Рыбников Patran_p2 (Литература по курсу), страница 17

Этот тип задач применяется длялинейных эластичных систем.Расчет реакций систем с представлением их в виде функций времениявляется наиболее общим методом расчета реакций систем на нагрузки,изменяющиеся во времени.Изменяющиеся во времени нагрузки могут иметь произвольный характер, но точно определены в каждый момент времени.Изменяющиеся во времени нагрузки могут содержать нелинейныеэффекты, которые являются функциями перемещения или его скорости.– 107 –– 108 –когда конструкция деформируется по какой-либо форме, то можно выявитьнежелательные величины в течение модального анализа.Важно понимать, что величины модальных форм базируется на относительных перемещениях. Их можно сравнивать в пределах одной формыколебаний, но нельзя между разными формами.Модальные величины могут быть использованы для идентификациинаиболее напряженных мест конструкции.

Элементы, которые имеют высокие механические напряжения в своих сечениях, во всех модах будут,вероятно, иметь высокие напряжения и при действии динамических нагрузок.Модальная энергия деформации полезная величина для отбора элементов; которые требуют конструктивной доработки для исключения проблемных собственных частот. Элементы с большой энергией деформации вмоде показывает место больших упругих деформаций (энергии).

Эти элементы в наибольшей степени определяют деформации в данной моде. Следовательно, изменение свойств этих элементов с большой энергией деформации должны иметь прямой наибольший эффект в изменении собственных частот и модальных форм, чем элементы с низкой энергией деформации.Конструкции с двумя или более идентичными собственными значениями должны иметь повторяющиеся корни. Повторяющие корни возникают в конструкциях, которые имеют плоскость симметрии, или те имеюткратные, идентичные части (такие как appendage). Модальные векторыдля повторяющихся корней не уникальны, потому что многие группы модальных векторов могут быть созданы так, что они будут ортогональныодин к другому. Модальный вектор, который представляет линейную комбинацию повторяющихся модальных векторов, также является модальнымвектором.

Следовательно, малые изменения в модели могут вызвать большие изменения в модальных векторах для повторяющихся корней. Модыконструкции как твердого тела представляют специальный случай повторяющихся корней.MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10Этот тип задач применяется в системах с линейными упругими характеристиками.Масса является одной из главных параметров в решении динамических задач. Масса может представлена в MSC.Nastran несколькими способами.Матрица масс автоматически вычисляется для стандартных конечныхэлементов (CBAR, CQUAD4 и т.п.), когда вводится плотность материалаили распределенная масса. То же происходит и когда вводятся сосредоточенная масса элемента, или полная и парциальная матрицы масс.Масса может быть представлена двумя моделями масс – как «сосредоточенная масса» (lumped mass) или как «распределенная масса» (coupled mass).

В первом случае матрица масс содержит «несвязанные» частимассы.Матрица «распределённых масс» (coupled mass) содержит частимассы, имеющих связь между частями-компонентами.Элементы CBAR, CBEAM и CBEND учитывают вращение масс вмодели coupled mass, хотя инерция вращения в CBAR-элементе не учитывается.«Распределенная масса» более точно описывает объект, чем «сосредоточенная». Однако, сосредоточенная масса более эффективна и предпочтительна для повышения скорости расчетов.MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10{x& } =j ω {u ( ω ) }e{&x&} = −ω {u (ω)}e2je ω,(6.6)jeω.(6.7)Подставив полученные данные в выражение (6.4) получим− ω2 [M ]{u (ω)}e jeω + jω[B ]{u (ω)}e jeω + [K ]{u (ω)}e jeω = {P(ω)}e jωt .

(6.8)После деления на e jeω получим[− ω [M] + jω[B] + [K ]]{u(ω)} = {P(ω)} .2(6.9)Результаты решения получают, вставляя частоту возмущения в уравнение движения. Это выражение представляет систему уравнений со сложными коэффициентами, если введено демпфирование, или приложены нагрузки с фазовыми углами. Уравнения движения для каждой частоты возмущения на входе решаются подобно статическим уравнениям, если использовать комплексную алгебру.Демпфирование в методе прямого частотного анализа.Демпфирование имитирует характеристики рассеивания энергии вконструкциях. Демпфирование в методе прямого частотного анализа представлено матрицей демпфирования [B ] и добавлением к матрице жесткости [K ] .Матрица демпфирования состоит из нескольких матриц:[B] = B1 + B 2 ,[ ][ ] [ ]16.3.

Метод прямого частотного анализаВ методе прямого частотного анализа решение получают для дискретных значений частот возбуждения, путем решения системы матричныхуравнений, используя комплексную алгебру. Выражение 6.1 представляетсобой уравнения движения механической демпфированной системы в матричной форме под действием гармонического возмущения.[M]{&x&(t )}+ [B]{x&(t )}+ [K ]{x(t )} = {P(ω)}e jωt(6.4)Нагрузка в выражении 6.1 входит в виде комплексного вектора, чтоудобно для математического решения. С физической точки зрения, нагрузка может быть вещественной, мнимой или обеих типов.Для гармонической формы решения (на котором базируется методанализа Frequency Response), суммируются гармонические составляющиерешения для всех форм:{x} = {u ( ω)}e jeω ,(6.5){u (ω)} – комплексный вектор перемещений.гдеВзяв первую и вторую производные от выражения 6.2 получимB – демпфирование специально введенных в модель демпфигдерующих элементов (CVISC, CDAMPi) и B2GG;B 2 – B2PP матрица прямого ввода и функции передачи.В методе частотного анализа параметры G и G E при вводе в матрицуне формируют матрицу демпфирования.

Вместо этого они формируют следующую матрицу комплексной жесткости.[K ] = (1 + iG )[K ] + i∑ GE [K E ] ,– 109 –– 110 –[ ]где[K ] – глобальная матрица жесткости;G – общий коэффициент конструкционного демпфирования;[K E ] – матрица жесткости элемента;GE – коэффициент эквивалентного вязкого демпфирования, вычисленный по коэффициенту демпфирования элемента ( GE в матрице жесткости).Когда параметры, приведенные выше, определены, они автоматически включаются в матрицу жесткости и в уравнения движения. Все формыMSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10задания демпфирования могут быть использованы в подобных способаханализа и их эффекты будут суммироваться.В частотном анализе, необязательно использовать эквивалентнуюформу вязкого демпфирования, так как решение комплексное.

Следовательно, допускается применение комплексной матрицы жесткости.В общем случае, как уже отмечалось, матрица состоит из несколькихматриц.[B] = B1 + B 2 + G [K ] + 1 GE [K E ] ,W3W4[ ] [ ]∑[ ]B1 – матрица коэффициента демпфирования для диссипативныхгдеэлементов,B 2 – матрица для прямого ввода коэффициентов демпфированияс учетом передаточной функции,G – общий коэффициент конструкционного демпфирования,W3 – значение частоты в рад/с для преобразования общего конструкционного демпфирования в эквивалентное вязкое демпфирование,W4 – значение частоты в рад/с для преобразования конструкционного демпфирования конечного элемента в эквивалентное вязкое демпфирование.[K E ] – матрица жесткости конечного элемента.В расчете реакции динамической системы во времени не используются комплексные коэффициенты.Следовательно конструкционное демпфирование учитывается как эквивалентное вязкое демпфирование.

Для этого используется соотношениемежду коэффициентом вязкого демпфирования и коэффициентом конструкционного трения G , которое справедливо для колебаний с постояннойGKамплитудой и при постоянной частоте b =.ωТаким образом, на практике эквивалентное демпфирование вычисляется для доминирующих частот, при которых демпфирование действуетактивно. Как правило, это первая собственная частота ( W3 ), но могут быть[ ]и при других частотах ( W4 ).6.4. Метод модального частотного анализаМодальный метод расчета является альтернативным методом расчетаи использует свойства системы уменьшать объем решения, разъединяяуравнения движения (когда используется модальное или недемпфирован– 111 –MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10ное движение) и используя численный метод решения более эффективно.Так как модальные формы обычно вычисляются, как части характеристикиконструкции, то модальный частотный анализ является естественным расширением способа анализа с применением модальных форм колебаний.Первым шагом решения является трансформация физических координат {u (ω)} в модальные координаты {ξ(ω)} методом суммирования{x} = [φ]{ξ(ω)}e jωt .(6.10)Множитель [φ] необходим для согласования между собой модальныхкоординат и точек координатной сетки.

Уравнение представляет равенство,если все моды используются; однако, из-за того, что все моды редко используются, уравнение обычно предоставляет приближенное решение.Во время расчета сначала игнорируются все демпфирующие связи ирезультат представляется в виде «недемпфированного» гармоническогорешения− ω2 [M ]{x} + [K ]{x} = {P(ω)} ,(6.11)при действующем возмущении с частотой ω .Заменяя физические координаты в выражении (6.11) на модальные,получаем следующее:− ω2 [M ][φ]{ξ(ω)} + [K ][φ]{ξ(ω)} = {P(ω)} .(6.12)Теперь уравнение переведены в модальные координаты, но, тем неменее, они всё еще взаимосвязаны.Для получения несвязанных решений умножаем обе части уравнения(6.8) на φT[ ]где[ ][ ][ ]− ω2 φT [M ][φ]{ξ(ω)} + φT [K ][φ]{ξ(ω)} = φT {P(ω)} ,[φ ][M][φ] – модальная (обобщенная) матрица масс;[φ ][K ][φ] – модальная (обобщенная) матрица жесткостей;[φ ]{P(ω)} – модальный вектор силы.(6.13)TTTКонечный шаг использует ортогональные свойства метода, чтобысформулировать уравнения движения с обобщенными матрицами масс ижесткости, которые являются теперь диагональным.