Грибов А.Ф., Котович А.В., Минеева О.М. Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости (2004)

Московский государственный технический университет имени Н.З. Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. БАУМАНА А.Ф. Грибов, А.В. Котович, О.М. Минеева ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Методические указания по выполнению домашнего задания Нод редакцией ГП. Стась Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004 УДК 513.61 ББК 22.147 Г82 Рецензен г ЛД. Покровский 18ВМ 5-7038-2510-5 УДК 513.61 ВБК и.147 18В1ч 5-7038-2510-5 © МГТУ им. Н.З. Баумана, 2004 Грибов А.Ф» Котович А.В., Минеева О.М.

Г82 Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости: Методические указания / Под ред. ГП. Стась. — Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 31 сл ил. В работе рассмотрены способы эскизирования кривых на плоскости, заданных параметрически и в полярной системе координат, т. е. способы построения эскизов (набросков) таких кривых беэ проведения полного исследования уравнений, их задающих, с привлечением первой и второй производной.

Приведены примеры построения кривых каждым из указанных способов и представлены варианты задания для самостоятельной рабаты студентов. Для студентов первого семестра, выполняющих приведенное задание в рамках домапвего задания «Графики элементарных функций». Ил. 18, Библиогр. 5 назв. ВВЕДЕНИЕ Наряду с явным заданием кривых на плоскости в декартовой системе координат Оху, когда зависимость х от у определяется выражением у = у (х), и неявным, когда х и у связаны между собой уравнением Г(х, у) = 0 (Ц, часто используется параметрическое задание. В неюторых случаях (нвпример, при исследовании вращательных движений) удобно использовать полярную систему координат.

Поэтому, как и при рассмотрении графиков функций, заданных в декартовой системе координат, возникает задача эскизирования кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плосюсти. Под эскизированием графика функции (кривой на плоскости) понимают построение эскиза (наброска) графика функции (кривой на плоскости) без проведения полного исследования функции (функций или уравнений, задающих кривую) с привлечением первой и второй производной (21.

Однаю такой эскиз должен достаточно точно отражать основные особенности поведения функции (кривой). 1. ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗОВ ПЛОСКИХ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Зафиксируем на плоскости декартову прямоугольную систему координат Оху. Множество точек плоскости, координаты которых х и у определяются непрерывными на некотором множестве Р С В значений параметра Ф функциями Однако такой переход не всегда возможен или зависимость у = Г" (х) достаточно сложна для построения кривой, В этом случае для эскизирования кривой, заданной параметрически, можно использовать один из следующих способов.

1 способ, Идея построения кривой в этом случае состоит в том, что, построив два вспомогательных графика х = х(г) и у = у(г), искомую кривую в системе координат Оху получают путем соединения кусков (частей) кривой, соответствующих нулям, точкам экстремума и бесконечности каждой из функций х = х(г) и у = у(~) при одинаковых значениях параметра 8. Пример 1. Рассмотрим построение этим способом кривой, задаваемой параметрически следующими уравнениями: 1 х=з+-, $' 16 у г + $2 ' называется параметрически заданной кривой.

Если параметром Г является время, то формулы (1) определяют закон движения материальной точки на плоскости, а кривая, получающаяся при этом движении, называется траекторией. Фиксированному значению х из первого уравнения (1) соответствует некоторое значение 1, по которому из второго уравнения (1) можно определить значение у. При этом может оказаться, что одному значению х соответствуют несколько значений параметра 8 и соответственно переменной у. В этом случае задаваемая соотношениями (1) функция является многозначной, Иногда от параметрического задания кривой можно перейти к явному аналитическому. Для этого из уравнения х = х(г) параметр 1 выражают через х н, подставив результат в уравнение у = у(8), получают зависимость у от х (у = Г" (х)). Тогда задача эскизирования кривой, заданной параметрически, сводится к аналогичной задаче для явно заданной функции у = Г" (х).

1 Строим два вспомогательных графика: х = 1 + — (рис. 1) и 16 у = $~ + — (рис. 2). График первой функции можно построить, 12 1 сложив функции х = 1 и х = — (3), графиками которых явлиогся й соответственно прямая и гипербола, Аналогично„складывая функ- 16 ции у = Ф и у = —, графиками которых являются соответственно 12 ' парабола и гипербола, получаем второй график функции. Отметим, что из уравнения кривой видно, что она симметрична относительно оси ординат: при изменении знака г меняется только знак абсциссы и сохраняется знак и абсолютное значение ординаты.

Следовательно, достаточно построить кривую только для отрицательных значений Ф или только для положительных значений К Определяем те значения параметра г, при которых либо первая, либо вторая функция достигает нулевых, экстремальных значений или не определена. Нулей (точек пересечения с осями координат) ни у одной из рассматриваемых функций нет. При г = 0 обе функции не определены, причем при приближении к этому значению с положительной части оси От обе функции принимают неограниченно большие положительные значения, а с отрицательной части оси ОФ вторая функция у($) в силу ее четности также неограниченно возрастает, а первая функция х(г) в силу ее нечетности принимает неограниченно большие отрицательные значения, т.

е. неограниченно убывает. Из графиков (см. рис. 1 и 2) видно, что функция х(1) достигает экстремальных значений при Ф = а и 1 = Ь, а функция у(Ф)— при Ф = с и 1 = Ы, причем абсолютные значения с и Н больше, чем абсолютные значения а н Ь. Простым перебором значений $ нетрудно установить, что функция а(т) достигает локального максимума при 3 = — 1 (т, е.

а = — 1) и локального минимума при Ф = 1(т. е. Ь = 1), а функция р(г) достигает локального минимума при 1 = 2 (т. е. с = 2) и т = — 2 (т. е. д = — 1). Переходим к построению искомой кривой на плоскости жОу. При изменении параметра $ от — со до точки с значения т возрастают от — оо до х(с), а значения у убывают от от +со до у(с). Исходя из этого для удобства изложения выберем точку М при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика отрицательных Рис. 3 Вторую ветвь искомой кривой, лежащую в первом квадранте, можно построить аналогично, или, с учетом установленной выше симметрии, отразив симметрично относительно оси ординат . построенную кривую. Пример 2.

Построить на плоскости кривую, заданную параметрически следующими уравнениями: с У=8 у = й(à — 1)(Х вЂ” 2). Как и в примере 1, строим два вспомогательных графика: ж = гз (рис. 4) и у = 8($ — 1)(Ф вЂ” 2) (рис. 5), Графиком первой функции является парабола, проходящая через начало координат, с ветвями, направленными в положительную сторону оси Ох [3). График второй функции можно построить, например, перемножив три функции, графиками которых являются прямые, задаваемые уравнениями р = й, р = $ — 1, р = й — 2 [3). значениях х и положительных значениях р и точку С с координатамн я(с) и р(с). Соединим зти две точки плавной непрерывной кривой (рис.

3). При изменении параметра ~ от с до а значения т и у возрастают соответственно от х(с) до т(а) и от у(с) до у(а), оставаясь одинаковыми по знаку. Отметим точку А(х(а), у(а)) и соединим точки А и С. При изменении параметра г от а до 0 значения х убывают от т(а) до — оо, а значения р возрастают от у(а) до +со, также оставаясь неизменными по знаку. Выберем точку Х, имеющую достаточно большие в масштабе рассматриваемого графика отрицательные координаты по х и положительные по у.

Соединим точки А и М непрерывной кривой так, чтобы она на всем своем протяжении лежала выше кривой МС, так как одинаковым отрицательным значениям х на графике функции з = т($) (см. рис. 1) соответствуют ббльшие положительные значения у правее точки с, чем левее нее, на графике функции р = у(1) (см. рис. 2) и, как следствие, на кривой АФ, чем на кривой МС.

Ряс. 4 Отметим, что обе функции х = х(1) и у = у(1) определены при всех значениях параметра Ф. Функция х = х($) принимает нулевое значение в точке 1 = О, которая является также точкой ее минимума. Функция у = у(Ф) обращается в ноль в точках г = 0 (так как функция у = 1 в этой точке обращается в ноль), ~ = 1 (так как функция у = т — 1 в этой точке обращается в ноль) и 1 = 2 (так как в этой точке обращается в ноль).

В точке 6 = а, расположенной между точками1 = 0 и1 = 1, функция у = у(т) достигает максимального значения, а в точке 1 = 6, распоРис. 5 ложенной между точками 1 = 1 и г = 2, — минимального значения. Отметив особенности поведения графиков вспомогательных функций и определив их характерные точки, приступим к построению искомой кривой на плоскости хОу (рис. 6). При изменении параметра 1 от — оо до 0 значения х убывают от +со до О, а значения у возрастают — со до О. Поэтому выберем точку М при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика положительных значениях х и отрицательных значениях у и соединим ее с точкой О (началом координат) непрерывной прямой. При изменении параметра 1 от О до а значения х и у возрастают от О до соответственно х(и) и у(и).