Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994), страница 2

Дается представление о проекционных методах Ритца и Галеркина; обсуждается один из их современных вариантов — метод конечных элементов. Завершает главу рассмотрение метода пристрелки. Можно предположить, что к изучению отдельных параграфов или даже глав этой книги читатель приступит, только столкнувшись с необходимостью решить на ЭВМ важную для него задачу. Вероятно, в этом случае польза от изучения соответствующего раздела будет наибольшей. Многие вопросы рассмотрены очень кратко или не рассмотрены вообще. Авторы надеются на то, что соответствующие пробелы можно восполнить, используя сделанные в тексте ссылки на известные учебники и монографии. В ряде случаев авторы позволяют себе интерпретировать те или иные результаты, делать определенные выводы и даже давать рекомендации в надежде на то, что для новичка соответствующие рассуждения дадут полезный начальный ориентир.

В целом же ко всяким рекомендациям в такой сложной и многообразной области, как применение вычислительных методов для решения прикладных задач на ЭВМ, следует отнестись с осторожностью. Они не могут претендовать на бесспорность и их следует рассматривать скорее как отражение точки зрения авторов, Иногда то или иное положение обосновывается ссылкой на вычислительную практику. Хотя критерий практики и играет при отборе методов вычислений существенную роль, все же оценки методов, основанные на результатах их применения для решения конкретных задач, нередко бывают весьма субъек— тивны и противоречивы. В заключение отметим, что никакие теоретические положения и советы не могут заменить собственного опыта вычислительной работы. Как надеются авторы, параллельно с изучением данной книги такой опыт может приобрести читатель переходя от решения задач учебного характера к серьезным практи— ческим задачам.

Автиоры Глава 1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ В этой главе дается общее представление о методе математического моделирования, в том числе о процессе создания математических моделей, о последовательности этапов решения инженерной задачи с применением ЭВМ, о вычислительном эксперименте.

Разделение решаемых с применением ЭВМ прикладных задач на инженерные, научные, экономические и т.п. является до известной степени условным. Тем не менее при написании данного пособия авторы ориентировались на читателя, интересующегося решением именно инженерных задач. Попытаемся охарактеризовать этот класс задач, выделив его некоторые характерные особенности. 1.Инженерные задачи имеют ярко выраженную практическую направленность. Целью их решения является создание новой конструкции, разработка нового технологического процесса, минимизация затрат на производство некоторого изделия и т.д.

Поэтому для таких задач характерна необходимость доведения результатов до конкретных чисел, графиков, таблиц, на основании которых можно принимать решения. 2. Эти задачи характеризуются значительным объемом выполняемой вычислительной работы. 3. Для этих задач характерно использование достаточно сложных математических моделей и серьезного математического аппарата. 4. Как правило, инженерные задачи решают специалисты, имеющие техническое образование, но не являющиеся профессионалами в области разработки математических методов и программного обеспечения ЭВМ. Поэтому естественно желание этих специалистов использовать готовые вычислительные методы и стандартное математическое программное обеспечение.

Наконец, условимся считать, что в рассматриваемый класс задач входят задачи только умеренной сложности. Для их решения не требуются сверхбольшие скорости вычислений и сверхбольшие объемы 7 памяти для хранения данных. Таким образом, эти задачи могут быть решены с помощью ЭВМ, доступных массовому пользователю. Те же задачи, которые требуют для решения сверхмощной вычислительной техники и принципиально новых алгоритмов, будем относить к катЕго— рии научных задач. ~ 1.1 Математическое моделирование и процесс создания математической модели Математичесхое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математичесхих моделей. Этот метод чрезвычайно плодотворен и известен уже несколько тысячелетий. Насущные задачи земледелия и строительства еще в древние времена приводили к необходимости определения площадей и объемов, а следовательно, и к рассмотрению элементарных геометрических фигур, дающих пример простейших математических моделей.

Возможности математического моделирования и его влияния на научно технический прогресс неизмеримо возросли в последние десятилетия в связи с созданием и широким внедрением ЭВМ. Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов: 1) построение математической модели; 2) постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач; 3) проверка качества модели на практике и модификация модели. Рассмотрим основное содержание этих этапов. 1. Построение математической модели. Предполагается, что с помощью наблюдений и экспериментов, практики (понимаемой в самом широком смысле) получена достаточно подробная информация об изучаемом явлении. Для рассматриваемого этапа характерно глубокое проникновение в полученные факты с целью выяснения главных закономерностей.

Выявляются основные "характеристики" явления, которым сопоставляются некоторые величины. Как правило, эти величины принимают числовые значения, т.е, являются переменными, векторами, матрицами, функциями и т.д. Установленным внутренним связям между "характеристиками" явления придается форма равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в математическую модель. Таким образом, математическая модель становится записью на языке математики законов природы, управляющих протеканием исследуемого процесса или описывающих функционирование изучаемого 8 объекта.

Она включает в себя набор некоторых величин и описание характера связи между ними. Построение математических моделей — существенная и очень важная часть естественных и технических наук. Эта задача, требующая от исследователя глубокого знания предметной области, высокой математической культуры, опыта построения моделей, развитой интуиции и многого другого.

Создание удачной новой модели — всегда крупное достижение соответствующей науки, а иногда и целый этап в ее развитии. Подчеркнем, что математическая модель неизбежно представляет собой компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания. Модель должна быть достаточно полной, для того чтобы оказаться полезной для изучения свойств исследуемого явления. В то же время она обязана быть достаточно простой, для того чтобы допускать возможность ее анализа существующими в математике средствами и ее реализации на ЭВМ.

Из огромного числа характеристик явления и действующих на него факторов требуется выделить основные, определяющие, отбросив при этом второстепенные, несущественные. Нередко в математическую модель закладываются некоторые гипотезы, еще не подтвержденные на практике. Такую математическую модель часто называют типогпетичесхой. Приведем пример простейшей математической модели. Пример 1.1. Пусть исследуется движение тела, брошенного со скоростью и~ под углом а к поверхности Земли.

Будем считать, что в рассматриваемом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха, считать Землю плоской, а ускорение свободного падения д — постоянной. Введем систему координат, ее начало поместим в точку бросания, ось Ог направим горизонтально в направлении бросания, а ось Оу— вертикально вверх (рнс. 1.1). Пусть Рис 1.1 и (т) и ш (т) — горизонтальная н вертикальная составляющие скорости и(т1 в момент времени 1 (в начальный момент 1 = О, и = и~), Согласно законам механики, прн сделанных предположениях движение тела в горизонтальном направлении является равномерным, а в вертикальном— равноускоренным с ускорением, равным — у.

Поэтому справедливы следующие равенства: и = иг соя а, х = (иг соя а)т, и = гЬ я1п а — д1, у = (иг я1п а)т —— 12 2 (1.1) (1.2) Формулы (1 1), (1 2) и дают простейшую математическую модель Рассматрива— емого явления, созданную в ХЧП в. Г.Галилеем1. Заметим, что при 0 < а < < х/2 траектория движения представляет собой параболу 2 2Я сояг а ~ Галилео Галилей (1564 — 1642) — итальянский физик, механик, астроном, один из основателей точного естествознания.

10 Математические модели часто разделяют на статические и динамические. Статическая модель описывает явление или ситуацию в предположении их завершенности, неизменности (т.е. в статике). Дина иинесная иодель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому (т.е.

в динамике). При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени. 2. Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи. Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы: 1) исходные (входные) данные х; 2) паралаетры модели а; 3) иснолое решение (выходные данные) у. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени у = у (ь); переменная 1 в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль. Наиболее часто решают так называемые пряные задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров а требуется найти решение у.