Диссертация (Разработка и исследование пьезопреобразователей для устройств прецизионного перемещения в оборудовании и приборах электронной техники), страница 11

Здесь d33 иd31 – пьезомодули, d33 > 0, а d31 < 0. При согласованном включении E совпадает сP0, деформация zПЭ < 0 означает сокращение продольных волокон трубки.Подобно температурной задаче для многослойных сред уравнение нормальных напряжений z в произвольном слое трубки при пьезоэлектрическом воздействии имеет вид:z = Y (С1 – С2x – C3y – d31E),(2.14)где Y = Y(x, y) – модуль упругости материала в слое.

Неопределенные постоянныеС1, С2, C3 (при отсутствии внешних нагрузок) находятся из условий равенства нулю продольных сил NZ, изгибающих моментов МY и МX. Эти условия отвечаютуравнениям:S z dS  0 ; SzxdS  0 ; SzydS  0 .(2.15)Интегрирование проводится по площади сечения S в полярных координатах(r, ) с учетом зависимостей: x = rcos, y = rsin, dS = rddr.

В пределах каждогосектора и слоя принимаются значения модуля упругости Yij, напряженность электрического поля E = 0 в секторах без электродов с и заземленными электродами.В секторах с незамкнутыми электродами модуль упругости пьезокерамики YD =Y/(1 – Yd312/T), где Т – диэлектрическая проницаемость. Уравнения (2.15) приводятся к системе трех линейных уравнений относительно искомых констант {C}T ={C1, C2, C3} в матричной форме:[A]{C} = {B}.69Компоненты матрицы жесткости сечения [A] вычисляются по соотношениям:A11   Yrdrd ;22A12   Yr cos drd ; A13   Yr sin drd ;A21   A12 ;323A22   Yr cos drd ; A23   Yr cos  sin drd ;A31   A13 ;A32  A23 ;(2.16)32A33   Yr sin drd .Вектор правой части {B} содержит компоненты пьезоэлектрического воздействияB1   Yd31 Erdrd ;2B2   Yd31 Er cos drd ;2B3   Yd31 Er sin drd .По найденным константам С1, С2 и С3 рассчитываются:продольные перемещения вдоль оси Z:w(x, y, z) = (С1 – С2x – С3y)z +w0;поперечные смещения по оси X:u(z) = 0,5C2z2 + u0(z);поперечные смещения по оси Y:v(z) = 0,5C3z2 + v0(z)углы поворота сечений вокруг Y и X соответственно:y(z) = u/z = C2z + y0 и x(z) = v/z = C3z + x0.Значения u0, v0, w0, x0, y0 определяются граничными условиями закрепления исопряжения продольных участков.2.4.

Тестирование разработанных методик2.4.1. Тестовый расчет дискового пьезоприводаРазмеры тестовой модели дискового пьезопривода представлены на рисунке2.5, свойства материалов приведены в таблице 2.1. В таблице использованы обозначения: Y – модуль упругости, ГПа; ν – коэффициент Пуассона; d31 – поперечный пьезомодуль, мм/В; β – пьезоэлектрический коэффициент линейного расширения (ПКЛР), 1/В.

Пьезопривод выполнен двухслойным: верхний, активныйслой – диск из пьезокерамики, нижний, упругий слой – латунный диск. Слоижестко соединены между собой. Модель свободно оперта по нижней границе. Наверхний слой (пьезоэлемент) подано постоянное напряжение V = + 100 В, в результате чего конструкция прогибается вниз на величину UZ.Необходимо провести апробацию методики, в частности: а) провести сравнение результатов решения (вертикальный прогиб) с другими методами и б) уста-70новить влияние степени разбиения (количества блоков и слоев модели) на точность результатов.Теоретическое решение для прогиба пьезопривода, состоящего из круглойпьезопластинки и упругого слоя металла, представлено в статье [121].Максимальное перемещение в центре UZ свободно опертой по краям двухслойной пластинки определяется по формуле:6Y2Y1 h2 h1 h2  h1 d 31 E (1  )D2UZ =,8 Y22 h24  Y12 h14  2Y2Y1 h2 h1 2h22  2h12  3h2 h1 (2.17)где Е – напряженность электрического поля, приложенного к пьезокерамике, Е =V/h2, В/мм; d31 – пьезомодуль, мм/В; D – диаметр пьезопластинки, мм; Y2, Y1 – модули Юнга для пьезокерамики и металла, МПа; h2, h1 – толщины пьезокерамики иметалла, мм; ν – коэффициент Пуассона пьезокерамики.При подстановке в уравнение 2.17 исходных данных получаем, что вертикальное смещение центра дискового пьезопривода UZтеор = 15,74 мкм.Решение по предложенной методике расчета дисковых пьезоприводов проводилось в специально разработанной программе PK10SGM.Поскольку модель является осесимметричной, рассматривается только поперечное сечение модели.

Модель сначала составляется из двух слоев – активногослоя и пассивного слоя и одного блока, длина которого равна диаметру модели(рисунок 2.6, а).Рисунок 2.5 – Схема тестовой модели дискового пьезопривода71Таблица 2.1 – Свойства материалов двухслойного пьезоприводаЭлементY, ГПаνd31, мм/Вβ = d31/h2, 1/В1. Латунь95,00,35——2. PZT-561,00,35–1,7·10-7–8,5·10-7Затем активный и пассивный слои были разделены по толщине пополам, азатем – еще раз пополам (рисунок 2.6, б), таким образом, общее количество слоевувеличивается от двух до восьми. При этом физические свойства слоев и напряженности в активных пьезослоях оставлены постоянными.а)б)Рисунок 2.6 – Результаты расчета прогиба дискового пьезопривода с различнымколичеством слоев в программе PG10SGM: а) – 2 слоя; б) – 8 слоевКак видно, значение максимального прогиба в центре пьезопривода (W1),рассчитываемое программой PK10SGM по представленной методике, не зависитот количества слоев и составляет UZмет = 15,74 мкм, что полностью совпадает созначением UZтеор, определенным теоретически.72Для проверки модель была также рассчитана методом конечных элементовс применением температурной аналогии в программе APM Structure 3D v10.2 иANSYS.

Максимальный прогиб, рассчитанный для объемной модели двухслойногомкэмкэдиска (рисунок 2.7) составил UZ APM= 14,91 мкм, а для плоской модели UZ APM=3D2Dмкэ15,61 мкм. Прогиб для объемной модели, рассчитанной в ANSYS, составляет UZ ANS= 15,75 мкм. Результаты с оценкой погрешностей сведены в таблицу 2.3 в концеподраздела.Различие результатов расчета не превышает 6% и может быть объясненобольшей жесткостью МКЭ модели, связанной с дискретным разбиением на конечные элементы.Рисунок 2.7 – Карта вертикальных перемещений UZ тестовой моделидискового пьезопривода, рассчитанная с помощью МКЭ в APM Structure 3D2.4.2.

Тестовый расчет прямоугольного пьезоприводаРазмеры тестовой модели прямоугольного пьезопривода представлены нарисунке 2.8, свойства материалов – в таблице 2.1. Пьезопривод выполнен двухслойным: верхний, активный слой – пластина из пьезокерамики, нижний, упругийслой – пластина из латуни. Слои жестко соединены между собой. Модель жестко73закреплена с левого конца. На верхний слой (пьезоэлемент) подается постоянноенапряжение +100 В, в результате чего свободный конец консоли изгибается вверхна величину UZ.Задачи исследования аналогичны случаю дискового пьезопривода.305V = 100 ВUZ2, h2 = 0,2 мм1, h1 = 0,2 ммРисунок 2.8 – Схема тестовой модели прямоугольного пьезоприводаТеоретическое решение для прогиба юниморфа – пьезопривода, состоящегоиз пьезопластинки и упругого слоя, представлено в монографии [6].Перемещение конца UZ консольно закрепленного юниморфа определяетсяпо формуле:UZ = (d31E) L2Y2h2/[Y1{h02 – (h0 – h1)2} + Y2{(h0 + h2)2 – h02}],(2.18)где Е – напряженность электрического поля, приложенного к пьезокерамике, Е =V/h2, В/мм; d31 – пьезомодуль, мм/В; L – длина юниморфа, мм; Y2, Y1 – модульЮнга пьезокерамики и металла, МПа; h2, h1 – толщины пьезокерамики и металла,мм; h0 – расстояние между нейтральной плоскостью и плоскостью контакта пьезокерамики и металла, мм:h0 = [h2 h12 (3h2 + 4h1)Y1 + h24Y2]/[6h2h1 (h2 + h1)Y1].(2.19)При подстановке в уравнения 2.19 и 2.18 исходных данных, вертикальноесмещение конца прямоугольного пьезопривода UZтеор = 141,6 мкм.Решение по предложенной методике расчета прямоугольных пьезоприводовпроводилось в программе PK-MSR.

Для проверки корректности расчета многослойных преобразователей, аналогично предыдущему случаю, каждый из слоев(латунь и пьезокерамика) разделялся на несколько подслоев, таким образом, об-74щее количество слоев увеличивалось с двух до восьми (рисунки 2.9 а) – в)). Также, как и в случае расчета дискового пьезопривода, расчетная величина максимального перемещения на свободном конце прямоугольного пьезопривода от количества слоев не изменяется, что свидетельствует о корректности расчета программой многослойных структур.

Значение величины прогиба по рассчитаннойметодике практически совпадает с теоретическим и составляет UZмет = 142,0 мкм.При сравнении величины максимального перемещения с результатом, полученным по МКЭ (UZМКЭ-3D = 142,7 мкм, см. рисунок 2.10), установлено, что различие результатов аналитических методов и МКЭ не превышает 2%.а)б)в)Рисунок 2.9 – Результаты расчета прогиба модели прямоугольного пьезоприводапри последовательном увеличении количества слоев в программе PK-MSR: а) – 2слоя; б) – 4 слоя; в) – 8 слоев75Рисунок 2.10 – Карта вертикальных перемещений UZ тестовой модели прямоугольного пьезопривода, полученная с помощью МКЭ2.4.5.

Тестовый расчет трубчатого пьезоприводаРазмеры тестовой модели трубчатого пьезопривода (пьезотрубки) представлены на рисунке 2.11, свойства материалов – в таблице 2.2. Пьезотрубка выполнена из пьезокерамики. Для подвода электрического сигнала к пьезотрубки еевнешняя и внутренняя поверхности покрыты металлизацией, играющей рольэлектродов. Наружный электрод разделен на 4 равные секции по 90°, внутреннийэлектрод выполнен сплошным. Физико-механические свойства электрода в расчете не учитываются.