Ветошкин А.Г., Марунин В.И. - Надежность и безопасность технических систем, страница 4

На практике при большом числе испытаний вероятность случайного событияприближенно принимают равной относительной частоте этого события:Р(А) ≈ Р*(А).Математическим основанием этого утверждения является закон больших чисел(Я. Бернулли) — вероятность отклонения относительной частоты некоторого событияА от вероятности Р(А) этого события более чем на произвольно заданную величину ε >0 становится сколь угодно малой, если число испытаний n неограниченно возрастает.Таким образом, вероятность события Р(А) представляет собой число, заключенное в интервале от нуля до единицы, т.

е. справедливо неравенство0 ≤ P ( A ) ≤ 1.(3.12)Пример 3.4. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту. Врезультате проведения 500 выстрелов число попаданий оказалось равным 450. Найтивероятность попадания по щиту при одном выстреле.Р е ш е н и е. Общее число проведенных опытов n = 500, при этом число попаданий m = 450.Используя формулу (3.11), найдем вероятность попадания: Р(А) = 0,9.О т в е т: Р(А) = 0,9.3.2.

Теорема сложения вероятностей14События могут быть совместными и несовместными. Два события называют несовместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И наоборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в результате такого опыта.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событийР(А+В)=Р(А)+Р(В).(3.13)Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произвольного числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событийравна сумме вероятностей этих событийP(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(3.14)Более удобная запись теоремы сложения:⎛ n ⎞ nP⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P( Ai ).(3.15)⎝ i =1 ⎠ i =1С л е д с т в и е 1. Если события А1, А2, ...

, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:n∑ P( A ) = 1 .i =1(3.16)iПротивоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу.С л е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных событий равнаединице:Р(А) +P(A)=1(3.17)где А — событие, противоположное событию А.Вероятность суммы двух совместных событий А и В выражается формулойР(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).(3.18)Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется выражением (1.19)Р(А +В +C) = Р(А) +Р(В) +Р(С) -Р(АВ) - Р(АС) -Р(ВС) +Р(АВС).(3.19)Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется выражением⎛ n ⎞ nP⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P( AI ) − ∑ P( Ai AJ ) + ∑ P ( Ai Aj Ak ) + ...

+ (−1) n −1 P( A1 A2 ... An ).(3.20)i, ji, j,k⎝ i =1 ⎠ i =1Формула (3.20) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В);(3.21)для произведения трех событий:Р(АВС)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С) -Р(А +В) -Р(А +С) -Р(В+С)+Р(А +В+С). (3.22)15Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числасобытий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:P(A1A2…An)=∑ P( Ai ) − ∑ P( Ai + Aj ) + ∑ P( Ai + Aj + Ak ) + ...

+ (−1)n −1 P( A1 + A2 + ... + An ) . (3.23)ii, ji, j,kФормулы (3.20) и (3.23) находят практическое применение при преобразованииразличных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использоватьтолько суммы, а в других только произведения событий.Пример 3.5. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту сдвумя зонами попадания.

Вероятность попадания в первую зону при одном выстрелеравна 0,40, во вторую 0,35. Найти вероятность промаха.Р е ш е н и е. Обозначим через А — попадание, а через А — промах. Тогда событие А=А1+А2,, где А1 и А2 — попадания соответственно в первую и вторую зоны. Используя формулу (3.14), найдемР(А)=Р(А1)+Р(А2)=0,40+0,35=0,75.Тогда Р(А)=1 - Р(А)=1- 0,75 = 0,25.Ответ: Р(А) = 0,25.Пример 3.6. Техническое устройство состоит из трех элементов А1, А2 и В. Элементы А1 и А2 дублируют друг друга.

Это означает, что при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован.Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А1и А2 либо отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить ввиде события С = А1А2 +В, где событие А1 является отказом элемента А1,А2 — отказомэлемента А2 и В — отказом элемента В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы.Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (3.18) имеемР(С)=Р(А1А2)+Р(В)-Р(А1А2В).Используя формулу (3.21), определимР(А1А2)=Р(А1)+Р(А2) -Р(А1+ А2).Далее, применяя формулу (3.22), получимР(А1А2В)= Р(А1)+Р(А2)+Р(В) - Р(А1+ А2) - Р(А1+В) –- Р(А2+В)+ Р(А1 + А2 +В).Подставляя полученные выражения и сокращая, находимР(С)= Р(А1+В) + Р(А2+В) - Р(А1 + А2 +В).О т в е т: Р(С)= Р(А1+В) + Р(А2+В) - Р(А1 + А2 +В).3.3.

Теорема умножения вероятностейСобытия могут быть независимыми и зависимыми.Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А независит от того, произошло событие В или нет.16Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.Понятие зависимости и независимости событий можно наглядно показать наследующих примерах.Пример 3.7. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этомрассматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете исобытие В — появление герба на второй монете.В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие Вили нет, следовательно, событие А независимо от события В.Пример 3.8.

Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человекавынимают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события:событие А — появление белого шара у первого человека и событие В — появление белого шара у второго человека.Вероятность события А до того, как станет известно что-либо о событии В, равна2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).Для условий примера Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первоеимело место, т. е.Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).(3.24)Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий — А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:два события называют независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.Понятие независимых событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.

Несколько событий называют независимыми, если любое изних не зависит от любой совокупности остальных.Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена наслучай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при условии, что все предыдущие имели место:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(AN/A1A2…AN - 1).(3.25)В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:P(A1A2…AN) = P(A1)P(A2)…P(AN),(3.26)т.

е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.Применяя знак произведения, теорему можно записать так:17n⎛ n⎞P⎜⎜ ∏ Ai ⎟⎟ = ∏ P ( Ai ).(3.27)⎝ i =1 ⎠ i =1Пример 3.9. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать.

Отказ хотя бы одного прибораприводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого изприборов соответственно равна P1(t)=0,95; P1(t)=0,99; P1(t)=0,98; P1(t)=0,90; P1(t)=0,93.Найти надежность устройства за время работы t.Р е ш е н и е. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого —пятого приборов: А1 —А5.Имеем: А = А1А2А3А4А5.По формуле умножения для независимых событий (3.26) получим:Р(А)=Р(А1) Р(А2) Р(А3) Р(А4) Р(А5)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.Пример 3.10.

Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятностьпопадания при первом — третьем выстрелах соответственно равна: Р1 = 0,8; Р2 = 0,6; Р3= 0,3; Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будетхотя бы одна пробоина.Р е ш е н и е. Рассмотрим событие В — хотя бы одно попадание в мишень.Представим событие В в виде суммы несовместных вариантов:B=A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3,где A1, A2, A3 - попадания при первом — третьем выстрелах; A1, A2, A3 — промах припервом — третьем выстрелах.Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем используем теорему сложения:Р(В) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3)+ +Р(А1)Р(А2)Р(А3) +Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) ++ Р(А1)Р(А2)Р(А3) = 0,8*0,6*0,3+0,8*0,6*(1-0,3)+0,8* (1-0,6)*0.3++(1 - 0,8)*0,6*03 + 0,8*(1 - 0,6)*(1 - 0,3) + (1 - 0,8)*0,6*(1 - 0,3) ++(1- 0,8)*(1 -0,6)*0,3=0,946.3.4.

Формула полной вероятностиСледствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей — является формула полной вероятности.Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое можетпроизойти вместе с одним из событий: Н1, Н2, ... , Нn, образующих полную группу несовместных событий, называемых гипотезами. Докажем, что в этом случаеnP(A) =∑ P( H ) P( A / H ),i =1i(3.28)iт.