Рыбников Patran_p2 (Литература по курсу), страница 16

Конфигурация конструкции не изменяет свои базовые формы в процессе движения, изменяются только ихамплитуды.Если продифференцировать выражение для гармонического решенияи подставить полученное выражение в уравнение движения, то получимследующее:− ω2 [M ]{Ф}sin ωt + [K ]{Ф}sin ωt = 0 .Упрощая выражение, получим:[K ] − ω2 [M ] {Ф} = 0 .Это уравнение называется собственным (характеристическим), которое представляет систему однородных алгебраических уравнений для составляющих собственных векторов и форм, базируясь на решении проблемы собственных чисел и векторов. Эта проблема выражается специфической математической формой алгебраических уравнений, которые имеютмного применений в линейной матричной алгебре.()– 101 –MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10Основная форма записи уравнений для решения проблемы собственных значений имеет вид[A − λI]x = 0 ,гдеA – квадратная матрица,λ – собственные числа,I – единичная матрица,x – собственный вектор.Имеются две возможные формы решения уравнений:1.

Если det [K ] − ω2 [M ] ≠ 0 , то возможное решение есть {Ф} = 0 . Этотривиальное решение не даёт какой-либо информации о движениисистемы.2. Если det [K ] − ω2 [M ] = 0 , тогда не тривиальное решение {Ф} ≠ 0получается для уравнения[K ] − ω2 [M ] {Ф} = 0 .(6.1)В этом случае общая математическая проблема о собственных значениях сводится к решению уравнения в формеdet [K ] − ω2 [M ] = 0илиdet ([K ] − λ[M ]) = 0 ,()()()(где)λ = ω2 .Детерминант равен нулю только для группы дискретных величин λ iили ωi2 . Имеется собственный вектор {Ф i } , который удовлетворяет уравнению (6.1) и соответствует каждому собственному значению.Уравнение (6.1) может быть переписано как[K ] − ωi2 [M ] {Ф i } = 0 ,i = 1, 2, 3KгдеКаждое собственное значение и собственный вектор определяют свободные колебания системы по одной из мод.i -ая собственная величина λ i связана с i -ой собственной частотойкакωfi = i ,2πf i – i -ая собственная частота,где()ωi = λ i .– 102 –MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10Количество собственных значений и собственных векторов равно количеству степеней свободы, которые имеют массы, составляющие системуили конструкцию.Ряд собственных частот и форм колебаний используется в динамических задачах по анализу конструкций.Если линейная упругая система совершает свободные или вынужденные колебания под действием каких-либо сил, то их перемещения в каждый момент времени является линейной комбинацией все их нормальныхмод колебаний.{u} = {Фi }ξi ,∑где{u} – вектор их физических перемещений,{Ф i } – i -ая модальная форма,ξ i – модальное перемещение.Если [K ] и [M ] симметричные действительные матрицы (как в случае конечных элементов) следующие математические свойства имеют место:– если i ≠ j{Фi }T [M ]{Ф j } = 0 ,{Ф j }T [M ]{Ф j }= m j ,гдеm j – j -ая обобщённая масса;– если i ≠ j{Фi }T [K ]{Ф j } = 0 ,{Ф j }T [K ]{Ф j }= k j ,(6.2)(6.3)где k j – j -ая обобщённая жёсткость, равная ω2 m j .Из выражения для обобщённой массы и жёсткости получим уравнение РелеяTФ j [K ] Ф j.ω2j =TФ j [M ] Ф j{ }{ }{ }{ }Уравнения (6.2) и (6.3) описывают ортогональные свойства нормальных мод, которые проявляются в том, что каждая нормальная мода отличается от всех других.

Физически ортогональность мод означает, что каждаямодальная форма уникальна и может быть получена путём линейной комбинации каких-либо других модальных форм.– 103 –MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10km1m2Рис. 57. Пример системы, имеющей моду твёрдого телаСобственная мода конструкции может быть выражена путём использования обобщённой массы и обобщённой жёсткости. Это полезно присоздании эквивалентных динамических моделей и при синтезе по модальным формам.Если конструкция не закреплена в пространстве, то возможны движения конструкции как твёрдого тела или как механизма.

Для каждой возможной компоненты движения твёрдого тела или механизма имеется однасобственная частота, которая равна нулю. Моды с нулевыми частотаминазываются модами жёсткого тела. Движение всей конструкции как жёсткого тела или её части представляют движение конструкции при отсутствии её напряжённого состояния.Ненапряжённые моды жёсткого тела используются в проведении динамического анализа не закреплённых конструкций таких как самолёт илиспутники.

Часто мода твёрдого тела может показывать ошибки при моделировании, т.е. когда не установлены соответствующие граничные условия.Пример простой незакреплённой системы, имеющей моду твёрдоготела, показан на рис. 57.u1  1ω1 = 0 , {Ф i } =   =   .u2  1Когда обе массы движутся в одном направлении (как твердое тело), неимеется сил, которые бы деформировали бы соединяющие пружину.Важной особенностью нормальных мод колебаний является то, чтомасштаб или амплитуда собственных векторов являются произвольными.Модальные формы – это фундаментальные характеристические формы конструкций и, следовательно, они имеют относительные величины.При решении уравнений движения, форма решения представляетсякак форма с амплитудой, зависящей от времени. Следовательно, базоваямодельная форма конструкции не изменяется, пока происходят колебания,изменяется только амплитуда.Три различных способа представления двух мод систем с двумя степенями свободы показаны на рис.

58.– 104 –MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10u1m1u1u1k1u2m2u2u2MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10гружением и набором собственных частот представляет явный масштабный фактор, который использован, чтобы определить степень, до которойкаждая парциальная мода возбуждается напряжением.Методы, которые используют модальные результаты для определениясиловых откликов, базируются на модальном методе или методе модальной суперпозиции.Масштабирование нормальных мод произвольно, но из-за практических соображений модальные формы должны быть масштабированы (т.е.нормализованы) выбранным способом.

В MSC.Nastran имеются три способа нормализации: MASS, MAX и POINT – нормализации.Нормализация по массе (MASS normalization) – это метод нормализации собственных векторов по умолчанию. В этом методе масштабируется каждый собственный вектор, чтобы получить результаты в единицахвеличины обобщенной массыTФ j [M ] Ф j = 1,0 .{ }k2Мода 1Мода 2Рис.

58. Двухмассовая система и её формы колебанийu1  3 300 − 0,6 ,= = =u2  1  100  − 0,2{Ф1} = u1  − 1,6  160   1,0 ==.=u2   0,8  − 80 − 0,5{Ф 2 } = Если сравнить эти способы, то видно, что абсолютные величины перемещений не дают какой-либо важной информации. Важны соотношениямежду амплитудами перемещения по степеням свободы.Частое недоразумение относительно модальных форм заключается втом, что они определяют отклик конструкции и вызывают движение различных частей конструкции в относительных величинах. Они не могутбыть использованы отдельно для оценки динамического поведения конструкции.Как было указано ранее, это соотношение между напряжением конструкции и собственными частотами, которое определяет абсолютную амплитуду динамического отклика. Соотношение между специфическим на– 105 –{ }Численно этот метод реализуется в модальной матрице массе, котораяявляется единичной матрицей.Эта нормализация предназначается для вычисления вынужденных колебаний модальным методом, потому что упрощаются вычисления, экономится память для хранения данных в процессе вычислений.В MAX нормализации каждый собственный вектор нормализуется вотношении к наибольшей компоненте.

Эта нормализация реализуется поотношению к наибольшей величине смещения путем задания этой величине 1,0. Эта нормализация может быть удобна при определении вклада отдельной моды в форму колебания какой-либо конструкции. Малая обобщенная масса, полученная при использовании MAX-нормализации, можетвыявлять локальные моды или изолированные механизмы.POINT-нормализация собственных векторов позволяет выбрать специальный компонент по перемещению, в котором модальное перемещениепринимает значение 1 или – 1. Этот метод не рекомендуется из-за сложнойструктуры выбранного компонента в не нормализованном собственномвекторе.

Этот компонент может иметь очень малую величину (особеннодля высокочастотных мод). Малая величина может быть получена из-забольшого количества малых чисел, полученных путем нормализации из-заошибок округления в модальных формах.Хотя модальные формы это относительные величины, но они могутпомочь в предсказании качеств конструкции при их вынужденных колебаниях или в устранении нежелательных модальных частот. Поскольку относительные деформации, внутренние нагрузки, напряжения развиваются,– 106 –MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-10MSC.Software CorporationТелефоны: (095) 363-06-83, 254-57-106.2. Основные типы динамических задач и особенностипредставления параметровС помощью MSC.Nastran можно решать следующие типы динамических задач:– расчет собственных частот и форм колебаний с действительнымикорнями (real eigenvalue analysis);– расчет частотных характеристик линейных динамических систем(исследуются линейные динамические системы при воздействиинагрузок, являющихся функциями частоты (linear frequency response analysis));– расчет реакции линейных динамических систем от нагрузок, являющихся функцией времени (linear transient response analysis)Кроме этих основных задач MSC.Nastran позволяет решать болеесложные задачи:– определение реакций динамических систем на удар;– оценка реакции динамической системы на возмущение с заданнымспектром частот;– оценка реакции динамической системы на случайные возмущения;– оценка функции чувствительности конструкции;– оптимизация конструкции;– решение задач аэроупругости;– решение задач синтеза систем по заданным частотным составляющим (модам);Рассмотрим содержательную часть основных типов задач.Расчет собственных частот и форм колебаний системы с действительными корнями частотного уравнения используется для определения основных динамических характеристик конструкции.

В результате расчета получают значения частот и форм колебаний, к которым конструкция стремится при ее колебаниях.Хотя в результате решения этой задачи не используются реальные нагрузки, тем не менее они могут быть использованы для предотвращенияявлений, вызываемых различными динамическими нагрузками в реальнойсистеме.Расчеты реакций динамических систем и представление их в видефункций, зависящих от частоты возмущающих функций (амплитудночастотных характеристик), являются эффективным методом определенияустановившихся реакций систем на синусоидатьное возмущение.В этом типе задач нагрузкой является синусоидальная функция с заданной частотой, фазой и амплитудой.