SLPR_010 (Случайные процессы), страница 2

Обозначим для и = 1,2, Р„,(В) = Р(1„(Б))., Б е Б(Л"). Последовательность РПРГп ..., вероятностных мер, определенных соответственно па (Л,Б(Л)), (Вз,Б(ЛЯ))...., обладает слсдуюшим очевидным свойством согласованности: для любого п, = 1, 2, ... и В Е Х!(Л") (2.1) !'„, (В х В) = !'„(В). Имеет место и обратный результат Теорема 2.3 (тьорг ио, Колжоиороьа о и!юдгььясении,меры ь (В",Х!(Л~))). Пусть Р~. Ря...., - послсдоьательность ьгролтностных жср, определенных соотьстстьюто на (Л, Б(В)), (Лз. Б(В )), ..., обладающих ггжгйстьои соглсюгоьатгости (о.1).

Тонда суп!ссгпо!!егн и нрнтгьн ьг!ннтпььнная ьероятносгпная,:нера !'Р на (Л"',Б(В )) такал, что длл нахсдого и = 1. 2, ... вар~го !'ассмотрим теперь пространство (Й,Б(Й )), где '! — некоторое подмножество Й. Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор х = (1ы...,1„) разлп шых индексов таких, что 1~ < !х < ... < С„., Й Е 'Т, п = 1,2, ....

и ) 1. Пусть Р, — вероятностная мера на (Й", Б(Й")). Будем говорить, что семейство вероятностных мер (!'„), где т пробегает множество всех конечных упорядоченных наборов (1ы ...,1„), является согласопаппым, сели для .побых наборов т = (1ы...,1„) и и = (ьд...., ьь) таких, что и С г, 1~ < 1х < ... < 1„, я~ < ях < ... < яь верно Р ((хп;;хе,,): (хп;;ха,,) Е Б) = Е т((хб::хм): (хп;:хзу.,) Е Б) для любого В с Б(Йь).

Теорема 2.4 !теоре.иа с олжогороьа о продолояьнии,игры ь (Йт, Б(Й~))). Пусть (Р,) - сеисистпьо согласоьанных ьсроятноьтпных .иер. Тогда сущестьуст и припгож ьдпнстьеття ььроятностная,игра !'Р на (Йт, Б(Йп)) гпанояь что Р (х для ьсьх ньупорядочьннхах нобороь т = !'1д,,, ..1„) различных индьнсоь 1,, Е '!' и любого В Е Х!(Й'), Теорема 2.5 (теорежа Ебол,иогороьа о сущсстьоьазши процесса!. ЕЕ!Есть (Ез(хы...,хп,.1ы, ..,1ь)), где 1; Е Т С Й. 1~ < 1~ < < 1ь, п г 31. заданное ссжсйстьо нонсчножсрных функций распределения. удоьлстьоряющих услоьияж согласоьанности (У). !огда, суи!ьстьуют ьероятностное пространстьо (!1,У, Р) тс случайный процесс,с(ю) = ~(1.~о), тания чапо РД(1,) < хы ...,~(Е„) < х„) = Ег(х,...., х„:!ы..., 1„). Доказательство. Положим !! = Йт, х'- = Б(Вт) т.

с. возьмем в качестве пространства пространство дсйствтсльпых фупкпий с о-алгсброй, порожденной пилипдричсскими множествами. ((усть г = (1ы....1ь), 1ч < 1х « ... 1„. !огда (! (хы....х„:1м....1,)) прн фиксированных (1д,...,1ь) являетсн и-мерной функпией распределения н сушествует вероятностная мера Р, такая, что Р;-(('~с,,.....,ач„): >.и < х~,.... лон, < х„) = Р(х~......,х, 1~......,1„). Из условий согласованности семейства конечномерньтх распределений вытекает, что семейство (Р,) также является согласованным.

Поэтому согласно теореме 2.4 па пространстве (Вт, Б(Вт)) сушсствуст всроятпостпая мера Р такая, что !'(а~, Е Й: ~ля ~ (хы ...,ьэь, ( (х„) = Еь(хы...,х„:1м....1,). для всякого набора т = (1ы....1„). 1~ < 1з < < Еь. Отсюда следует также, что Р( ~ Е Й: ~~я < (хы ....ай„( х„) = Г(хм..., хь';1ы...;1п) Так образом, в качестве искомого случайного пропесса (Я~ет можно взять пропесс, определенный следуюшим образом: Теорема доказана.

Заме тапио 1. Построенное вероятностное пространство (йт, В(йт), й) пазьявают каноническим. а задание случайного пронесся равенством (2.2) - коордипатпьям способом нестроения пропесса. 2.1 Задачи 1. Пусть Т вЂ” любое несчетное множество. Тогда любое множество Л Е В(йт) имеет следуюшую структуру: найдется пе более счетного множества точек И.1я,1з,... нз Х н борелевское множество Й из В(й- ) такие, что Л = (х1г) Е й: (хп, хая ...) Е Й1.

2. Используя задачу 1, показать, что множества Л~ = (х(1): впрхя < С для всех 1 Е (0,1)), л1я = (х(1): х~ — — О по кРайней меРе ДлЯ оДного 1 Е [О, 1]1, Ла = (х(1): х~ < С непрерывна в фиксированной точке 1в Е (О, 1)1 пс принадлежат В(1опд)), т е. пе являются измеримыми относительно пространства (Й~~д). В(1оод))). 3. Показать. что множества х1в = (х' Е й принадлежат В(й ), т.е, являются измеримьями относительно пространства (Й' .,В(Й- )).

Л4=(хЕ Й '; Ля=(хЕЙ' впр,г„< С). 1пп х„< С1, 11ш х„сушествует я конечен ) Лекпия 3 3 Разные виды сходимости последовательностей случай- ных величин 1(усть ~т,~з,... — случайные величины, заданные на некотором вероятнсютном прос трангтве (Й, У',!'). Определите 7. Последоватсльпость случайных величин ~т,~я,... называется гходятттейся по ьсроягпносптн к случаиной величине (, если для любого е > О выполнено Р߄— 4! > с) — л О при и — л ос. Обозначение: ~п — л ~. Р Определение 8. Последовательность случайных величин ~т,~я,... называется сходяитсйся с ь«рояганггсгиью «данпца (тточттт наь«рно«.. иоппии всюду) к случайной величине,с, если ~ь тст ~) Обозпачспие: г„— л ~(Р— тт.тт.).

тлли ~о — — 1 «. или ",„— — ~ ~. Определен«те 9. 11огледовательногть г,тучайных величин ~т,~я,... называется сходяптсйся ь средне.н порядка р, О < р < сс . к случанной величине ~, если М(~ь — ~(г — л О пРи и — л ос. Обозначение: г„— л с. 11ри р = 2 зтусходтлмогть называтот сходи,иосип ю ь ср«дн«си кьадраптчссколт и птлтпут ~ = 1л.ги. ~„(1 1.тп; сократпение от 1ппа тп птеап — сходимость в среднем).

Определение 10. Последовательность случатйпых вслтлчип ~т,~я,... называется сходяит«йся, по распр«д«,т«нлпо к случайной величине ~, если для лтобой ограниченной непрерывной функпии 1 = 1(х) верно М)(го) — л М)ф при и — ~ ос. Обозначение: ~п — л ~. Замгчапис. Сходимогть по распрсдслстплю зкптлвалсптпа сходимости фупкпии распределения 1т„(х) к функпип распределения 1с(х) в каждой точке х, где функпия 1~(х) не- прерьтвна. Определетттле 11. 11ослсдоватсльпогть случайных величин ((„) >, й1тутттда,лл«ттта,лотта по и „>т ь«роятноггитт.

с ьгрояпгпогптьто «дттллпца и г ср«дис,и порядка р, О ( р ( сс, если выполненьт соответственно следуютпие условия: для любого е > О верно 1'1 ~„—,~ ! > я) — + О при и, тп — + ж, последовательность Я,(са))„>т фундаментальна для почти всех та Е Й, последовательпость фУпкпий Д„(са)т-„>, фУпДамсптальпа в смысле 1У, т. с. 1УХ~~о — ~„,!т — л О пРи поли — л ж. Теорема 3.1 од «г1гля того чплобьл с, — + ~(Р— п.н,.), нгобгодижо и достаточно, чтобы для любого г > О Рл впр„>„~~ь — ~~ > гл) — 'г О при 'и — ~ сс.

Ь) Воальдобптгльногть Я.„)„>д фрндилгбнлпальнгл с бброятногтью гдинангл тогг)а и илолько и)~л тогда, когда для любого г > О (3.1) Р(впр ф- — ~~! > .) — + О при п — ~ сс, й) и, 1> п илн. что эьбпбпл«нплно (3.2) Р(ъорь оД„+ь — ~„! > г) — ~ О при п — ь сс. Доказатеяьство. а) Иугть А'„= (ал: ф,(ео) — ~(ьл) ! >,.), А' =!1ти,,~ А'„:— Д„д 01~ „Аь. Тогда (ал: с, лгь Я = ) ), о.4' = ()„л А . Но Р(А ) = Бт Р( Д Аь). я=ь 11озтому Р(:~и —,лЬ~)=О ~ (ДА=)=О ~ ° (А1)=О, >1 ~ гь =1 Р(,4') = О., «> О ~ Р( Д 4ь) — ь О., и — ь сс ~ Р(впрь>,(~„— ~) г «) — э О., п. — ~ сс.

Ь=ь Легко проверить, что стрелки верны и в другую сторону. Ь) Обозначим В~, =(ы:КМ-й И>«);В = й 0 и;и ь=~ Ь>ьд>и Тогда (ьл:(с,1ьл))„> не фундаментальна) = Ц В'. -.>о И так же, как и в случае а), показывается, что (ю: (~ (ьл)) >, не фундаментальна) = О зквивалсптпо (3.1). Эквивалентность жс утверждений 13.1) и 13.2) следует из очевидных неравенств в«рь>оМп+ь — си! ~ варь>ол>о~А -ьь — ь.+г~ ~ 2вллрл>о(и+ь — сь ~ Теорема доказана.

10 .