Домашнее задание по теории вероятностей и случайным процессам (вариант №9)

IID11Домашнее задание по теории вероятностей и случайным процессам.2Вариант №9.Задача №1.На десяти карточках записаны буквы, составляющие слово «астрономия».Какова вероятность того, что, выбрав наудачу пять из них, мы получимслово «мотор»? Рассмотреть два случая:А).карточки расположены в порядке извлечения;Б).вынутые карточки можно переставлятьРешение.Первый случай: карточки расположены в порядке извлечения.Пусть– событие, состоящее в том, что первая буква «М»;– событие, состоящее в том, что вторая буква «О»;– событие, состоящее в том, что третья буква «Т»;– событие, состоящее в том, что четвёртая буква «О»;– событие, состоящее в том, что пятая буква «Р»;– событие, состоящее в том, что карточки образуют слово «мотор»Вероятности этих событий:==1,102= ,9=1= ,81= ,7=11 2 1 1 1∙ ∙ ∙ ∙ =≈ 6,61 ∙ 1010 9 8 7 6 1512016Второй случай: вынутые карточки можно переставлять.Пусть– событие, состоящее в том, что первая вынутая буква –«М», «О», «Т» или «Р»;– событие, состоящее в том, что вторая вынутая буква – «М», «О», «Т»или «Р»;– событие, состоящее в том, что третья вынутая буква – «М», «О», «Т»или «Р»;– событие, состоящее в том, что четвёртая вынутая буква – «М», «О»,«Т» или «Р»;– событие, состоящее в том, что пятая вынутая буква – «М», «О», «Т»или «Р»;– событие, состоящее в том, что карточки образуют слово «мотор»13= ,8=2= ,7=165 4 3 2 1120∙ ∙ ∙ ∙ =≈ 0,0039710 9 8 7 6 30240Задача №2.Для некоторого изделия, выпускаемого заводом, установлено, что в среднемна 100 изделий 4 не соответствуют техническим условиям.

Таким образом,вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,96. Для проверкиизделия на соответствие техническим условиям на заводе проводитсяупрощённое испытание. Как показал опыт, «хорошие» изделия проходят этоиспытание с вероятностью 0,98, а «плохие» – с вероятностью 0,05. Каковавероятность того, что изделие, дважды прошедшее испытание, являетсястандартным?Решение.Пусть A – событие, состоящее в том, что изделие, прошедшее контроль,признают стандартным; B – событие, состоящее в том, что изделие,дважды прошедшее контроль, признают стандартным;– гипотеза,– гипотеза,заключающаяся в том, что изделие бракованное;заключающаяся в том, что изделие стандартно.Так как в среднем на 100 изделий 4 бракованных, то= 0.04,=1−= 0.96.Условные вероятности:||= 0.05,= 0.98.По формуле полной вероятности:||+== 0.04 ∙ 0.05 + 0.96 ∙ 0.98 = 0.9428Применим формулу полной вероятности второй раз, учитывая, чтовероятности гипотез для изделия, прошедшего одно испытание, имеютзначения:= 0.9428,=1−= 0.0572Условные вероятности те же:||= 0.05,= 0.98.== 0.952544||+2= 0.0572 ∙ 0.05 + 0.9428 ∙ 0.98 =24= ,911=5,10IID=|=0.9428 ∙ 0.98= 0.969975140.9525442=11|IIDТогда искомая вероятность:Задача №3.Найти плотность распределения вероятностей объёма куба, реброкоторого X – случайная величина, распределённая равномерно в интервале[0,a].Решение.Случайная величина X – ребро куба – распределена равномерно на интервале[0,a].10 < " ≤ $;! " = # $,0," ≤ 0, " > $.Случайная величина ) = * – объём куба.) = * монотонна на 0 < " ≤ $; обратная функция * = + , = √)монотонна и возрастает на 0 < , ≤ $ .! , = ! " |+ / , |1 1,0<,≤$ ;.! , = 0$ 3√)0,, ≤ 0, , > $ .3.11IIDЗадача №4.Решение.! = , вероятность появления нечётного номера 1 = .Вероятность появления чётного номера при бросании игрального кубика2 = 10000Оценка искомой вероятности по неравенству Чебышева для частоты(доли):345!1− !4 ≤ 67 > 1 −,226где ! = 1 = 0.5, 2 = 1000, 6 = 0.01.890.5 ∙ 0.55 1− 9 ≤ 0.01: > 1 −= 0.752 210000 ∙ 0.01Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:3425− !4 < 67 ≈ 2Ф <6= >!12210000=26 = = 0.01=!10.5 ∙ 0.5Ф 2 = 0.47725Оценка искомой вероятности по теореме Муавра-Лапласа:895 1− 9 < 0.01: ≈ 2 ∙ 0.47725 = 0.95452 242Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, чточастота появления грани с чётным номером при бросании правильнойигральной кости отклонится от вероятности её появления по абсолютнойвеличине не более чем на 0,01, если будет произведено 10000 испытаний.Сравнить найденные значения с результатами, полученными, с помощьюинтегральной теоремы Муавра-Лапласа.DEB =CFGH @, ?Найти:K$ < ? < L|IMN O,R= 0,0 ; B = QA ,AFGH ?, @DI44√33P−Решение.K$ < ? < L|IMN O == ФRi=P1V2WX ?|IMNeYZf−J4√33 U ; , = √3; $ = −1; L = 1T4S3[ \]E|^_` a7c E|^_`bd" =L − g]?|IMN a$ − g]?|IMN aU−ФRUhX]?|IMN aFGH ?, @hDE ∙ hDISPhX]?|IMN a4 √33 = − √3=3√4 ∙ √4−g]?|IMN a = A + iDE,−ADIX]?|IMN a = DE 1 − i ,K−1 < ? < 1|IMN O = Ф RP=−S√3√3 2∙ ∙, =−,,3 2318X]?|IM√ a = 4 ∙ 81 − : =331 − −1h83U − ФRS3= Ф <= > − Ф 0 ≈ 0,9 − 0,5 = 0,425P−1 − −1h83U=SgK?|IM√ O = −12Случайная величина ?, @ распределена по нормальному закону сматематическим ожиданием A , A и ковариационной матрицей11IIDЗадача №5.IID11Задание №6.2Для заданной выборки:1).Постройте: а).статистический ряд; б).интервальный статистическийряд, предварительно определив число интервалов;2).Найдите значения точечных оценок математического ожидания идисперсии;3).Постройте гистограмму;4).На основе анализа результатов наблюдений выдвиньте гипотезу о видезакона распределения генеральной совокупности.Решение.Результаты определения выносливости шерстяной ткани примногократном растяжении при заданной циклической деформации 8%,число циклов:102 99102 113 9195101 107 94106 101 9398105 98104 102 97114 101 97109 111 106 95101 889997100 107 108 9792111 101 104 111 101 103 101 92110 106 105 9596103 108 93103 112 102 979594100 107 103 9997103 102 8992998997106 105 97101 109 96100 100 98103 100 110 999193100 97103 87112 96109 9899116 100 112 101105 104 110 108 98111 106 102 99104 103 109 103 85969498103 11102 9298108 99102 103 106 101 105 97105 100 102105 96102101109 104 114 108 103 101 70116 102 109 981).

А). Наименьшее значение в выборке: " = 11.Наибольшее значение в выборке " = 116.Подсчитаем частоту каждого из значений в выборке.6110 86103 110 103 109 99110 109 104 103 101 103 106 87101 9310297100 9570858687888991Частота11112122Значение9293949596979899Частота443551189Значение100101102103104105106107Частота91412166773Значение108109110111112113114116Частота5864312221111IIDЗначениеРазмах значений:116 − 11 = 105.5 ≈ log 165 + 1 ≈ 7.367 + 1 ≈ 8.367 ≈ 8 интервалов.∆=105= 13.1258Б).

Интервальный статистический ряд:[11,24][25,38]10[39,52] [53,66] [67,80] [81,94] [95,103] [104,117]0071208954IID112).Математическое ожидание:p2116626"̅ = B "o == 100.762165oMДисперсия:p1X = B "o − "̅2oM≈15369.8≈ 93165Гистограмма.По виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу о нормальном законераспределения генеральной совокупности.811IIDЗадача №7.Решение.Доверительный интервал:DD"̅ − q r ∙, "̅ + q r ∙√2√2Для 90%-ного доверительного интервала:s = 1 − t = 1 − 0.9 = 0.11−s0.1=1−= 0.9522Квантиль уровня:qub=qp.v= 1.645 (по таблице квантилей нормального распределения)11"̅ = B "o = 425.5 + 425.3 + 426.1 + 425.7 + 425.9 = 425.752qr∙oMD√2= 1.645 ∙0.15√5= 0.11Доверительный интервал:425.7 − 0.11, 425.7 + 0.11wxy. yz, wxy.

{|92С помощью 5-ти секундомеров, позволяющих производить измерения сосредним квадратичным отклонением 0,15 м/с, найдены такие значениявремени вывода космического аппарата на орбиту (в м/с): 425,5; 425,3;426,1; 425,7; 425,9. Полагая, что ошибки измерения секундомеров подчиненынормальному закону распределения, построить 90%-ный доверительныйинтервал для истинного времени вывода аппарата на орбиту.11IIDЗадача №8.Решение.Необходимо проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий: A = A . В качестве конкурирующей гипотезы выбираем : A > A ,так как значение контролируемого признака уменьшается с течениемвремени.1 − s = 1 − 0.05 = 0.95Квантиль уровня q.v= 1.645.Критическое множество имеет вид}}} − "}}}"hD + D22=1288 − 1208h80 + 945050= 4.583 > 1.645Гипотезуотвергаем, так как значение принадлежит критическомумножеству.102По выборке из 50-ти электроламп завода «А» установили среднююпродолжительность работы лампы (1288 ч) со средним квадратичнымотклонением 80 ч, а также по выборке того же типа ламп с завода «В»(1208 ч) со средним квадратичным отклонением 94 ч.

Проверить гипотезу отом, что средний срок службы лампы с обоих заводов одинаков при уровнезначимости s = 0,05. Принять, что средняя продолжительность работылампы распределена приближённо по нормальному закону..