Книга - Теория вероятности и математическая статистика, страница 7

Следовательно, ее производная, которая по (5.4.2.) является плотностью, есть неотрицательная функция. „2. Вероятность попадания случайной величины ξ в интервал [x1 , x 2 ) равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от x1 до x2 , т.е.P( x1 ≤ ξ < x 2 ) =x2∫ p( y )dy .x1Доказательство. С одной стороны, по свойству 5 функции распределенияP( x1 ≤ ξ < x 2 ) = F ( x 2 ) − F (x1 ) ,c другой стороны, в силу (5.4.2):x2x2x1x1∫ p( y )dy = ∫ dF (x ) = F (x )x2x1= F ( x 2 ) − F ( x1 ) .3.

Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности случайной величины в бесконечных пределах равен единице, т.е.+∞∫ p( x)dx = 1 .−∞Доказательство. В силу свойства 2, имеем+∞∫ p( x)dx = F (+∞) − F (−∞) = 1 . „−∞4. P( x ≤ ξ < x + Δx ) ≈ p ( x )Δx .Доказательство. Из свойства 2 следует, что вероятность попадания случайной величины на интервал [x1 , x 2 ) численно равна площади криволинейной трапеции (рис. 5.1).Как видно из рис. 5.1, при Δx → 0 вероятность попадания на интервал [x, x + Δx )приближенно совпадает с площадью прямоугольника со сторонами Δx и p ( x ) .

„335. Для непрерывных случайных величин Ρ(ξ = x ) = 0 .Доказательство. Достаточно применить свойство 4, где Δx = 0 . „6. Для непрерывных случайных величин свойство 2 можно переписать в виде:Ρ( x1 ≤ ξ < x 2 ) = Ρ( x1 < ξ < x 2 ) = Ρ( x1 < ξ ≤ x 2 ) = Ρ( x1 ≤ ξ ≤ x 2 ) .Пример 7. Случайная величина ξ имеет плотностьx ≤ a;⎧0 ,⎪ 1⎪p(x ) = ⎨, a < x ≤ b;⎪b − ax > b.⎪⎩0 ,График функции p (x ) изображен на рис.

5.2.Найти функцию распределения F (x) случайной величины ξ и изобразить ее график. Решение. Для решения задачи применим формулу (5.4.1).При x ≤ a получаем, чтоxx−∞−∞x0x0x−∞−∞0−∞aF (x ) =∫ p(t )dt = ∫ 0dt = 0 .При a < x ≤ b получаем:F (x ) =1При x > b имеем:F( x ) =x−a∫ p(t )dt = ∫ p(t )dt + ∫ p(t )dt = ∫ 0dt + ∫ b − a dt = b − a .xabx−∞−∞ab∫ p( t )dt = ∫ p( t )dt + ∫ p( t )dt + ∫ p( t )dt = 1 .Таким образом, получаемx ≤ 0,⎧0,⎪x − a⎪F( x ) = ⎨, a < x ≤ b,⎪b − ax > b.⎪⎩1,34График функции распределения изображен на рис.

5.3. zПример 8. Случайная величина ξ подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке [− a, a ] (рис. 5.4).Найти плотность распределения и функцию распределения. Решение. Используя свойство 3 плотности, найдем высоту треугольника:+∞111 = ∫ p( x )dx = h 2a = ah ⇒ h = .2a−∞Далее находим уравнения ребер:1⎛x⎞p( x ) = ⎜1 − ⎟ , при x ∈ [0 , a ] ;a⎝ a⎠1⎛x⎞p( x ) = ⎜1 + ⎟ , при x ∈ [− a ,0]a⎝ a⎠илиx⎞1⎛p( x ) = ⎜⎜1 − ⎟⎟ , при x ∈ [− a , a ].a⎝a⎠Найдем функцию распределения F ( x ) .Очевидно, что при x ≤ −a функция распределения равна нулю, т.е.

F ( x) = 0 .Далее, при − a < x ≤ 0 :x−axx1⎛1⎛x2 ⎞ 1t⎞⎟+ .F ( x) = ∫ p (t )dt = ∫ p (t )dt + ∫ p (t )dt = ∫ ⎜1 + ⎟dt = ⎜⎜ x +2a ⎟⎠ 2aa⎠a⎝−∞−∞−a−a ⎝35При 0 < x ≤ a :−a1⎛1 1⎛x2 ⎞t⎞F (x ) = ∫ p (t )dt + ∫ p (t )dt + ∫ ⎜1 − ⎟dt = + ⎜⎜ x − ⎟⎟ .2 a⎝2a ⎠a⎝ a⎠0−∞−aПри x > a , получаем F ( x) = 1 .Таким образом, полученопри x ≤ -a;⎧0 ,⎪1⎛x2 ⎞ 1⎪⎜⎟ + , при -a < x ≤ 0;x+⎧1 ⎛x⎞⎪⎪ a ⎜⎝2a ⎟⎠ 2⎪ ⎜⎜1 − ⎟⎟, при x ∈ [− a , a ]p(x ) = ⎨ a ⎝, F (x ) = ⎨a⎠2⎪⎪ 1 + 1 ⎛⎜ x − x ⎞⎟ , при 0 < x ≤ a;[]∉−0,приxa,a⎩⎪2 a ⎜2a ⎟⎠⎝⎪⎪⎩1,при x > a .0xz§5.

Функция от случайных величинПусть ξ — случайная величина. Пусть задана функция y = f ( x) . Каждому элементарному исходу ω поставим в соответствие число η (ω ) по формулеη (ω ) = f (ξ (ω )) . Темсамым получим случайную величину η , называемую функцией f (ξ ) от случайной величины ξ .Пусть ξ — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина η = f (ξ )также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может приниматьбольше значений, чем случайная величина ξ . Очевидно, что ряд распределения случайной величины η = f (ξ ) имеет вид:ηf ( x1 )f ( x2 )…f ( xn )Pp1p2…pnПри этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения f ( xi ) , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав имсуммарную вероятность.Пример 9.

Случайная величина ξ имеет ряд распределения:ξP-20,1-10,200,310,320,1Найти закон распределения случайной величины η = ξ . Решение. Составим ряд распределения случайной величины ξ :ξ21012P0,10,20,30,30,1Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:η0120,30,50,2P36Ряд распределения случайной величины η = ξ получен. zПусть ξ — непрерывная случайная величина. При этом случайная величинаη = f (ξ ) может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции f ( x) . Пусть случайная величина ξ имеет плотность pξ ( x ) .

ТогдаFη ( y ) = P(η < y ) = P( f (x ) < y ) =∫ pξ (x )dx .(5.5.1)f ( x )< yПример 10. Пусть случайная величина ξ имеет плотность1pξ ( x ) =−x22e .2πНайти распределение случайной величины η = ξ 2 . Решение. В данном случае y = f ( x) = x 2 . Согласно (5.5.1), получимFη ( y ) =1∫2x <y2πe−x22dx .Очевидно, что при y < 0 , функция распределения равна нулю, т.е.

Fη ( y ) = 0 . При(y > 0 область (x 2 < y ) совпадает с областью − y < x <Fη ( y ) =12πy∫e− y−x22dx =22πy∫e−x22dx =01y∫2πe0t−2t)y . Отсюда получаемdt . zВыведем более удобные формулы для вычисления функции Fη ( y ) , где η = f (x) .Теорема. Пусть ξ — непрерывная случайная величина с плотностью pξ ( x ) , а слу-чайная величина η связана с ξ функциональной зависимостьюy = f (x) ,где f (x) — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента x .Тогда плотность распределения случайной величины η выражается формулойpη ( y ) = pξ (ψ ( y )) ψ ′( y ) ,(5.5.2)где ψ — функция, обратная по отношению к функции f (x) .Доказательство.

Пусть f (x) — монотонно возрастающая функция. ТогдаFη ( y ) = P(η < y ) = P ( f (ξ ) < y ) = P(ξ < f −1 ( y )) = P(ξ < ψ ( y )) = Fξ (ψ ( y )) .Продифференцировав последнее равенство, получаемd(Fη ( y )) = d (Fξ (ψ ( y ))) = pξ (ψ ( y ))ψ ( y ) .pη ( y ) =(5.5.3)dydyПусть f ( x) — монотонно убывающая функция. В этом случае f ′( x ) < 0 и, следоваd −1f ( y ) < 0 . Отсюда получаем:тельно, ψ ′ ( y ) =dyFη ( y ) = P(η < y ) = P( f (ξ ) < y ) = P(ξ > f −1 ( y )) = P(ξ > ψ ( y )) == 1 − P(ξ ≤ ψ ( y )) = 1 − Fξ (ψ ( y )).Продифференцировав последнее равенство, получаем37d(Fη ( y )) = d (Fξ (ψ ( y ))) = − pξ (ψ ( y ))ψ ( y ) .dydyУчитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одноpη ( y ) = pξ (ψ ( y )) ψ ′( y ) ,pη ( y ) =(5.5.4)что совпадает с (5.5.2).

„Пример 11. Случайная величина ξраспределена равномерно в интервале⎛ π π⎞⎜ − ; ⎟ . Найти закон распределения случайной величины η = sin ξ .⎝ 2 2⎠⎛ π π⎞ Решение. Функция y = sin x в интервале ⎜ − ; ⎟ монотонна, следовательно,⎝ 2 2⎠можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы,содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:Плотность случайной величины ξФункциональная зависимостьмеждуслучайными величинами ξ и ηОбратная функцияМодуль производнойобратной функцииПлотность случайной величины ηpξ ( x )⎧1⎛ −π π ⎞⎪π , если x ∈ ⎜ 2 ; 2 ⎟;⎪⎝⎠⎨⎪0, если x ∉ ⎛⎜ − π ; π ⎞⎟.⎪⎩⎝ 2 2⎠y = f (x )y = sin( x )x = ψ (y)x = arcsin( y )1ψ ′( y )pη ( y ) = pξ (ψ ( y )) ψ ′( y )1− y21⎧1, если y ∈ (− 1;1);⎪π2y1−⎨⎪0,если y ∉ (− 1;1).⎩Интервал (− 1;1) , в котором лежат значения случайной величины η , определяется⎛ π π⎞областью значений функции y = sin( x ) для x ∈ ⎜ − ; ⎟ .

z⎝ 2 2⎠Следствие из теоремы. Если f (x) — немонотонная функция, то обратная к нейфункция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется ввиде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении y ) имеет обратная функция:kpη ( y ) = ∑ pξ (ψ i ( y )) ψ i′ ( y ) ,(5.5.5)i =1гдеψ 1 ( y ),… ,ψ k ( y ) — значения обратной функции для данного y .38Пример 12. Случайная величина ξраспределена равномерно в интервале⎛ π π⎞⎜ − ; ⎟ .

Найти плотность распределения случайной величины η = cos ξ .⎝ 2 2⎠⎛ π π⎞ Решение. Функция y = cos x немонотонная в интервале ⎜ − ; ⎟ , ее значения⎝ 2 2⎠лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого y обратная функция будет иметьдва значения:Плотность случайной величины ξФункциональная зависимостьмеждуслучайными величинами ξ и η .Обратная функцияpξ ( x )⎧1⎛ −π π ⎞⎪π , если x ∈ ⎜ 2 ; 2 ⎟;⎝⎠⎪⎨⎪0, если x ∉ ⎛⎜ − π ; π ⎞⎟.⎪⎩⎝ 2 2⎠y = f (x )y = cos(x )⎧ψ ( y ),x=⎨ 1⎩ψ 2 ( y ).x1 = arccos( y ),Модуль производнойобратной функцииПлотность случайной величины ηx 2 = − arccos( y ).1ψ ′( y )1− y22⎧, при y ∈ (0,1);⎪2⎨π 1 − y⎪0,при y ∉ (0,1).⎩2pη ( y ) = ∑ pξ (ψ i ( y )) ψ i′ ( y )i =12pη ( y ) = ∑ pξ (ψ i ( y )) ψ i′ ( y ) =i =111π 1− y2+3911π 1− y2=2π 1− y2.zГлава 6. Числовые характеристики случайных величин§1. Математическое ожидание случайной величиныОпределение.