Ветошкин А.Г., Марунин В.И. - Надежность и безопасность технических систем, страница 3

Физический смысл коэффициента готовности - это вероятность того, что в прогнозируемыймомент времени изделие будет исправно, т.е. оно не будет находиться во внеплановомремонте.Коэффициент оперативной готовности — вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.Классификация показателей.

В зависимости от способа получения показателиподразделяют на расчетные, получаемые расчетными методами; экспериментальные,определяемые по данным испытаний; эксплуатационные, получаемые по данным эксплуатации.В зависимости от области использования различают показатели надежностинормативные и оценочные.Нормативными называют показатели надежности, регламентированные в нормативно-технической или конструкторской документации.К оценочным относят фактические значения показателей надежности опытныхобразцов и серийной продукции, получаемые по результатам испытаний или эксплуатации.3.

Математические зависимости для оценки надежности3.1. Функциональные зависимости надежностиОтказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть вызваны неблагоприятным сочетанием различных факторов — рассеянием действующихнагрузок, отклонением от номинального значения механических характеристик материалов, неблагоприятным сочетанием допусков в местах сопряжения и т. п. Поэтому врасчетах надежности различные параметры рассматривают как случайные величины,которые могут принимать то или иное значение, неизвестное заранее.Различают случайные величины прерывного (дискретного) и не-прерывного типов. Условимся случайные величины в дальнейшем обозначать большими буквами, аих возможные значения — соответствующими малыми. Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х<х)того, что Х не превышает значения х.

Вероятность этого события называют функциейраспределения:F(х) = Р(Х<х).(3.1)Функция распределения — универсальная характеристика, так как она являетсяфункцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция (х) относится к неубывающим функциям — х монотонно возрастает при непрерывных процес10сах и ступенчато возрастает при дискретных процессах. В пределах изменения случайной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1: F(-∞) = 0; F(∞) = 1;Производную от функции распределения по текущей переменной называютплотностью распределенияf ( x) =dF ( x),d ( x)(3.2)которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. Втеории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности.

Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента ƒ(x) ≥ 0.Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:∞∫ f ( x)dx = 1.−∞В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величиндостаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее употребительными являются математическое ожидание (среднеезначение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (характеризуют рассеяние случайной величины).

Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.Для дискретных случайных величин математическое ожидание Mx равно сумме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:nM x = ∑ xi pi .(3.3)i =1Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражаетсяинтегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения∞Mx =∫ xf ( x)dx.(3.4)−∞Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с еесредним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины х приближается к математическому ожиданию и называетсяоценкой среднего значения:1 n(3.5)x = ∑ xi ,n i =1где n - общее число опытов; xi - текущее значение случайной величины.Дисперсией (D) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания.Для дискретной случайной величины дисперсия равна:11nD x = ∑ ( xi − M x ) 2 p ii =1(3.6)Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется из выражения∞Dx =∫ (x − Mx) 2 f ( x)dx.(3.7)−∞Оценка дисперсии случайной величины:1 nDx* =∑ ( xi − x )2 .n − 1 i =1(3.8)Дисперсия случайной величины является характеристикой рассеяния — разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности случайной величины. Для наглядности в качестве характеристики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадратическое отклонение σx, которое определяется каккорень квадратный из дисперсии:σ x = Dx .(3.9)Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации, который равен:vx =σxMx.(3.10)Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение или то еезначение, при котором плотность вероятности максимальна.Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.Квантиль — значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Квантиль, соответствующую вероятности 0,5, называют медианой.Аналогично предыдущим характеристикам понятия моды и медианы даны в статистической трактовке. Для симметричного модального (т.е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.Пример 3.1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением⎧ 0 при x ≤ 0;⎪ 3F(x)= ⎨ax при 0 < x ≤ 1;⎪ 1 при x > 1.⎩Найти коэффициент а и плотность распределения f(x).Р е ш е н и е. Так как функция распределения случайной величины Х непрерывна, то при х= 1, а.х3 = 1, откуда а = 1.12Плотность распределения выражается соотношением⎧ 0 при x ≤ 0;dF ( x) ⎪ 2= ⎨3 x при 0 < x ≤ 1;f(x)=dx⎪ 0 при x > 1.⎩Пример 3.2. Плотность распределения случайной величины Х описывается выражением⎧ ax при 0 ≤ x ≤ 1;⎩0 при x < 0 или x > 1.f(x)= ⎨Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.Р е ш е н и е.

Математическое ожидание найдем по формуле (3.4):11aM x = ∫ xf ( x)dx = ∫ xaxdx = .300Для определения дисперсии используем формулу (3.7):2⎛ 1 2a a 2 ⎞a⎞⎛Dx = ∫ ⎜ x − ⎟ axdx = a⎜⎜ −+ ⎟⎟.34918 ⎠⎝⎠⎝01Среднее квадратическое отклонение соответственно равно:⎛12aa2 ⎞+ ⎟⎟ .σ x = Dx = a⎜⎜ −⎝ 4 9 18 ⎠Пример 3.3. При проведении одного опыта может появиться или не появитьсянекоторое событие А. Вероятность появления события А равна р, а вероятность непоявления этого события - 1- p = q.Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — число появлений события А.Р е ш е н и е.

Ряд распределения случайной величины Х можно записать в видетаблицы:xiPi01qPПо формуле (3.3) находим математическое ожидание:1M x = ∑ xi pi = 0q + 1 p = p.i =0Дисперсию величины Х определим по формуле (3.6). Среднее квадратическоеотклонение равно:1Dx = ∑ ( xi − M x ) pi = pq.2i =013σx = D =pq.Рассматривая случаи появления или отсутствия события А в большом числе испытаний, можно установить определенные закономерности появления этого события.Если при проведении n1 испытаний событие А имело место т1 раз, то относительнуючастоту появления события А определяют из соотношенияmP * ( A) = 1 .(3.11)n1Если событие А имело место в каждом из n1, испытаний, т. е.

m1 = n1,, тоР*(А)=1. Если событие А не наступило ни в одном из n1, испытаний, т. е. m1= 0, тоР*(А)=0. При проведении серии последовательных испытаний получим соотношения:mmmP1* = 1 ; P2* = 2 ;...; Pi* = i .n1n2niОтносительная частота становится более устойчивой при увеличении числа испытаний. Такая закономерность была замечена давно и подтверждена результатамирешения различных примеров.

Самыми известными примерами являются примерыбросания монеты или игральной кости. Так, при большом числе бросании монеты относительная частота выпадания герба равна 1/2 и равна относительной частоте выпадания цифры. При большом числе бросаний игральной кости относительная частота выпадания каждой стороны, на которой изображены цифры от 1 до 6, равна 1/6.Приведенные примеры показывают, что существует постоянная величина (в нашем случае 1/2 или 1/6), около которой колеблется относительная частота свершенияслучайного события и к которой она все более приближается с увеличением числа испытаний. Постоянную величину, к которой приближается относительная частота случайного события, называют вероятностью случайного события А и обозначают символом Р(А).