SLPR_020 (1085282)
Текст из файла
Следствие 1 !!огкольк1! Р(зпрь>, 1я — 1~ ~ )с) = Р(1 ) 1п — 4~ ~ )е) ~( ~~~ ! (~4г, — ~ь ~ )с), я)п гпо яыполявпкг. для кагясдого и > 0 услогия ! ((~а ~! )~ с) < сс я=> 13.3) дог:тагпоиио длл сходилгосп>и ~„— '-Ф ~. Лемма 3.1 Бо!>слл-Каитслли. а) Если 2.'„~ Р)Л„) ( ос. >по Р111п>„>„„- 4„) = О. !>) Если 2 ~ > !'(А„) = ос и события Ад, Аз,... нвзг>виси>ам, то !'11йпо, -.4о) = 1.
Отметим. что 11Ш Л. = (~ Д Л-: 11Ш Л- = Ц Д Л о=>я=о л=! Ь=о у!оказагельство. а) сг Ог О;-. ! ( ~;~„, Л„) = ! (Д Д Л„) = 1Ъ ! (Д Ля) < 1п ~ ~Р(Ль). ~=1 я=п я=о откуда и следует утвср>кдепис а). Ь) Если события А>, Ая,... независимьь то таков>ями же будут и события 4>..4>, . Поэтому для любого К > и ьч ! )П.4я) я=о П Р(А) откуда нетрудно пыпсстп, что П Р)А). ь=о ,Палее хг гз 1п(1+.г) = г.
— — '+ —" — ..., .~х~ < 1:, 2 3 гз О>11 —,г) — г, — — — — — .... О ( х < 1: 2 3 и В связи г условием (3.3) уместно сейчас отмстить, что положенные при его выводе рассуждения»озполя>г>т установи>ь следу>г>ший простой. »о важный результат. явля>г>шийся основн>ям средством прн исследовании свойств, вьтпояняюшиися с вероятность>о единипа. Пусть Л>. Ля,... - некоторая последовательность событий из У. Отсюда 1п ( П Р ( Лл ) ) = з 1п (1 — Р( Ль ) ) < — ~~г Р( Ль ) = — ж. у=я я=ь Ь=ь Следовательно, для любого и > 1 Р(Л.АЛ ) =О и, значит, Р( 1пп Л„) = 1. .! !емма доказана. Следствие 2 !1успгь (, „) > — последоьотехп ность полоэкггпзвльнггх чисел тонях, чгпо ь)1 , ~.
О при и — Г ж. Тоади. если 2 „' г Р(~~и — С! > =) < ос. гио С„ь'ю С. Доказательство. Н самом деле, пусть Аь = (ш: (~е(иг) — ~(иг)) > -„). Оогда по.лемме Борсггя-Каггтслгги Р(1!ггг„~ь, Лв) = О. Л это означает. что множество таких ш Е й, для которых сушсствуст Л' = Лг(ш), что для любого п > Лг(ш) верно неравенство )~„(иг)— ((ш)/ < - имеет меру 1.
Но нь ~, О, поэтому сь(ш) — + с(ю) для почти всех ш е й. П Теорема 3.2 . ХХмегот .нсстгго слсдугогцие илгггягикицииг ~ь — "'4 ~ (3.4) (3.5) ~, — г~., р>О., сь — г .. с (3.6) Доказательство.. Утвсрждгпис (3.4) следует глз критерия (3.1) теоремы 3.1. Утверждение (3.5) следует нз из неравенства '1ебьппена.,'!ля доказательства (331) пусть г' (х) < с, с > О и Лг таково, что Р()~( > Лг) < гь. Выберем 5 > О таким, чтобы для всех )х) < Лг н /х — у! < 5 было выполпгпо неравенство /Г(х) — Г(гу) < —;,. Тогда Л1(У(Ро) — У(Р) = ЛХ(У(~„) - !(~): (~о - ~! < 5, (~! < Л.)+ ЛТГг ! (Р,) — !'(О): !5„— Р! < 5, !Р! > Лг г+ О~К.)-ЯВ К.-~ >5) < < — + 2с — + 2сР( ~„— ~! > 5) = + 2сР(/~о — ~ > 5).
2 4с Но Р((~„— ~( > гг) — ь О прн и, — ~ ос, поэтому для достаточно болышгх п получаем .'1г'/г'ф,) — Я)/ < 2н, что и доказьгвает утверждение (3.6). Теорема доказана. 3.1 Задачи 1. Пусть [й, У, Хг) - вероятностное пространство, где [11 = [О. 1]. У = И[[О. 1]) — о-алгебра борелевскях множеств [О, 1], 1' — равномерная мера [мера „'1ебега) на [О, 1], н пусть 1, если ю Е О, еслимф а=1,2, ...: 1=1,2.....п. Проверить, какие виды сходимостп присутствуют, а какие нет для последовательности с(') с(') с(я) с(1) с(я) '1 ''я '«я 'ьа ''3 2. ()усть снова [й,:Г, г) — веронтностное пространство, где [й = [0,1], У' = Х1[[0,1]) — и-алгебра борелевских множеств [0,1], Р— равномерная мера [мера Лебега) на [О, 1], и пусть 1 я".
еслиО«" —: и 1 О. если — ( ю ( 1. и Проверитгн какие виды сходимости присутствукяг, а какие пет для последовательности 6:ся; 3. Пусть [~„,)„>1 — последовательность независимых случаиных величин. при атом 1. с вероятностью р.„: ~ив О. с вероятностью 1 — р„. Показать. что ~„— ~ 0 Մ— '-) 0 р„— ~0, и — ~со: б) р„-+О, и.— ~ос: '~ р, <ос, и=3 21екпяя 4 Теорема З.З (критерий 1йогаи сходиноспт почти наьерное).,,г!ля тоегг чгтобьч погледооательность случайных ьеличин (~к)„>д была сходли!гйгл с оеролтностью гдиница (к некоторой глучайиы ьгличине г). необходимо и догтаточио. чтобы она быта фундалгситальиа с ьеролтностюо единица.
Доказательство. 1Ь обходиляость. Если й„— '-4 й, то ' рь>,й>,~б -6~ < ' рь>. ~ь — 6+а р~>. бь -6: откуда вытекает необходимость. !!остаточность, !!усть теперь последовательность Д„)„>, фундаментальная вероятноп>~ стью едипппа. Обозначим П = 1ю: 1с„(ю))„>~ пе фундаментальна). Положим 1пп с„(го), при ш Е Й ~ Л: ~(,,) П-+СС ю ! О, при сх Е й. Тогда й., — -4 ~.
Тсорг ма доказана. Теорема 3.4 . Рели аослгдоьатсльность (~„)„>, у1ундагиснтальна (ггходится) по г>сролтяости, то из иге жоакино изьлечь подпоглсдоьагпельиость Д„ь), у1угдагиентальную (сходя7цуюся) с бероятногть гдиюп!6, Доказательгтпгь Пусть последовательность Д.,) фундаментальна по вероятности. Покажем, что из нее можно извлечь подпоследовательностгч сходяшуюся с вероятностью едншяпа. Положим п~ — — Е Далее, пусть пь равно наименьшему п > пь ы для которого прп псах л > и, 1 > и выполнено неравенство Р(!цг — ц,! > 2 ь) < 2 Тогда ~> Р(~~„к~,— ~т~>2 ~)< ~~ 2 ь<эс.
ь=1 ь=! По лемме Бореля — Кантелли Р1г~(„я~, — ~„„~ > 2 и длЯ бесконечного количества номеРов к.) = О. Поэтому с вероятпостшо едипипа 14 11усть Р = (ю: 2 ~. ~~и,~, — ~,„~ = ос). Тогда, если положить ~т(~)+ ,'~ (ф„,„— ~„), прп ю Е Й~Р: 6)= О. приюеР: то получим ст ™+ с. Если же исходная последовательность сходится по вероятности, то, как следует из слсдуюшей теоремы, опа и фундаментальна по вероятности и, следовательно. зтот случай сводится к уже разобранному. Оеорема доказана. П Теорема 3.5 (критерий Конт сходисиости по асроятяости). Д~'ля тово чптбы последоьапгельность случайных ье,гичин ((,)и>д была сходяи1ейоя ао вероятносппь необходиио и и>~ достаточно.
чтобы она была фупда.иеятальна по вероятности. Р Доказательство. Если ~, — + ~, то 10~- —:. ~ > -) <10Ки — а > —.,)+10~.„-~~ > —.,): и. следовательно, последовательность Д„) >, фундаментальна по вероятности. ь>1 Обратно. Если последовательность (~„)„> фундаментальна по вероятности, то тогда, ь)~1 согласно теореме 3. 1, найдутся подпоследовательность (~„,) и случайная величина ~ такие, что ~„ь — ы ~с. По тогда РОЙ -б > ) < Р0б„— ~„„~ > -') + Р0~„, — ~~ > -'), Р откуда и ел~ дуст си — г с. Теорема доказана.
В связи со сходимостью в среднем порядка р > 0 сделаем прежде всего несколько замечаний о пространствах . Будем обозначать через Ег = ь" (О, У, Р) множество случайных величин ( = ~(ш), для которых Л~Х(~!" = ( )~ "ЙР < зс. Пусть р > 1. Положим и К~я=( а')' Имеем: 1. !К1~, > О. 2. 'Ос~ )и = (с (),~ )„, с в постоиннаи. З. К+ О~~„< ~~ ~, + ~~О~~, Что еше нужно для нормы! 4.~К~! =О ~ ~=0.
Последнее свойство пе выполнено. Однако если под ЛЯ понимать множество 1пространство), элементами которого являются пс случайпыс величины ~ с ЛХ(~!", а классы эквивалсптллых случайных вели лип, то 'О.'Ор стаповллтся нормой, а ХУ вЂ” ллорьлллровапллым линейным пространством. В функпиональном анализе доказлявается, что пространство а У,л'. 1р ) 11 является полным. Сформулируем этот результат на вероятностном языке.
Теорема 3.6 (критерий Коти сходи,иосгпи ь срсднсли порядка р > Ц, Для того стобы последоьптельность случспЪных ье,тчин (с,„) > из Ли схос1плась ь среднеи порядка, р ) 1 к случайной ьсьличинс ~, иринадллсзкаилей ьг, чсобходилло и дослиаточно, чтобы зта послсдооатсльность была улундаллснтальной о срсднсси порядка р.
ья Доказательство. Пеобходимость. Пусть л, — — ь сз Тогда Л1)~,,„— ~я,!" ~ (1И(~л — ~) +,И(~ы —,)" — ь О при и, пь — + Достаточность. Пусть Од„— ~„,)(р — ь О при п. т — ь ос. Построим подпослеватсльпость (дт,) такУло, что д„—:-1 д, где ~ — некотоРаЯ слУчайнаЯ величина с лИ ~(" < ос, т.е.
Одйе ( ос. Положим п1 = 1 и пусть иь равно наименьшему и > пя ы для которого прп всех и > п и й ) и тяполпспо перавепс гпо Обозначим Аь = ( .: (~„ьл, — д„! > 2 ~). '1'огда в силу неравенства '1ебьппева 11И с ~ 2-ля Р(с1.) « ' "'' "'' = 2 пы. Отсюда следует, что сутествует такая случайная величина й, что ~лп — -+ ~. Выведем отсюда, что Од„— ду„— + О при п ь ос. С этой пелью зафиксируем " > О и выберем Л = Л'ф таким, что йс — с„'Ор < е для всех т ) Л. и ) Л".
1огда в силу леммы Фату лИ(~ — ( — И( Ьп (~ — д ) ) — И(йт (~ — д ( ) < ~1т„л~м~~с„— ьс,„к~я = Ощ !К,„— 6п р < г, Следовательно, Лй(~,, — ~(г — + О пРи п — ь ос. !(ален, в силУ М(~(л < ЛХ(~ — ~.„!и + Лй(~л,)п иллеем ЛХ),~(Я < сеь Теорема доказана. С1 3.2 Задачи р р 1. Показать, что. если д„— ь д и в то же время ~„— ь пд то случайные величины д и у эквивалентны ( 1'(с, у= л1) = О ).
л 2. Показать, что, если ~„— ь С, где С вЂ” некоторая постоянная, то имеет место и сходпмость по вероятности: н, . Р ~.— -+С с==ь с,— ьС. 3, Иривести пример случайной подпоследовательности ~~.~а,..., сходяшейся к некоторой случайной величине ~ по вероятности, по пе сходяшсйся пи с вероятностью 1, пи в среднем порядка р при л1обом р > О. 17 Лекпия 0 4 Марковские цепи 4.1 Определения и основные свойства Определение 12. Случайный пропесс С» называется ларковскилб если для любого 4 из Б(й) РЯ~ Е А ~б = хп ...
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
