Автореферат (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 2

По основным результатам работысделано 7 докладов на международных научно-технических конференциях.Публикации по теме диссертационной работы. Основные результатыдиссертации изложены в 10 печатных работах, среди которых 3 статьиопубликованы в научно-технических журналах, входящих в список ВАК (1статья в журнале « Радиотехника» и 2 статьи в журнале «Вестник МЭИ»).Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,пяти глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации 197страниц, включая 2 приложения, 162 рисунка, 34 таблицы и список литературыиз 80 библиографических наименований.СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫВо введении проводится анализ современного состояния теории ипрактики цифровых комплексных фильтров, рассчитанных по НЧ-прототипам.В первой главе рассматриваются известные методы расчета цифровыхкомплексных полосовых и режекторных фильтров с использованием смещениячастотныххарактеристикФНЧиФВЧипроводитсясопоставлениеполученных структурных схем по числу используемых операции умножения исложения.

Последовательная и параллельная структурные схемы строятся наоснове НЧ-прототипов в виде произведения или суммы функции первого ивторого порядков с вещественными коэффициентами.В работе рассмотрены варианты реализации передаточной функциикомплексного полосового и режекторного фильтров Чебышева (инверсного) сНЧ-прототипами от второго до пятого порядков методом преобразованияпередаточной функции, методом комплексной арифметики и методомкомплексной задержки. Проведено сравнение вариантов реализации по числуопераций сложения и умножения, а также по числу операций задержки на такт.Сравнение вариантов реализации показало, что метод комплекснойзадержки и метод комплексной арифметики требуют существенно меньшегочисла математических операций по сравнению с методом преобразованияпередаточной функции.

При этом метод комплексной задержки8позволяетреализовать перестройку центральной частоты комплексного полосового илирежекторногофильтрапутемизменениемвсегодвухпараметроввкомплексных задержках, поэтому его можно считать предпочтительным.Во второй главе рассматриваются методы расчета цифровых ФНЧ иФВЧсиспользованиемкоординатнулейиполюсовНЧ-прототипа.Рассчитываются последовательная и параллельная структурные схемы ФНЧ иФВЧ, состоящие из звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами.Если передаточная функция НЧ-прототипа задана нулями и полюсами, то вобщем случае ее можно представить в следующем виде:T ( s) =( s − n1 )( s − n2 )...( s − ni )...( s − nM ),( s − p1 )( s − p2 )...( s − pi )...( s − p N )где ni - координаты нулей, а pi - координаты полюсов НЧ-прототипа,M- количество нулей , N-количество полюсов.Координатынулейиполюсоввбольшинствеслучаевимеюткомплексные значения.

В работе используются НЧ-прототипы Баттерворта иЧебышева (инверсного). Прототипы Баттерворта имеют только полюсы, апрототипы Чебышева (инверсного) имеют нули, число которых либо равночислу полюсов, либо на единицу меньше. В такой ситуации, передаточныефункции НЧ-прототипов последовательной и параллельной структурных схембудут состоять из сомножителей двух видов: Ti ( s) =( s − ni )1и Ti ( s ) =.( s − pi )( s − pi )В такой ситуации, используя метод ОБП, можно найти передаточныефункции первого порядка для звеньев ФНЧ (ФВЧ). Пусть передаточнаяфункция НЧ-прототипа звена первого порядка имеет следующий вид:T1 ( s ) =( s − ni ), где ni = ni1 + jni 2 , pi = pi1 + jpi 2 .( s − pi )После замены переменной (ФНЧ):(1 − z −1 )s =γ ⋅, где γ = ctg (πwΠ ) , получим(1 + z −1 )9(γ − ni ) − (γ + ni ) z −11 − N i z −1T1 ( z ) == Ki ⋅,(γ − pi ) − (γ + pi ) z −11 − P i z −1где K i =γ − niγ + niγ + pi= N i1 + jN i 2 , P i == K i1 + jK i 2 , N i == Pi1 + jPi 2 .γ −niγ − piγ − piПосле замены переменной (ФВЧ):(1 + z −1 )s =γ ⋅, где γ = tg (πwΠ ) , получим(1 − z −1 )−1(γ − ni ) + (γ + ni ) z −1~= K i ⋅ 1 + N i z−1 ,T1 ( z ) =−1(γ − pi ) + (γ + pi ) z1 + Pi zгде K i =γ + piγ − niγ + ni= Pi1 + jPi 2 .= K i1 + jK i 2 , N i == N i1 + jN i 2 , P i =γ − piγ − piγ −niСтруктурныесхемыкомплексныхзвеньев первого порядка,~соответствующие передаточным функциям T1 ( z ) и T1 ( z ) показаны на (рис.1а,1б).Рис.1.

Структурные схемы комплексных звеньев, соответствующие~передаточным функциям T1 ( z ) и T1 ( z )Отметим, что структурные схемы комплексных звеньев первого порядкадля ФНЧ и ФВЧ отличаются только значениями коэффициентов.В нашем случае вторая передаточная функция НЧ-прототипа звенапервого порядка имеет вид:T2 ( s ) =1, где( s − pi )pi = pi1 + jpi 2 .После замены переменной (ФНЧ):10(1 − z −1 )s =γ ⋅, где(1 + z −1 )T2 ( z ) =γ = ctg (πwΠ ) , получим1 + z −11 + z −1=K⋅,i(γ − pi ) − (γ + pi ) z −11 − P i z −1где K i =γ + pi1= Pi1 + jPi 2 .= K i1 + jK i 2 , P i =γ − piγ − piПосле замены переменной (ФВЧ):s =γ ⋅(1 + z −1 ), где(1 − z −1 )~T2 ( z ) =1 − z −11 − z −1=K⋅,i(γ − pi ) + (γ + pi ) z −11 + P i z −1где K i =γ = tg (πwΠ ) , получимγ + pi1= Pi1 + jPi 2 .= K i1 + jK i 2 , P i =γ − piγ − piСтруктурныесхемыкомплексныхзвеньевпервогопорядка~соответствующие передаточным функциям T2 ( z ) и T2 ( z ) показаны на (рис.2а,2б).Рис.2.

Структурные схемы комплексных звеньев, соответствующие~передаточным функциям T2 ( z ) и T2 ( z )Схема фильтра с последовательной структурой будет состоять изпоследовательного соединения комплексных звеньев первого порядка, тогдаможноввестиобщийкоэффициентравныйкоэффициентовK 0 = K 1 ⋅ K 2 ⋅ K 3...K i ...K NKi =γ − ni, где ni = ni1 + jni 2 , pi = pi1 + jpi 2 .γ − pi11произведениючастныхЕсли ni – вещественный нуль, pi – вещественный полюс, тогдаK1 =(γ − n1 ) = K, где(γ − p1 ) 1K1 - вещественное число.Если имеются пара комплексно-сопряженных нулей и пара комплексносопряженных полюсов, тогдаn 2 = n21 + jn22 , n3 = n21 − jn22 , p 2 = p21 + jp22 , p 3 = p21 − jp22 .(γ − n21 − jn22 ) (γ − n21 + jn22 ) (γ − n21 )2 + (n22 )2K2 ⋅ K3 =⋅==K ,(γ − p21 − jp22 ) (γ − p21 + jp22 ) (γ − p21 )2 + ( p22 )2 23где K 23 - вещественное числоТаким образом, если передаточная функция содержит вещественныеполюсы (нули) и комплексно-сопряженные пары полюсов (нулей), общийкоэффициентK0равныйпроизведениюкоэффициентовKiбудетвещественным числом и структурная схема упростится.В большинстве известных НЧ-прототипов при нечетном числе полюсовM<N, то есть T(s) - правильная дробь.

Тогда функцию T(s) можно представить ввиде суммы дробей первого порядка: А1А2АiАN T (s) = ++ .... ++ .... + , гдеspspspsp(−)(−)(−)(−)12iN  [( p1 − n1 )( p1 − n2 )( p1 − n3 )...( p1 − nM )] , A2 =  [( p2 − n1 )( p2 − n2 )( p2 − n3 )...( p2 − nM )] A1 =  [( p2 − p1 )( p2 − p3 )...( p2 − pi )...( p2 − pN )] [( p1 − p2 )( p1 − p3 )...( p1 − pi )...( p1 − pN )][( pi − n1 )( pi − n2 )( pi − n3 )...( pi − nM )], AN =  [( pN − n1 )( pN − n2 )( pN − n3 )...( pN − nM )] Ai =  [( pi − p1 )( pi − p2 )...( pi − pi −1 )( pi − pi +1 )...( pi − pN )] [( pN − p1 )( pN − p3 )...( pN − pi )...( pN − pN −1 )]Координаты нулей и полюсов, а также коэффициенты Аi в большинствеслучаев имеют комплексные значения.В такой ситуации, используя метод ОБП, можно найти передаточнуюфункцию ФНЧ (ФВЧ) в виде суммы передаточных функций первого порядка скомплексными коэффициентами.В нашем случае передаточная функцияодного слагаемого НЧ-прототипа имеет первый порядок:Ti ( s ) =Ai= Ai ⋅ T2 ( s ) ,( s − pi )гдеpi = pi1 + jpi 2 .12После замены переменной (ФНЧ), получимTi ( z ) = Ai ⋅ T2 ( z )После замены переменной (ФВЧ), получим~~Т i ( z ) = Ai ⋅ Т 2 ( z )Структурныесхемыкомплексныхзвеньевпервогопорядка,~соответствующие передаточным функциям Ti (z ) и Ti ( z ) , отличаются отструктурных схем, приведенных на рисунках 2а и 2б, только значениямикоэффициентов.Для иллюстрации метода рассмотрены примеры расчета по координатамнулей и полюсов цифровых ФНЧ и ФВЧ с одинаковыми полосами пропусканияwn=0,1, в частности, с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядка.

В результате моделирования в среде Micro-Cap 7 былиполучены АЧХ цифровых ФНЧ и ФВЧ с последовательной структурной схемы,приведенные на рис.3.Рис.3. АЧХ цифровых ФНЧ (а) и ФВЧ (б)АЧХ соответствующих цифровых ФНЧ и ФВЧ с параллельнойструктурой, полученные путем схемотехнического моделирования, совпадают сАЧХ, показанными на рис.3.

Соответствие полученных АЧХ исходным даннымподтверждает работоспособность предложенных методик расчета.В третьей главе рассматриваются методы расчета комплексныхцифровых полосовых и режекторных фильтров по координатам нулей иполюсов НЧ-прототипа с использованием комплексных задержек.