Дерябина Г.С.++Чуев В.Ю.++Вектор-функция нескольких перменных. 2002г (МУ -Вектор-функция нескольких переменных), страница 2

Но- 0 Хо кажем, что выполнено определение 1. Возьмем произвольное с > О. Множество точек У, для которых выполнено условие ~У вЂ” У~~ < с, является окрестностью У(Уо) точки Уо. Поэтому для нее можно найти проколотую окрестность 11(Хо) точки Хо, для всех точек которой выполнено условие У = Г(Х) Е У(Уо) или неравенство ~У вЂ” У о ~ < с. А для каждой проколотой окрестности 11(ХО) можно найти 6 > О, такое, что множество точек Х, уловлетворяющих условию О < ~Х вЂ” Х~~ < 6, целиком лежит в проколотой окрестности о'(Х ), а значит, для них вь-ю полняется неравенство )Г(Х) — У~( < к. Таким образом, для 'оя > О 36 > О, такое, что для ЧХ, удовлетворяющего неравенству О < (Х вЂ” Ло! < 6, выполнено неравенство (Г(Х) — Уо! < к, т.е.

выполнено определение 1. Пусть Уо = 1пп Г(Х) согласно определению 1. Нока- Х жем, что выполнено определение 2. Возьмем произвольную окрестность У(Уо) точки Уо. Можно найти такое к > О, что эта окрестность У(Уо) будет содержать открытый гцар У(УО, с) = (У: (У вЂ” Уо( < а). Тогда для всех У = Г(Х), таких, что )У вЂ” У"! < к, выполняется условие Г(Х) е У(Уо). В силу определения 1 В6 > О такое, что для всех Х, удовлетворяющих неравенству О < ~Х вЂ” Л о~ < 6, будет выполняться неравенство ~У вЂ” Уо ~ < к, Множество точек, удовлетворяюглих неравенству О < ~Х вЂ” Х ~ < 6, является проколотой окрестностью о'(Хо) точки ХО.

'1аким образом, для кажцой окрестности У(Уо) точки Уо можно указать проколотую окрестность У(Х ) точки Хо, для всех точек которой выполнено условие У = Г(Х) Е У(У~), т.е. выполнено определение 2. Теорема (о связи между пределом ВФНП и пределами ее координатных функций). Точка то-мерного пространства У~ =. (у~,у~в,...,у~о) является пределом ВФНП У = Г(Х) = = Г(хм хз,..., х„) при Х вЂ” 1 Хо = (хоыхе~,..., х~) тогда и только тогда, когда все ее координаты являются пределами соответствующих ксюрдинатных функций этой ВФНП, т.е.

У 1пц Г(Л) со у, Нп1 /;(Х) лля Чз 1) 2,, ~п Х .Хо Х Хо Доказательство. Пусть дана У = Г(Х) = (Л(Х), 1з(Х),..., Го(Х)). При доказательстве теоремы булем использовать определение 1 прелела ВФНП. Необходимость. Пусть УО = 1пп Г(Х). Это означает, Х- Хо что для И > 0 Зб > 0 такое, что для ЧХ, удовлетворяющих условию 0 < )Х вЂ” Л О) < б, выполнено неравенство )Г(Х) — Уо! = < е. Тогда для 'о'г' = 1,2,..., т выполня- ется неравенство < х.

А это означает, что 1пп ЯХ) = до для Чг' = 1, 2,..., гп. Х Хо' Постаточность. Пусть сушествуют конечные пределы до = 1шд ЯХ) для всех г = 1,2,...,т. Это означает, что для Х Хо 'ое > 0 найдется б, > О, такое, что для всех Х, удовлетворяющих условию 0 < р(Х, Хо) < б,, выполняется неравенство ~Д(Х)— 0 — д ~ < —. Возьмем б = ппп(бд,бг,...,бог). Тогда длк всех ~/ж Х, удовлетворяющих условию 0 < (Х вЂ” Х ! < б выполняется -0 Уо! Е Е т.е.

~Г(Х) — Уо~ < к. А это означает, что 1пп Г(Х) = Уо. Х,Хо Определение. ВФНП У = Г(Х) называется бесконечно малой в точке Хо, если ее пределом в точке является точка со всеми нулевыми координатами, т.е. Ндп Г(Х) = 0 = Х. Хо = (0,0,...,0). Пример 5. Пусть У = Г(Х), У = (дд, дг), Х = (хд, хг), 2 хг.Охх Х1 + Х2 2 дд = (1+ хг + х~г)*1~'г, дг = 2 2 . Требуется найти Б!п(х1 + х2) 1пп Г(Х). 12 Найдем пределы координатных функций: г 1пп дд = 1пп (1+ хд + хг) д 2 = (введем новую переченнудо О хд О хг хг О Д = хг+ хг; Д вЂ” О) = 1пп(1+1)Т = ( используем второй замеча; 21 г-~0 12 тельный предел ) = 1пп(1+1)т~ = е; 2. ~ г-~О 1+ 2 3 3 1пп д2 = 1пп = (так как хд+хг — х О, исполь- 2 2 хд О хг О Знд(Х +Х ) 2 2 хг О хг О 3 3 зуем эквивалентность здп(х~д + хг) хд + хг) = 11пд хз + йзхз хз(1+ йз) (сделаем замену хг = йхд) = 1пп 2 2 2 — — Нгп хд ОХ +йгХ хд ОХ (!+й х (1 + йз) — 1пп 1+ йг —— О.

В случае, если хд = О, а хг — О, получаем 3 3 1пп дг = 1пп = 1пп — = 1пп хг = О. 2 2 хг 0 юп(х ) хг- 0 хг хг- О 2 2 хг О 2 Таким образом, 1пп Г(Х) = 1пп Г(Х) = (ег, О). Х- 0 О х2 О 3+ 2 Пример 6. 1пп д не сушествует, так как в любой хд-О Х + Х2 х,-о проколотой окрестности точки 0(0; 0) расположено бесконечное множество точек параболы хгд + хг = О, которая не входит в область сушествования данной функции, Определение. ВФНП У = Г(Х) называется непрерывной в точке Хо = (хо, хо,..., хо), если она определена в некоторой окрестности точки Хо и ее предел в точке Х равен ее значению "0 в этой точке, т,е.

1пп Г(Х) = Г(ХО). Хо 13 Определение. ВФНП У = Г(Х) называется непрерывной на множестве В С В", если она непрерывна. в каждой точке этого множества.. Теорема (о непрерывности ВФНП). ВФНП У = Г(Х) непрерывна в точке Х = (х1,х2,...,х„) тогда и только тогда, -о,о о о когда все ее координатные функции непрерывны в этой точке. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из определения непрерывности ВФНП в точке и теоремы о связи между пределом ВФНП н пределами ее координатных функций.

Определение. Пусть даны ВФНП У = Г(Х), Х = С(Т), где У, Х, Т вЂ” точки соответственно в т-мерном, и-мерном и й-мерном пространствах, т.е, У = (у1,у2,...„у„,), Х = (х1,хз,...,х„), Т = (11,12,...,1ь). Тогда вектор-функция У = Г(С(Т)) = Н(Т) называется сложной ВФНП, или композицией вектор-функций С(Т) и Г(Х). Теорема (о непрерывности композиции ВФНП). Пусть ВФНП У = Г(Х) непрерывна, в точке Ло, а ВФНП Х = С(Т) непрерывна, в точке Т, причем Х = С(То). Тогда композиция функций С(Т) и Г(Х), т.е. ВФНП У = Г(С(Т)), непрерывна в точке То. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы о непрерывности сложной скалярной ФНП и теоремы о непрерывности ВФНП.

Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЯ'ЕМОСТЬ ВФНП Введем понятие полного и частного приращений ВФНП. Пусть даны точки и-мерного пространства Х (х1'х2' ' ' хп) и Х = Л +ЬХ = (х~+Ьх1, 'х2+Ьх21. 1хп+ +Ьх„) и ВФНП У = Г(Х), У = (у1.,у2,...;ут) и пусть Г(Хо) = Уо Г(Х1) Определение. Полным приращением ВФНП У = Г(Х) в точке Хо называется т-мерный вектор ЬГ(Х ) = Г(Х1)— — Г(Хо) = У1 — 1'о, т.е, т-мерный вектор, соединяющий точки Уо = Г(ХО) и У1 = Г(Х1). 14 Зафиксируем теперь все координаты точки Х, кроме ее ~-й коорцинаты, а 1-й координате дадим приращение гзх . Определение.

Частным приращением ВФНП У = Г(Х) в точке Х по переменной х (по 1-й переменной) называется т-мерный вектор Ь,Г(Х') = Г(х1;...; х,' 1; х,'+ Ьх,", х'+1,..., х'„)- о, , о, . о — Г(х1,'..., х;... 1х„). Понятие частной производной ВФНП определим аналогично тому, как она была определена для скалярной ФНП. Определение. Частной производной ВФНП У = Г(Х) по переменной х в точке Хо называется предел отношения ее частного приращения по переменной х к приращению этой переменной, т.е. дГ о ЬуГ(Л о) — (Х') = 11п1 дх ьх; — ~о Ьх„ Отметим, что если ВФНП У = Г(Х) отображает в-мерное пространство в т-мерное, т.е. Г: гг" — Я'в, то ее частные производные также являются вектор-функциями А" — Л™", причем в качестве образов удобнее рассматривать точки т-мерного пространства, а не т-мерные векторы.

Теорема (о частных производных вектор-функции). Координатные функции частной производной ВФНП по переменной дГ х — равны соответствующим частным производным коордх. з' динатных функций у, = ЯХ) исходной функции У =- Г(Х) дГ 1 дЛ дЬ д3','1 по той же переменной, т.е. — =~ —; —;...; — ) для дх ~, дх, ' дх ' ' ' ' дху,/ Ч1' = 1,2,...,в. Доказательство этой теоремы следует из определения частной производной ВФНП и скалярной ФНП, а также из теоремы о связи между пределом ВФНП и пределами ее координатных функций.

ду» дх дуг дхе ду» ду» дх» дх2 ду2 дуг дх» дхг дУ д(у» ' уг' " ' у ) дХ д(х»; хг;..., хн) япВ 0 т сов О ду„, ду„, дуга дх» дхг ''' дх„ а якобиан этой ВФНП равен которая называется В частности, для матрица Якоби меннон Их) 1г(х) у = ~(х) = у»в(х) (Их) Их 4г(х) »1х ду дх ф„(х) Ых 16 17 Исходя из этой теоремы лщжно ввести матрицу частных производных ВФНП У = Г(Х); матрицей Якоби этой вектор-функции.

скалярной ФНП у = 1(х», хг,..., х„) представляет собой матрицу-строку д1 '1 †), а для вектор-функции одной перед„) она представляет собой матрицу-столбец / дУ'1 При и» = п определитель»1е1~ — ) матрицы Якоби ВФНП ~дХ) У = Г(Х) называется якобианом. Пример 7. Пусть дана ВФНП Г: (т,»р,В) — (х,у,з), х = = т сов»р сов О, у = т яп ~р сов В, х = т яп В, задающая переход к сферическим координатам. Ее матрица Якоби имеет вид соырсов — тв1п»р сов 0 -гсов»рв»пО А = в1п»рсовВ тсов»рсовВ -тяп»рв1пВ сов»р сов Π— т в1п»р сов  — т сов»р яп В яп»рсовВ тсов»рсов — тяп»рв1пО япО О тсовО = яп Втг(в»п~ »р сов В яп О + совг»р сов О яп О)+ +тсовВт(совг»рсовг О+ яп»рсовгО) = тг совОяп В+ тг совг О = 2 = т совО(сов О+ яп 0) = т совО.

Введем понятие дифференцнруемой ВФНП. Определение. ВФНП У = Г(Х) называется дифференцируемой в точке Х = (х», 'хг,'...',х„), если ее полное приращение может быть представлено в виде ЬУ(Х ) — ~ьГ(Х ) = а» Ьх» + агЬхг +... + а„Лх„+ +й»(Ьх»; Лхг;...; Кх„уКх»эт +<~2(»-1х»» с»хг»»»-»хв)с1хг + + ов(»зх»1»~хг) ° ° »»зхп)с»хп где а», аг,..., а„— постоянные т-мерные векторы, не зависящие от приращений аргументов Ьх», Ьхг,..., Ьх„; а», ог,..., а„— бесконечно малые и»-мерные ВФНП при р — 0 (л,х»)г+ (Лхг)2+ "+ (Ьх )2). Замечание. Можпо доказать, что ВФНП У = Г(Х) дифференцнруема в точке Х тогда н только тогда, когда ее коорди.о натные функции у, = Д(Х), 1 = 1, 2,..., т, дифференцнруемы в этой точке.