанную в предыдущем параграфе последовательность этапов решения как один его цикл. Широкое применение ЭВМ в математическом моделировании, разработанная теория и значительные практические результаты позволяют говорить о вычислительном эксперименте как о новой технологии и методологии научных и прикладных исследований. Серьезное внедрение вычислительного эксперимента в инженерную деятельность лишь начипается, но там где оно происходит реально (в авиационной и космической промышленности) его плоды весьма весомы. Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натурным.

Вычислительный эксперимент, как правило, 20 дешевле физического. В этот эксперимен~ можно легко и безопасно вмешиваться. Его можно повторить еще раз (если в этом есть необходимость) и прервать в любой момент. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории. Заметим, что в ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено (а иногда и невозможно), так как изучаются быстропротекающие процессы, исследуются труднодоступные или вообще пока недоступные объекты. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с онасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование результатов катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление климата, землетрясение).

В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. Заметим, что с его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов'на стадии их проектирования. Существенным недостатком вычислительного эксперимента является то, что применимость его результатов ограничена рамками принятой математической модели. Конечно, вычислительный эксперимент никогда не сможет полностью заменить натурный, и будущее за их разумным сочетанием. Действительно, построение математической модели основано на результатах наблюдений, опыта, а достоверность ее выводов проверяется с помощью критерия практики.

Для инженерных задач характерно наличие значительного числа параметров (конструктивных, технологических и др.). Создание нового изделия или технологического процесса предполагает выбор среди большого числа альтернативных вариантов, а также оптимизацию по ряду параметров.

Поэтому в ходе вычислительного эксперимента рас— четы проводятся многократно с разными значениями входных параметров. Для получения нужных результатов с требуемой точностью и в приемлемые сроки необходимо, чтобы на расчет каждого варианта тратилось минимальное время. Именно поэтому при создании программного обеспечения так важно использовать эффективные численные методы. Разработка программного обеспечения вычислительного эксперимента в конкретной области инженерной деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса.

Он состоит из связанных между собой прикладных программ и системных средств, включающих средства, предоставляемые пользователю для управления ходом вычислительного эксперимента, обработки и представления его результа- 21 тов. Такой комплекс программ иногда называют проблелно-ориенпгиро- ванныл пакетол прикладных програлл. З 1.4.

Дополнительные замечания 1. Математическое моделирование является основой современной методологии решения инженерных задач, и его роль объективно возрастает в связи с необходимостью решения все более сложных прикладных проблем. 2. Эффективность применения ЭВМ в той или иной области науки и техники тем выше, чем совершеннее ее математические модели. В то же время использование ЭВМ для исследования каких-либо процессов часто служит серьезным стимулом для создания новых математических моделей и детального изучения этих процессов другими методами. 3.

Само по себе применение ЭВМ не позволяет решить инженерную задачу, а лишь дает в руки исследователя мощный инструмент познания. Использование ЭВМ не только не освобождает от необходимости глубоко осмыслить решаемую проблему, но и заставляет уделять постановке задачи гораздо больше внимания. 4. Вычислительный эксперимент не противоречит натурному эксперименту и классическому математическому анализу инженерной задачи, а, напротив„ находится с ними в органическом единстве.

5. Для успешного применения метода математического моделирования с использованием ЭВМ необходимо гармоническое владение всеми его составляющими. В настоящем пособии основное внимание уделено вычислительным методам и алгоритмам, анализу свойств вычислительных задач, интерпретации получаемых результатов. 6. Дополнительную информацию о методологии современного математического моделирования и концепции вычислительного эксперимента можно получить из следующих источников: [65], [78], [81], [47], [58]. 7. Популярное изложение принципов организации и функционирования проблемно-ориентированных пакетов прикладных программ содержится, например в [45]. Глава 3 ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ 3 2.1.

Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, очень важно с самого начала признать, что получить точное значение решения практически невозможно и не в этом цель вычислений. Получаемое на ЭВМ решение у* почти всегда (за исключением некоторых весьма специальных случаен) содержит погрешность, т.е. является приближенным. Невозможность получения точного решения следует уже из ограниченной разрядности вычислительной машины. Наличие погрешности решения обусловлено рядом весьма глубоких причин.

Перечислим их. 1в. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу. 2с. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач. Зв.

Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможчо только в отдельных, очень упрощенных ситуациях. 4с. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления. Пусть у — точное значение величины, вычисление которой является 23 целью поставленной задачи. Соответствующая первым двум из указанных причин погрешность б„у называется неустранил~ой погрешностью.