Берзин А.А., Морозов В.Г. Основы квантовой механики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИУчебное пособиеМосква – 20043ВведениеКвантовая механика появилась сто лет назад и оформилась в стройную физическую теорию примерно к 1930 году. В настоящее время она считается фундаментом наших знаний об окружающем мире. Довольно долго применение квантовоймеханики к прикладным задачам ограничивалось ядерной энергетикой (по большей части военной). Однако после того, как в 1948 году был изобретен транзистор— один из основных элементов полупроводниковой электроники, а в конце 1950-хгодов был создан лазер — квантовый генератор света, стало ясно, что открытия вквантовой физике имеют огромный практический потенциал и серьезное знакомство с этой наукой необходимо не только для профессиональных физиков, но и дляпредставителей других специальностей — химиков, инженеров и даже биологов.Поскольку квантовая механика все больше стала приобретать черты не толькофундаментальной, но и прикладной науки, возникла проблема обучения ее основам студентов нефизических специальностей.

С некоторыми квантовыми идеямистудент впервые знакомится в курсе общей физики, но, как правило, это знакомство ограничивается не более чем случайными фактами и их сильно упрощеннымиобъяснениями. С другой стороны, полный курс квантовой механики, читаемый нафизических факультетах университетов, явно избыточен для тех, кто хотел быприложить свои знания не к раскрытию тайн природы, а к решению техническихи других практических задач. Трудность “адаптации” курса квантовой механикик потребностям обучения студентов прикладных специальностей была замеченадавно и до сих пор полностью не преодолена, несмотря на многочисленные попытки создания “переходных” курсов, ориентированных на практические примененияквантовых законов.

Связано это со спецификой самой квантовой механики. Вопервых, для понимания квантовой механики от студента требуется основательноезнание классической физики: механики Ньютона, классической теории электромагнетизма, специальной теории относительности, оптики и т.д. Во-вторых, вквантовой механике для правильного описания явлений в микромире приходится жертвовать наглядностью. Классическая физика оперирует более или менеенаглядными понятиями; их связь с экспериментом относительно проста. Иное положение в квантовой механике. Как отметил Л.Д. Ландау, внесший значительныйвклад в создание квантовой механики, “необходимо понять то, что мы уже не можем себе вообразить”.

Обычно трудности при изучении квантовой механики принято объяснять ее довольно абстрактным математическим аппаратом, применениекоторого неизбежно из-за потери наглядности понятий и законов. Действительно,чтобы научиться решать квантовомеханические задачи, надо знать дифференциальные уравнения, достаточно свободно обращаться с комплексными числами, атакже уметь делать многое другое. Все это, впрочем, не выходит за рамки математической подготовки студента современного технического вуза. Настоящаятрудность квантовой механики связана не только и даже не столько с математикой.

Дело в том, что выводы квантовой механики, как и любой физической теории,должны предсказывать и объяснять реальные эксперименты, поэтому нужно научиться связывать абстрактные математические конструкции с измеряемыми физическими величинами и наблюдаемыми явлениями. Вырабатывается это умениекаждым человеком индивидуально, в основном, путем самостоятельного решениязадач и осмысления результатов. Еще Ньютон заметил: “при изучении наук примеры часто важнее правил”. В отношении квантовой механики эти слова содержатбольшую долю истины.4Предлагаемое читателю пособие основано на многолетней практике чтения вМИРЭА курса “Физика 4”, посвященного основам квантовой механики, студентамвсех специальностей факультетов электроники и РТС и студентам тех специальностей факультета кибернетики, где физика относится к основным учебным дисциплинам. Содержание пособия и изложение материала обусловлены рядом объективных и субъективных обстоятельств.

Прежде всего необходимо было учесть,что курс “Физика 4” рассчитан на один семестр. Поэтому из всех разделов современной квантовой механики отобраны те, которые непосредственно связаны сэлектроникой и квантовой оптикой — наиболее перспективными областями применения квантовой механики. Однако, в отличие от курсов общей физики и прикладных технических дисциплин, мы стремились изложить эти разделы в рамкахединого и достаточно современного подхода с учетом возможностей студентов дляего усвоения. Объем пособия превышает содержание лекций и практических занятий, так как в курсе “Физика 4” предусмотрено выполнение студентами курсовыхработ или индивидуальных заданий, которые требуют самостоятельного изучениявопросов, не включенных в план лекций.

Изложение этих вопросов в учебникахпо квантовой механике, ориентированных на студентов физических факультетовуниверситетов, часто превышает уровень подготовки студента технического вуза.Таким образом, настоящее пособие может быть использовано как источник материала для курсовых работ и индивидуальных заданий.Важной частью пособия являются упражнения. Некоторые из них приводятсянепосредственно в тексте, остальные помещены в конце каждого параграфа. Многие упражнения снабжены указаниями для читателя. В связи с отмеченной выше“необычностью” понятий и методов квантовой механики выполнение упражненийследует рассматривать как совершенно необходимый элемент изучения курса.1.1.1.Физические истоки квантовой теорииЯвления, противоречащие классической физикеНачнем с краткого обзора явлений, которые не смогла объяснить классическаяфизика и которые привели, в конце концов, к возникновению квантовой теории.Спектр равновесного излучения черного тела.

Напомним, что в физикечерным телом (часто говорят — “абсолютно черным телом”) называется тело, которое полностью поглощает падающее на него электромагнитное излучение любойчастоты.Абсолютно черное тело является, конечно, идеализированной моделью, однако ее можно реализоватьс высокой точностью с помощью простого устройства— замкнутой полости с малым отверстием, внутренние стенки которой покрыты веществом, хорошо поглощающим электромагнитное излучение, например,сажей (см.

Рис. 1.1.). Если температура стенок Tподдерживается постоянной, то в конце концов установится тепловое равновесие между веществом стенокРис. 1.1.и электромагнитным излучением в полости. Одной изпроблем, которую активно обсуждали физики в конце XIX века, была такая: как распределена энергия равновесного излучения по5частотам? Количественно это распределение описывается спектральной плотностью энергии излучения uω .

Произведение uω dω есть энергия электромагнитных волн в единице объема с частотами в интервале от ω до ω + dω. Спектральную плотность энергии можно измерить, анализируя спектр излучения изотверстия полости, изображенной на Рис. 1.1. Экспериментальная зависимость uωдля двух значений температуры приведена на Рис. 1.2. С ростом температурымаксимум кривой смещается в сторону высоких частот и при достаточно высокойтемпературе частота ωm может достигнуть области видимого глазом излучения.Тело начнет светиться, причем с дальнейшим ростом температуры цвет тела будетменяться от красного к фиолетовому.Пока мы говорили об экспериментальныхданных. Интерес к спектру излучения черноготела был вызван тем, что функция uω можетбыть точно вычислена методами классическойстатистической физики и электромагнитнойтеории Максвелла.Согласно классическойстатистической физике, в тепловом равновесииэнергия любой системы распределяется равномерно по всем степеням свободы (теоремаБольцмана).Каждая независимая степеньсвободы поля излучения — электромагнитнаяволна с определенной поляризацией и частотой.По теореме Больцмана средняя энергия такойРис.

1.2.волны в тепловом равновесии при температуреT равна k B T , где k B = 1, 38 · 10−23 Дж/K —постоянная Больцмана. Поэтомуuω dω = k B T (ω) dω,(1.1)где (ω) dω — число различных типов электромагнитных волн (в единице объема)с частотами в интервале от ω до ω + dω. Вычислить (ω) нетрудно, но мы здесьне будем отвлекаться на это упражнение. Приведем окончательный результат:(ω) =ω2,π 2 c3(1.2)где c — скорость света. Итак, классическое выражение для равновесной спектральной плотности излучения имеет видuω =k BT ω2.π 2 c3(1.3)Эта формула есть знаменитая формула Рэлея-Джинса. В классической физикеона является точной и, в то же время, абсурдной.

В самом деле, согласно ей, втепловом равновесии при любой температуре имеются электромагнитные волнысколь угодно высоких частот (т. е. ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и даже смертельное для человека гамма-излучение), причем, чем вышечастота излучения, тем больше энергии на него приходится. Очевидное противоречие между классической теорией равновесного излучения и экспериментомполучило в физической литературе эмоциональное название — ультрафиолетовая6катастрофа. Отметим, что известный английский физик лорд Кельвин, подводяитоги развития физики в XIX веке, назвал задачу о равновесном тепловом излучении одной из главных нерешенных проблем.Фотоэффект.

Другим “слабым местом” классической физики оказался фотоэффект — выбивание электронов из вещества под действием света. Совершеннонепонятным было то, что кинетическая энергия электронов не зависит от интенсивности света, которая пропорциональна квадрату амплитуды электрического поляв световой волне и равна среднему потоку энергии, падающему на вещество. Сдругой стороны, энергия вылетающих электронов существенно зависит от частоты света и линейно растет с ростом частоты. Это также невозможно объяснитьв рамках классической электродинамики, поскольку поток энергии электромагнитной волны, согласно теории Максвелла, не зависит от ее частоты и полностьюопределяется амплитудой. Наконец, эксперимент показывал, что для каждого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта, т.