SLPR_010 (Случайные процессы)

Лекпня 1 1 Основные понятия теории случайных процессов 1.1 Определение случайного процесса Дусчь (!2, У) — некоторое измеримое пространство (У' — и- алгебра подмножеств !2 ) и (Л, 6(В)) — числовая прямая с системой борелевских множеств В(В). Опреаеленлге 1. Дсйствигельллая фупкния с = с(лз), опрсдел~ ппая на ((1, У), называется У-измеримой функпией пли случайной величиной. если для люсбого В Е Хз(/л) верно тлс: С!та) Е В1 Е У.

Определелглге 2. !1усть 7' — некоторое подмножество числовой прямой. Совокупность случаипгих величин ь(г) = (ьл)лет называется случаипым п1)оно(сом с 33реляепным интервалом 1'. Ллыернативное определение 2. Пусть (л!. У, Р) — некоторое вероятностное пространство и Т вЂ” множество зпачепяй параметра.

Случапным пропсссом пазыпастся конечная вегпествепная функпия ~(т) = «(1,лз), которая прп каждом фиксированном ! Е 1' является измеримой функнией от ы Е Й. Определенно 3. Если 'Е' = 11, 2,... 1, то с(!) = (сл, ~я,...) называют случайным пронессом с дискретным временем или случайной последовательностью. Если Т = [О, 1). ( — сс, ж), (О, ос), ... то с(!) = (сг)лет называют случайным пропессом с непрерывным врслн нем.

!!усть ~(!) — случайнляй пропесс. Мля будем использовать также обозначение ~л вместо 1.2 Семейство конечномерных распределений случайного процесса При каждом фиксированном т = 1~ случайная величина с(11) = ~(!ылз) имеет определенное расп1м делспис вл роятпостсй. фупкния распределения которого обозначим ! '(и:ал) = Р1г,(гч) < х~~. Пусть !д...., 1„- произвольное конечное множество значений с Соответствующие случайньле величины ~(!д),...,с(1,„) имеют совмегтную функппя распределения (1.2) Г(ял,..., х„:!л,..., Е„) = Ртл~(1~) < лы ...

~(1„) < л„~~-. Семейство всех таких совместных фупкний распределения для и = 1,2, ... и вссх возможных значений 11 называется семейство конечномернгих распределений случайного пропесса ~(!).,)то одно из основных понятий теория случайных пропессов, н из последуюшсго будет видно, что лпюгис сушсствсппыс свойства случайный пронес« определяются свойствами семейства копс шомсрпых распределений случайного пронес«а.

Легко видно, что конечномерньте распределений случайного пропесса должны удовлетворять следуюшим утловиям симметрии и согласованности. Услотпля симметрии требуют, чтобы и-ън рпьтс фупкппи распрсдслстпля 11.2) были симметричньтмп по всем параметрам (яттьум), т.е, чтобы этн функппи распределеттття не менялись при одновременной перестановке х, и !т. Условия согласованности выражается соотношением 1тш ! 1атт,...,х.„:!т,...,1„) = !'1:тт,....х„тт!т....,т„т), которое следует нз того факта. что ю-множество.

определенное неравенствами (~т Е О: ~~!т) ~ (хт, Яп) ~( и«) при х,, — э ос приближается к множеству 1ьт Е т1: ~~ут) ~ (хт,;'«1!а — т) ( ха — т) На самом деле, как мы увидим дале«, любое семейство коне шомсрпых распределений, удовлствораюшсс условиям симметрии и согласованности может быть связано с некоторым случайным пропессом.

Определение 4. Если две случайные величины «и т! равны с вероятностью 1, т.е. ! К= !)=1: то говорят, что ~ и т! эквивалентны. Определенно 5. Два случайных пропссса ~ф и т!1!) будем называть эквивалентными, если прнкаждом фиксированном ! Е ! случайные величины ~ф и т!1!) являются эквивалентными. Очевидно, семейство копсчпомсрпых распрт делений у зквипалсптпых пропсссоть совпадают (наоборот неверно). Согласно обшему духу теории вероятностей, прспсбрсгаюшей событиями, нмеюшими вероятность О, с плтат тся, что подмена изучения некоторой случайной фупкпии изучением ттакой-либо другой эквивалентнотл ей случайнои функппи не наносит ушерба теории и не влияет на практические применения.

1.3 Выборочные функции Определенно б. Пусть~(!) = ~(!,ьт)-сьтучатйтттый пропссс. Дьтьт каждогофиксироваппогою Е Й фупкпия ~(!ла) называется рсализаписй. тлли трасктортлил, или выборочной фупкписй случайного пропесса, соответствутоптей исходу ю, Выборочнаяй функпия ~ф может рассматриваться как точка в пространстве Х всех конечных вешествеппых фупкпий л(~) переменного ~ Е Т. Пространство Х называют пространством выборочных фупкппй или просто выборочным пространством случайного пропесса. Случайный пропесс ~(~,ш) определяет функпию, переводяшую каждую точку Е О в некоторую точку пространства выборочных фупкпий Х. Эта фупкпия отображает вс~ пространство й на некоторое подмножество пространства Х, которое, вообше говоря, не совпадает с Х.

Пусть Л' любо~ множество из Х. Множество Л = (~.* Е П: 6~, ю) Е Л ) будем называть прообразом А'. Рассмотрим семейство У' всех тех множеств А' из Х прообразы которых измеримы, те. принадлежат У. Очевидно У' есть о-алгебра множеств Х. Функпия множеств Р'(Л') = Р(Л) = Р~ш Е П: Я., Ц Е Л ) будет всроятпостпой мерой па (Х. У') и тройка (Х,.Г. Р') определяет новое вероятностное пространство. рак опретеленная вероятностная мера называется индуппрованной случайным пропессом ~(Е).

Е" (Л') означает пероятпость того, что пыборочпая фупкпия, иля реализапия случайного пропесса ~ь(~) будет принадлежать множеству А' пространства выборочнглх функпий Х. Поэтому ~(~) можно рассматривать как случайную функпию. принимаюшую различные значения в Х в соответствии с вероятностной мерой Р'(Л'). При изучении важных классон случайных пропессов, как и в различных приложениях, нас будут интересовать свойства распределений вероятностей в выборочном пространстве, индупированных рассматриваемыми пропессами. Например, нам потреоуется находить вероятность того. что реализапип (выборочная фупкпия) данного пропесса обладают тем или иным свойством, т.е.

принадлежат некоторому А' Е Х. Очень часто нам будет известно семейство копечпомерных распределений случайного пропесса или по крайней мере пекоторгяе свойства этого семейстпа и пам нужно будет извлечь из этого как можно болыпе информапии относительно гоответствукппих распределения вероятностей в Х. В связи с этим возникает вопрос: в какой степени распределения вероятностей в Х, ип- дуппроваппое данным пропессом, определяется семейством копечпомерпых распределений этого пропесса.

Полее того, если на множестве '/' задано некоторое семейство конечно- мерных распределений, то при каких условиях сушествует случайный пропесс, имеюший эти распределения. Ответ на эти вопросы содержится в знаменитой теореме Колмогорова о сушегтвованип пропесса. которая будет рассмотрена позже. 1.4 Задачи 1.

!(усть Т = [0,1] и л,ф = !. Выписать семейство коллсчполлсрпых рагпрсдслсллий случаи- ного проллегга ~(т). 2. Пусть случайная величина 0 равномерно распределена па интервале [О, 1]. Т = [0,1] и ((!) = и. Выписать ссмсллство копсчпоьн рных распределений случаллпого пропссса ~(!). 3. Пусть Т = [0,1], (л(!) = 1., (и(!) = 1 — !. Траектория случайного пропесса ((!) с вероятностью †, совпадает с функпией )~(1) и с вероятностью †, совпадает с функппей 1 1 /а(!). Выписать ссллсллслпо кепс лллоллс1лллых 1заслгрсдслсллллй слу лайпого п1лопссса ~(!). 4. Семейство конечномерных распределений случайного пронесся ~(!), Т = [О, оо], задается следуюшим образом О, при лн!и т,.; < — 1:, 1(~(л 1 — при — 1 < лплп лл < 1: 2' 1(~(п ! '(;гл,...,.т.,:1л,...,1„) = 1, при ппп л;> !.

3 (~(п Описать. как устроен случайный пропете, обладаюпплй данньлм семелйством конечномсрных распределений. 1, при ! ф т: л1(!) = О, при!~ т. !!оказать, что С(!) и О(!) зквивалентньле случайные пропеггьл. 5. Пусть случайная вслллчипа т рапллллмсрлло распрлдслспа па интервале [О. 1], Т = [О. 1]. ~(т) =1 и 11екпия 2 2 Задание вероятностных мер Раппе, и курсс 'Впсдспис и теорию псроятпостсй' мы рассматривали измеримые пространства 1//., 1з1!/)) и 1//"., Л(Й")).

где Й" = (х = 1хл,..., х ): — сс < хь < зс, /с = 1,..., и). При этом 11///и ) определялось следуюптлл образом. Пусть / = !л х ° х 1„, 1ь = 1ал. Ьл] т.е. / = (х = 1хл...., х,„): аь < хл ( Ьл, й = 1,..., п), 1- прямоугольник, 1л. — стороны, й = 1,.... и. Тогда о1Л') = п(1) — паилясньшая п-алгсбра. содсржашая сопокулшость пссх прямоугольпикоп и Л". /1ля построения мерьл на пространстве (Й.,б1//)) мы рассматривали следуюшую теореллу. Теорема 2.1 .

//успп 1' = /'1х) — некоторая ф//нкция распределения нп иислоаой прямой Л. Тогда ни (Л,Рз1Л)) сущсстоуст и притом сдинстоснная осроятностная жсра Р плиния, цлио для ..иобьлх — о ( а ( 6 ( сс ае/дно /'(1а, 6]) = Р16) — /'(а). Построение меры на пространстве 1Л"',б1Л")) рассматривалось в аналогичной теорс лип 1)усть /: /!' — + /! и а; < 6,.

Обозначим ллюлУлхл;.... пи) Х(хл'; хл-1; /ц; тцьл..; хи) Улхл: ' ' ': хг-1: оп хавел;...; ха). Теорема 2.2 . 11усть Р = Х'„1хл,..., х„) - некоторая у)ункция расллреде,ценил и Л". Тогда нп, (!! .,/з1//")) срцестиует и притон единстьеннпя аероялпнослпная гаера /' плакал. / Оа. 6]) /л„л, 1л,„л„/, лхы ", х..); гс)е (а.Ь] = (а,л,Ьл] х х (а,„,6„]. При изучении опучайпык пропсссоп приходится рассматрипать спю дпа прострапстпа (// ',Б1//' )) и 1//т,ВГ//т)).

где 7' — произвольное подмножество прямой. Пусть Й ' пространство упорядоченных числовых последовательностей Л =(х=1хыхя, ), — ~<хл.<~., /с=1,.2.....), о111 х ... х 1„) = (х Е Л': х~ Е 1ы..., х„е 1„) — пилиндрпческос множество и Л Б/Л' ) = о(/11л х ... х 1„)) - наименьшая п-алгсбра, содсржашая псс пилипдричсскис множества,/1/л х ...

х !„):, Л = Гх(г): х(!) — фупкпия, определенная па Х). Обозначении: х(!), хм !!усть 1б,....г„% х Х1,) = (х(!) Е Л: хб Е А ...... хп, Е 1„) — пплипдрпчсскос множество в Л т, т Б(В~) = о (,Хп, н, (1~ х... х 1„)) — наименьшая о-алгебра, содержашая все пилиндричсскис множества Уб,л„(1~ х... х Г„). Будем называть Б(Лт) борслсвской о-алгеброй. !(оказательство теоремы проводилось по следуюшей схеме: исходя из и;мерной функ- пип распределения: мера сначала опрсдсляласься па прямоугольниках, затем па конечных осььсдипспиях прямоугольников и, пакопсп.

с помошыо теоремы ГХаратсодори па множествах из Б(Л"). Аналогичная схема построения вероятностных мер 'работает' и в случае пространства (Л .,Б(В И. Обозначим через ,1„(В) — (х Е Л=: (хс:, хп) Е В), В Е Б(Л"). пилиндрическое множество в пространстве Л с основанием В Е Х!(В"). Именно пилиндрпчсскпс множества сеть тс злсмсптарпыс множества в В, по значениям вероятностей которых определяется вероятностная мера па мпо'ксствах Б(Л ). Пусть !'- некоторая вероятностная мера на (В .Б(Л"')).